Modèle de Georgi-Glashow

En physique des particules, le modèle de Georgi-Glashow est une théorie de grande unification (GUT) particulière proposée par Howard Georgi et Sheldon Glashow en 1974. Dans ce modèle, les groupes de jauge du modèle standard SU(3) × SU(2) × U(1) (en) sont combinés en un seul groupe de jauge simple, SU(5). On suppose ensuite que le groupe unifié SU(5) se brise spontanément en un sous-groupe du modèle standard en dessous d'une échelle d'énergie très élevée appelée échelle de grande unification (en).

Configuration des isospins faibles, des hypercharges faibles et des charges fortes des particules dans le modèle de Georgi-Glashow, après rotation selon l'angle de mélange faible prédit, montrant la charge électrique orientée approximativement selon la verticale. Outre les particules du modèle standard, la théorie inclut douze bosons X colorés, responsables de la désintégration du proton.

Puisque le modèle de Georgi-Glashow combine les leptons et les quarks en des représentations irréductibles uniques, il existe des interactions qui ne conservent pas le nombre baryonique, bien qu'elles conservent le nombre quantique B – L associé à la symétrie de la représentation commune. Ceci explique le mécanisme de désintégration du proton, et le taux de désintégration du proton peut être prédit à partir de la dynamique du modèle. Cependant, la désintégration du proton n'a pas encore été observée expérimentalement, et la limite inférieure qui en résulte pour la durée de vie du proton contredit les prédictions de ce modèle. Néanmoins, l'élégance de ce modèle a conduit les physiciens des particules à l'utiliser comme base pour des modèles plus complexes qui conduisent à des durées de vie du proton plus longues, notamment SO(10) (en) dans ses variantes de base et supersymétriques.

(Pour une introduction plus élémentaire à la relation entre la théorie des représentations des algèbres de Lie et la physique des particules, voir l'article Physique des particules et théorie des représentations (en).)

De plus, ce modèle souffre du problème de la séparation doublet-triplet (en).

Construction

Représentation schématique des fermions et des bosons dans la théorie de grande unification SU(5), illustrant la scission des multiplets en 5 + 10. La ligne correspondant à 1 (le singulet de neutrino stérile) est omise, mais serait également isolée. Les bosons neutres (photon, boson Z et gluons neutres) ne sont pas représentés, mais occupent les éléments diagonaux de la matrice sous forme de superpositions complexes.

SU(5) agit sur $\mathbb {C} ^{5}$ et, par conséquent, sur son algèbre extérieure $\wedge \mathbb {C} ^{5}$. Le choix d'une décomposition $\mathbb {C} ^{2}\oplus \mathbb {C} ^{3}$ restreint SU(5) à S(U(2)×U(3)), donnant des matrices de la forme

${\displaystyle {\begin{matrix}\phi$ :&U(1)\times SU(2)\times SU(3)&\longrightarrow &S(U(2)\times U(3))\subset SU(5)\\&(\alpha ,g,h)&\longmapsto &{\begin{pmatrix}\alpha ^{3}g&0\\0&\alpha ^{-2}h\end{pmatrix}}\\\end{matrix}}}

avec pour noyau $\{(\alpha ,\alpha ^{-3}\mathrm {Id} _{2},\alpha ^{2}\mathrm {Id} _{3})|\alpha \in \mathbb {C} ,\alpha ^{6}=1\}\cong \mathbb {Z} _{6}$, ce qui est isomorphe au véritable groupe de jauge du modèle standard $SU(3)\times SU(2)\times U(1)/\mathbb {Z} _{6}$. Pour la puissance d'ordre zéro ${\textstyle \bigwedge }^{0}\mathbb {C} ^{5}$, l'action est triviale, correspondant à un neutrino gauche, $\mathbb {C} _{0}\otimes \mathbb {C} \otimes \mathbb {C}$. Pour la première puissance extérieure ${\textstyle \bigwedge }^{1}\mathbb {C} ^{5}\cong \mathbb {C} ^{5}$, l'action du groupe du modèle standard préserve la décomposition $\mathbb {C} ^{5}\cong \mathbb {C} ^{2}\oplus \mathbb {C} ^{3}$. Le facteur $\mathbb {C} ^{2}$ se transforme de manière triviale sous SU(3), comme un doublet sous SU(2), et selon la représentation Y = 1/2 de U(1) (puisque l'hypercharge faible est conventionnellement normalisée par α³ = α^6Y) ; cela correspond à un anti-lepton droit, $\mathbb {C} _{\frac {1}{2}}\otimes \mathbb {C} ^{2*}\otimes \mathbb {C}$ (car $\mathbb {C} ^{2}\cong \mathbb {C} ^{2*}$ dans SU(2)). Le $\mathbb {C} ^{3}$ se transforme comme un triplet de SU(3), un singulet de SU(2) et selon la représentation de charge hyperfaible Y = −1/3 de U(1) (avec α⁻² = α^6Y) ; cela correspond à un quark down (de type bas) droitier, $\mathbb {C} _{-{\frac {1}{3}}}\otimes \mathbb {C} \otimes \mathbb {C} ^{3}$.

La deuxième puissance extérieure ${\textstyle \bigwedge }^{2}\mathbb {C} ^{5}$ s'obtient à l'aide de la formule ${\textstyle \bigwedge }^{2}(V\oplus W)={\textstyle \bigwedge }^{2}V^{2}\oplus (V\otimes W)\oplus {\textstyle \bigwedge }^{2}W^{2}$. Comme SU(5) préserve la forme volume canonique de $\mathbb {C} ^{5}$, la dualité de Hodge permet d'obtenir les trois puissances supérieures via la relation ${\textstyle \bigwedge }^{p}\mathbb {C} ^{5}\cong ({\textstyle \bigwedge }^{5-p}\mathbb {C} ^{5})^{*}$. Ainsi, la représentation F ⊕ F* du modèle standard, correspondant à une génération de fermions et d'antifermions, est contenue dans $\wedge \mathbb {C} ^{5}$.

Des considérations analogues s'appliquent au modèle de Pati-Salam (en), ainsi qu'à SO(10) (en), E6 et d'autres supergroupes de SU(5).

Prolongement explicite du modèle standard

En raison de leur groupe de jauge relativement simple $SU(5)$, les GUT peuvent être formulées à l'aide de vecteurs et de matrices, ce qui permet une compréhension intuitive du modèle de Georgi-Glashow. Le secteur fermionique se compose alors d'une représentation antifondamentale ${\overline {\mathbf {5} }}$ et d'une représentation antisymétrique $\mathbf {10}$. En termes de degrés de liberté du modèle standard, cela peut s'écrire

${\overline {\mathbf {5} }}_{F}={\begin{pmatrix}d_{1}^{c}\\d_{2}^{c}\\d_{3}^{c}\\e\\-\nu \end{pmatrix}}$

et

$\mathbf {10} _{F}={\begin{pmatrix}0&u_{3}^{c}&-u_{2}^{c}&u_{1}&d_{1}\\-u_{3}^{c}&0&u_{1}^{c}&u_{2}&d_{2}\\u_{2}^{c}&-u_{1}^{c}&0&u_{3}&d_{3}\\-u_{1}&-u_{2}&-u_{3}&0&e_{R}\\-d_{1}&-d_{2}&-d_{3}&-e_{R}&0\end{pmatrix}}$

où $d_{i}$ et $u_{i}$ sont les quarks de type down et up gauches, $d_{i}^{c}$ et $u_{i}^{c}$ leurs homologues droits, $\nu$ le neutrino, $e$ et $e_{R}$ l'électron gauche et droit, respectivement. Outre les fermions, il est nécessaire de briser la symétrie $SU(3)\times SU_{L}(2)\times U_{Y}(1)\rightarrow SU(3)\times U_{EM}(1)$ ; dans le modèle de Georgi-Glashow, cela s'opère via une représentation fondamentale $\mathbf {5}$ qui contient le boson de Higgs du modèle standard,

$\mathbf {5} _{H}=(T_{1},T_{2},T_{3},H^{+},H^{0})^{T}$

où $H^{+}$ et $H^{0}$ représentent respectivement les composantes chargée et neutre du Higgs du modèle standard. Notons que les $T_{i}$ ne sont pas des particules du modèle standard et constituent donc une prédiction du modèle de Georgi-Glashow.

Les champs de jauge du modèle standard peuvent également être inclus explicitement. Pour ce faire, rappelons qu'un champ de jauge se transforme selon la représentation adjointe et peut ainsi s'écrire sous la forme $A_{\mu }^{a}T^{a}$, où les $T^{a}$ sont les générateurs de $SU(5)$. Si l'on se restreint à des générateurs dont les éléments non nuls se trouvent uniquement dans le bloc supérieur $3\times 3$, dans le bloc inférieur $2\times 2$ ou sur la diagonale, on peut identifier

${\begin{pmatrix}G_{\mu }^{a}T_{3}^{a}&0\\0&0\end{pmatrix}}$

aux champs de jauge de couleur $SU(3)$,

${\begin{pmatrix}0&0\\0&{\frac {\sigma ^{a}}{2}}W_{\mu }^{a}\end{pmatrix}}$

aux champs de l'interaction faible $SU(2)$, et

$N\,B_{\mu }^{0}\operatorname {diag} \left(-1/3,-1/3,-1/3,1/2,1/2\right)$

au champ d'hypercharge $U(1)$ (à une normalisation $N$ près). Grâce à ce plongement, on peut vérifier explicitement que les champs fermioniques se transforment comme il se doit.

Ce plongement explicite figure dans la référence ou dans l'article original de Georgi et Glashow.

Brisure de SU(5)

La brisure de SU(5) se produit lorsqu'un champ scalaire (que nous désignerons par $\mathbf {24} _{H}$), analogue au champ de Higgs et se transformant en adjoint de SU(5), acquiert une valeur d'espérance de vide (vev) proportionnelle au faible générateur d'hypercharge

$\langle \mathbf {24} _{H}\rangle =v_{24}\operatorname {diag} \left(-1/3,-1/3,-1/3,1/2,1/2\right)$.

Lorsque cela se produit, SU(5) est spontanément divisé en sous-groupe de SU(5) faisant la navette avec le groupe généré par Y.

En utilisant l'intégration de la section précédente, nous pouvons vérifier explicitement que $SU(5)$ est bien égal à $SU(3)\times SU(2)\times U(1)$ en notant que $[\langle \mathbf {24} _{H}\rangle ,G_{\mu }]=[\langle \mathbf {24} _{H}\rangle ,W_{\mu }]=[\langle \mathbf {24} _{H}\rangle ,B_{\mu }]=0$. Le calcul de collecteurs similaires montre en outre que tous les autres champs de jauge $SU(5)$ acquièrent des masses.

Pour être précis, le sous-groupe ininterrompu est en fait

$[SU(3)\times SU(2)\times U(1)_{Y}]/\mathbb {Z} _{6}.$

Sous ce sous-groupe ininterrompu, l'adjoint 24 se transforme comme

$\mathbf {24} \rightarrow (8,1)_{0}\oplus (1,3)_{0}\oplus (1,1)_{0}\oplus (3,2)_{-{\frac {5}{6}}}\oplus ({\bar {3}},2)_{\frac {5}{6}}$

pour produire les bosons de jauge du modèle standard plus les nouveaux bosons X et Y. Voir représentation restreinte (en).

Les quarks et les leptons du modèle standard s'intègrent parfaitement dans les représentations de SU(5). Plus précisément, les fermions gauchers se combinent en 3 générations de $\ {\overline {\mathbf {5} }}\oplus \mathbf {10} \oplus \mathbf {1} ~$. Sous le sous-groupe ininterrompu, ceux-ci se transforment en

${\begin{aligned}{\overline {\mathbf {5} }}&\to ({\bar {3}},1)_{\tfrac {1}{3}}\oplus (1,2)_{-{\tfrac {1}{2}}}&&\mathrm {d} ^{\mathsf {c}}{\mathsf {~and~}}\ell \\\mathbf {10} &\to (3,2)_{\tfrac {1}{6}}\oplus ({\bar {3}},1)_{-{\tfrac {2}{3}}}\oplus (1,1)_{1}&&q,\mathrm {u} ^{\mathsf {c}}{\mathsf {~and~}}\mathrm {e} ^{\mathsf {c}}\\\mathbf {1} &\to (1,1)_{0}&&\nu ^{\mathsf {c}}\end{aligned}}$

pour produire précisément le contenu fermionique gaucher du modèle standard où chaque génération d^c, u^c, e^c, and ν^c correspond respectivement à un quark anti-down, à un quark anti-up, à un lepton anti-down et à un lepton anti-up. De plus, q et $\ell$ correspondent au quark et au lepton. Les fermions se transformant en 1 sous SU(5) sont maintenant considérés comme nécessaires en raison des preuves d'oscillations des neutrinos, à moins qu'un moyen ne soit trouvé pour introduire un couplage de Majorana infinitésimal pour les neutrinos gauchers.

Puisque le groupe d’homotopie est

$\pi _{2}\left({\frac {SU(5)}{[SU(3)\times SU(2)\times U(1)_{Y}]/\mathbb {Z} _{6}}}\right)=\mathbb {Z}$,

ce modèle prédit les monopoles 't Hooft-Polyakov.

Parce que la charge électromagnétique Q est une combinaison linéaire d'un générateur SU(2) avec ⁠Y/2, ces monopôles ont également des charges magnétiques quantifiées Y, où par magnétique, nous entendons ici des charges électromagnétiques magnétiques.

SU(5) supersymétrique minimale

Le modèle supersymétrique minimal basé sur le groupe SU(5) attribue une parité de matière $\mathbb {Z} _{2}$ aux superchamps chiraux — les champs de matière étant de parité impaire et les champs de Higgs de parité paire — afin de protéger le Higgs électrofaible contre les corrections radiatives quadratiques de masse (le problème de la hiérarchie). Dans la version non supersymétrique, l'action est invariante sous une symétrie $\mathbb {Z} _{2}$ similaire, car les champs de matière sont tous fermioniques et doivent donc apparaître par paires dans l'action, tandis que les champs de Higgs sont bosoniques.

Superchamps chiraux

En tant que représentations complexes :

Symbole	Description	Multiplicité	Représentation SU(5)	Représentation $\mathbb {Z} _{2}$
Φ	Champs de Higgs de grande unification	1	24	+
Hu	Champs de Higgs électrofaible	1	5	+
Hd	Champs de Higgs électrofaible	1	${\overline {\mathbf {5} }}$	+
${\overline {\mathbf {5} }}$	Champs de matière	3	${\overline {\mathbf {5} }}$	-
10	Champs de matière	3	10	-
Nc	Neutrinos stériles	(fraction) 1/2	1	-

Superpotentiel

Un superpotentiel (en) renormalisable, invariant et générique est un polynôme cubique en les superchamps, invariant sous le groupe (complexe) $SU(5) \times \mathbb{Z}_2$. Il s'agit d'une combinaison linéaire des termes suivants :

${\begin{matrix}\Phi ^{2}&&\Phi _{B}^{A}\Phi _{A}^{B}\\[4pt]\Phi ^{3}&&\Phi _{B}^{A}\Phi _{C}^{B}\Phi _{A}^{C}\\[4pt]\mathrm {H} _{\mathsf {d}}\ \mathrm {H} _{\mathsf {u}}&&{\mathrm {H} _{\mathsf {d}}}_{A}\ {\mathrm {H} _{\mathsf {u}}}^{A}\\[4pt]\mathrm {H} _{\mathsf {d}}\ \Phi \ \mathrm {H} _{\mathsf {u}}&&{\mathrm {H} _{\mathsf {d}}}_{A}\ \Phi _{B}^{A}\ {\mathrm {H} _{\mathsf {u}}}^{B}\\[4pt]\mathrm {H} _{\mathsf {u}}\ \mathbf {10} _{i}\mathbf {10} _{j}&&\epsilon _{ABCDE}\ {\mathrm {H} _{\mathsf {u}}}^{A}\ \mathbf {10} _{i}^{BC}\ \mathbf {10} _{j}^{DE}\\[4pt]\mathrm {H} _{\mathsf {d}}\ {\overline {\mathbf {5} }}_{i}\mathbf {10} _{j}&&{\mathrm {H} _{\mathsf {d}}}_{A}\ {\overline {\mathbf {5} }}_{Bi}\ \mathbf {10} _{j}^{AB}\\[4pt]\mathrm {H} _{\mathsf {u}}\ {\overline {\mathbf {5} }}_{i}\ {\mathrm {N} ^{\mathsf {c}}}_{j}&&{\mathrm {H} _{\mathsf {u}}}^{A}\ {\overline {\mathbf {5} }}_{Ai}\ {\mathrm {N} ^{\mathsf {c}}}_{j}\\[4pt]{\mathrm {N} ^{\mathsf {c}}}_{i}\ {\mathrm {N} ^{\mathsf {c}}}_{j}&&{\mathrm {N} ^{\mathsf {c}}}_{i}\ {\mathrm {N} ^{\mathsf {c}}}_{j}\\\end{matrix}}$

La première colonne est une abréviation de la seconde (en négligeant les facteurs de normalisation appropriés), où les indices en majuscules sont des indices SU(5) et où i et j sont les indices de génération.

Les deux dernières lignes supposent que la multiplicité de $\ \mathrm {N} ^{\mathsf {c}}\$ n'est pas nulle (c'est-à-dire qu'il existe un neutrino stérile). Le couplage $\ \mathrm {H} _{\mathsf {u}}\ \mathbf {10} _{i}\ \mathbf {10} _{j}\$ possède des coefficients symétriques par rapport à i et j. Le couplage $\ \mathrm {N} _{i}^{\mathsf {c}}\ \mathrm {N} _{j}^{\mathsf {c}}\$ possède des coefficients symétriques par rapport à i et j. Le nombre de générations de neutrinos stériles n'est pas nécessairement égal à trois, à moins que SU(5) ne soit inclus dans un schéma d'unification plus vaste tel que SO(10).

Points de vide

Les points de vide correspondent aux zéros mutuels des termes F et D. Considérons d'abord le cas où les valeurs moyennes des champs chiraux (VEV) sont nulles, sauf pour Φ.

Secteur Φ

$\ W=Tr\left[a\Phi ^{2}+b\Phi ^{3}\right]\$

Les zéros de F correspondent à la recherche des points stationnaires de W sous la contrainte de trace nulle $\ Tr[\Phi ]=0~.$. Ainsi, $\ 2a\Phi +3b\Phi ^{2}=\lambda \mathbf {1} \$, où λ est un multiplicateur de Lagrange.

À une transformation SU(5) (unitaire) près,

$\Phi ={\begin{cases}\operatorname {diag} (0,0,0,0,0)\\\operatorname {diag} ({\frac {2a}{9b}},{\frac {2a}{9b}},{\frac {2a}{9b}},{\frac {2a}{9b}},-{\frac {8a}{9b}})\\\operatorname {diag} ({\frac {4a}{3b}},{\frac {4a}{3b}},{\frac {4a}{3b}},-{\frac {2a}{b}},-{\frac {2a}{b}})\end{cases}}$

Les trois cas sont appelés cas I, II et III et ils brisent la symétrie de jauge en $\ SU(5),\ \left[SU(4)\times U(1)\right]/\mathbb {Z} _{4}\$ et $\ \left[SU(3)\times SU(2)\times U(1)\right]/\mathbb {Z} _{6}$ respectivement (stabilisateur de la VEV).

Autrement dit, il existe au moins trois sections de supersélection différentes, ce qui est typique des théories supersymétriques.

Seul le cas III a un sens phénoménologique ; nous nous concentrerons donc sur celui-ci désormais.

On peut vérifier que cette solution, associée à des VEV nulles pour tous les autres multiplets chiraux, annule les termes F (en) et D (en). La parité de la matière est conservée (jusqu’à l’échelle du TeV).

Décomposition

L'algèbre de jauge 24 se décompose comme suit :

${\begin{pmatrix}(8,1)_{0}\\(1,3)_{0}\\(1,1)_{0}\\(3,2)_{-{\frac {5}{6}}}\\({\bar {3}},2)_{\frac {5}{6}}\end{pmatrix}}~.$

Cette représentation 24 est réelle ; les deux derniers termes nécessitent donc une explication. Les termes $(3,2)_{-{\frac {5}{6}}}$ et $\ ({\bar {3}},2)_{\frac {5}{6}}\$ sont tous deux des représentations complexes. Cependant, la somme directe de ces deux représentations se décompose en deux représentations réelles irréductibles, et l'on ne conserve que la moitié de cette somme directe, c'est-à-dire l'une des deux copies réelles irréductibles. Les trois premières composantes restent intactes. Le champ de Higgs adjoint présente également une décomposition similaire, à ceci près qu'il est complexe. Le mécanisme de Higgs entraîne l'absorption d'une moitié réelle des composantes $\ (3,2)_{-{\frac {5}{6}}}\$ et $\ ({\bar {3}},2)_{\frac {5}{6}}\$ du Higgs adjoint. L'autre moitié réelle acquiert une masse provenant des termes D. Enfin, les trois autres composantes du Higgs adjoint, $\ (8,1)_{0},(1,3)_{0}\$ et $\ (1,1)_{0}\$ acquièrent des masses à l'échelle de grande unification (GUT) issues des auto-couplages du superpotentiel, de la forme $\ a\Phi ^{2}+b<\Phi >\Phi ^{2}~.$.

Les neutrinos stériles, s'ils existent, acquerraient également une masse de Majorana à l'échelle de grande unification (GUT) provenant du couplage du superpotentiel ν c   2 .

En raison de la parité de matière, les représentations de matière $\ {\overline {\mathbf {5} }}\$ et 10 restent chirales.

Ce sont les champs de Higgs 5_H et $\ {\overline {\mathbf {5} }}_{\mathrm {H} }\$ qui présentent un intérêt.

$5_{\mathrm {H} }$		${\bar {5}}_{\mathrm {H} }$
${\begin{pmatrix}(3,1)_{-{\tfrac {1}{3}}}\\(1,2)_{\tfrac {1}{2}}\end{pmatrix}}$	${\begin{matrix}\_\_\_\\???\end{matrix}}$	${\begin{pmatrix}({\bar {3}},1)_{\tfrac {1}{3}}\\(1,2)_{-{\tfrac {1}{2}}}\end{pmatrix}}$

Les deux termes pertinents du superpotentiel sont ici $\ 5_{\mathrm {H} }\ {\bar {5}}_{\mathrm {H} }\$ et $\ \langle 24\rangle 5_{\mathrm {H} }\ {\bar {5}}_{\mathrm {H} }~.$. À moins d'un ajustement fin, on s'attendrait à ce que les termes de triplet et ceux de doublet s'apparient, ne laissant aucun doublet électrofaible léger. Cela est en totale contradiction avec la phénoménologie. Voir le problème de la séparation doublet-triplet (en) pour plus de détails.

Problèmes

Désintégration du proton dans SU(5)

La source la plus courante de désintégration du proton dans le modèle SU(5). Un quark up gauche et un quark up droit s'annihilent pour produire un boson X⁺, qui se désintègre en un positron et un antiquark down de chiralité opposée.

L'unification du modèle standard via un groupe SU(5) entraîne des conséquences phénoménologiques importantes. La plus notable d'entre elles est la désintégration du proton, un phénomène présent dans les modèles SU(5), avec ou sans supersymétrie. Ce processus est rendu possible par les nouveaux bosons vectoriels issus de la représentation adjointe de SU(5), laquelle contient également les bosons de jauge des forces du modèle standard. Comme ces nouveaux bosons de jauge appartiennent à des représentations bifondamentales de type (3,2)_−5/6, ils violent la conservation des nombres baryonique et leptonique. Par conséquent, les nouveaux opérateurs induits devraient provoquer la désintégration des protons à un taux inversement proportionnel à la masse de ces bosons. Ce processus, appelé désintégration du proton de dimension 6, pose problème pour le modèle, car il a été établi expérimentalement que la durée de vie du proton dépasse l'âge de l'Univers. Ainsi, les modèles SU(5) se trouvent fortement contraints par ce phénomène.

Outre ces nouveaux bosons de jauge, le champ de Higgs est généralement intégré, dans les modèles SU(5), à une représentation 5 du groupe de grande unification (GUT). Une difficulté en découle : puisque le champ de Higgs est un doublet de SU(2), la partie restante — un triplet de SU(3) — doit correspondre à un nouveau champ, généralement désigné par D ou T. Ce nouveau scalaire serait également susceptible d'induire la désintégration du proton ; or, en supposant l'alignement du vide de Higgs le plus simple, il serait sans masse, ce qui permettrait au processus de se produire à des taux très élevés.

Bien que cela ne pose pas de problème dans le modèle de Georgi-Glashow, un modèle SU(5) supersymétrique ferait intervenir des opérateurs supplémentaires de désintégration du proton, liés aux superpartenaires des fermions du modèle standard. L'absence de détection de la désintégration du proton (sous quelque forme que ce soit) remet en question la validité des GUT basées sur SU(5) ; toutefois, si ces modèles sont fortement contraints par ce résultat, ils ne sont pas pour autant systématiquement exclus.

Mécanisme

Dans le diagramme de Feynman d'ordre le plus bas correspondant à la source la plus simple de désintégration du proton en SU(5), un quark up gauche et un quark up droit s'annihilent pour produire un boson X⁺, lequel se désintègre en un positron droit (ou gauche) et un antiquark down gauche (ou droit) :

$\mathrm {u} _{\mathsf {L}}+\mathrm {u} _{\mathsf {R}}\to X^{+}\to \mathrm {e} _{\mathsf {R}}^{+}+\mathrm {\bar {d}} _{\mathsf {L}}\ ,$

$\mathrm {u} _{\mathsf {L}}+\mathrm {u} _{\mathsf {R}}\to X^{+}\to \mathrm {e} _{\mathsf {L}}^{+}+\mathrm {\bar {d}} _{\mathsf {R}}~.$

Ce processus conserve l'isospin faible, l'hypercharge faible et la couleur. Les GUT assimilent l'anticouleur à la possession de deux couleurs, $\ {\bar {g}}\equiv rb\ ,$, et SU(5) définit les leptons gauches ordinaires comme « blancs » et les antileptons droits comme « noirs ». Le premier sommet n'implique que des fermions de la représentation 10, tandis que le second n'implique que des fermions de la représentation 5̅ (ou 10), démontrant ainsi la préservation de la symétrie SU(5).

Relations de masse

Puisque les états du modèle standard sont regroupés en représentations de $SU(5)$, leurs matrices de Yukawa satisfont aux relations suivantes :

$Y_{\mathrm {d} }=Y_{\mathrm {e} }^{\mathsf {T}}\quad {\mathsf {and}}\quad Y_{\mathrm {u} }=Y_{\mathrm {u} }^{\mathsf {T}}$

En particulier, cela prédit que $m_{e,\mu \tau }\approx m_{d,s,b}$ aux énergies proches de l'échelle d'unification. Toutefois, cette prédiction ne se vérifie pas dans la nature.

Découplage doublet-triplet

Comme indiqué dans la section précédente, le triplet de couleur contenu dans le multiplet ${\mathbf {5} }$ (qui renferme le boson de Higgs du modèle standard) peut induire une désintégration du proton via des opérateurs de dimension 6. Étant donné que les protons semblent très stables, ce triplet doit acquérir une masse suffisamment élevée pour inhiber cette désintégration. Cela pose toutefois un problème. Considérons à cet effet la partie scalaire du lagrangien de Georgi-Glashow :

${\mathcal {L}}\supset {\mathbf {5} }_{\mathrm {H} }^{\dagger }(a+b\mathbf {24} _{\mathrm {H} }){\mathbf {5} }_{\mathrm {H} }{\overset {SSB}{\longrightarrow }}(a+2bv_{24})T^{\dagger }T+(a-3bv_{24})H^{\dagger }H=m_{\mathrm {T} }^{2}T^{\dagger }T-\mu ^{2}H^{\dagger }H$

Ici, nous avons désigné par $\ \mathbf {24} _{H}\$ le champ adjoint utilisé pour briser la symétrie $\ SU(5)\$ vers celle du modèle standard (avec une valeur attendue dans le vide $\ v_{24}\$) et par $\ {\mathbf {5} }_{\mathrm {H} }=(T,H)^{\mathsf {T}}\$ la représentation fondamentale ; celle-ci contient le boson de Higgs du modèle standard $\ H\$ ainsi que le triplet de couleur $T$ susceptible d'induire la désintégration du proton. Comme mentionné précédemment, une masse $\ m_{\mathrm {T} }>10^{12}\ \mathrm {GeV} \$ est requise pour inhiber suffisamment la désintégration du proton. En revanche, le paramètre $\ \mu \$ est typiquement de l'ordre de $\ 100\ \mathrm {GeV} \$ pour être compatible avec les observations. À la lumière de l'équation ci-dessus, il apparaît clairement qu'il faut choisir avec une grande précision les paramètres $\ a\$ et ${\displaystyle \ b\$ :} on ne peut pas se contenter de paramètres choisis au hasard, car alors $\ \mu \$ et $\ m_{\mathrm {T} }\$pourraient être du même ordre de grandeur !

C'est ce que l'on appelle le problème de la séparation doublet-triplet (en) (DT) : pour assurer la cohérence, il faut « séparer » les « masses » de $\ T\$ and $\ H\$, ce qui nécessite un ajustement fin de $\ a\$ et $\ b~$. Il existe toutefois des solutions à ce problème (voir par exemple ) qui fonctionnent très bien dans les modèles SuSy.

Une synthèse sur le problème de la séparation DT est disponible.

Masses des neutrinos

Tout comme le modèle standard, le modèle original de Georgi-Glashow proposé n'inclut pas de masses pour les neutrinos. Cependant, l'observation de l'oscillation des neutrinos rend nécessaire l'existence de telles masses. Les solutions à ce problème suivent les mêmes idées que celles appliquées au modèle standard : d'une part, on peut introduire un singulet de $SU(5)$ capable de générer soit des masses de Dirac, soit des masses de Majorana ; d'autre part, comme dans le modèle standard, on peut mettre en œuvre le mécanisme de « seesaw » (ou mécanisme de balançoire) de type I, qui génère naturellement des masses légères.

Par ailleurs, on peut simplement paramétrer notre méconnaissance concernant les neutrinos en utilisant l'opérateur de Weinberg de dimension 5 :

${\mathcal {O}}_{W}=({\overline {\mathbf {5} }}_{F}\mathbf {5} _{H}){\frac {Y_{\nu }}{\Lambda }}({\overline {\mathbf {5} }}_{F}\mathbf {5} _{H})+h.c.$

où $Y_{\nu }$ est la matrices de Yukawa $3\times 3$ requise pour le mélange des saveurs.

Notes et références

Références

• (en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Georgi–Glashow model » (voir la liste des auteurs).

Voir aussi

Articles connexes

• Grande unification
• Théorie du tout
• Bosons X et Y

Bibliographie

• (en) Howard Georgi et Sheldon Glashow, « Unity of all elementary-particle forces », Physical Review Letters, vol. 32, n^o 8,‎ 1974, p. 438 (DOI 10.1103/PhysRevLett.32.438, Bibcode 1974PhRvL..32..438G, S2CID 9063239)
• (en) J.C. Baez et J. Huerta, « The Algebra of Grand Unified Theories », Bulletin of the American Mathematical Society, vol. 47, n^o 3,‎ 2010, p. 483–552 (DOI 10.1090/S0273-0979-10-01294-2, arXiv 0904.1556, S2CID 2941843)
• (en) Paul Langacker, Grand unification, vol. 7, coll. « Scholarpedia », 2012 (DOI 10.4249/scholarpedia.11419, Bibcode 2012SchpJ...711419L), chap. 10, p. 11 419