Mesure de comptage

Cet article est une ébauche concernant les mathématiques.

La mesure de comptage (ou mesure de dénombrement) est une mesure positive associée à la cardinalité d'un ensemble.

Si l'on note $μ$ la mesure de comptage sur la tribu des parties d'un ensemble $X$ , on a, pour tout $A \subset X$ : $μ (A) = {\begin{matrix} | A | & si A est fini \\ + \infty & si A est infini. \end{matrix}$

Par définition de l'intégrale de Lebesgue, pour toute application $f : X \to ℝ_{+}$ , on a :

\int f d μ = \sum_{y \in ℝ_{+}} y | f^{- 1} ({y}) | = \sum_{x \in X} f (x)

.

L'intégrale pour la mesure de comptage est donc une somme (ou une série). Elle est particulièrement utile avec les suites numériques. Ainsi les divers théorèmes associés à la théorie de la mesure s'appliquent aux séries (inversion série/intégrale et série/limite par exemple).

Exemples

Soit $E$ un ensemble fini de réels. L'intégrale de l'application identité ${i d}_{E}$ est $\int {i d}_{E} d μ = \sum_{x \in E} x$ .

Soit une suite $(u_{n})_{n \in ℕ}$ de réels positifs et son application associée $u : ℕ \to ℝ_{+}, n \mapsto u_{n}$ . On a $\int u d μ = \sum_{n \in ℕ} u_{n}$ .

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