Groupe de Lie simple

En mathématiques, un groupe de Lie simple est un groupe de Lie non-abélien connexe G qui n'a pas de sous-groupes distingués connexes non triviaux. On déduit de la liste des groupes de Lie simples celle des algèbres de Lie simples et des espaces symétriques riemanniens.

En effet, avec le groupe de Lie commutatif des réels , et celui des nombres complexes de module 1, U(1) (le cercle unité), les groupes de Lie simples donnent les « blocs » qui composent tous les groupes de Lie connexes de dimension finie via l'opération d'extension de groupe. De nombreux groupes de Lie couramment rencontrés sont soit simples, soit « proches » de l'être : par exemple, le « groupe linéaire spécial » SL(n) de matrices n par n de déterminant égal à 1 est simple pour tout n > 1.

La première classification des groupes de Lie simples a été réalisée par Wilhelm Killing, ensuite affiné par Élie Cartan. La classification finale est appelée la classification de Killing-Cartan.

Définition

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Une définition équivalente d'un groupe de Lie simple découle de la correspondance de Lie : Un groupe de Lie connexe est simple si son algèbre de Lie est simple. Un point technique important est qu’un groupe de Lie simple peut contenir des sous-groupes distingués discrets. Pour cette raison, la définition d'un groupe de Lie simple n'est pas équivalente à la définition d'un groupe de Lie simple en tant que groupe abstrait.

Notons qu'il n’existe pas de définition universellement acceptée d’un groupe de Lie simple. En particulier, il n’est pas toujours défini comme étant un groupe de Lie qui soit simple en tant que groupe abstrait. Les auteurs diffèrent sur la question de savoir si un groupe de Lie simple doit être connexe, ou s'il est autorisé à avoir un centre non trivial.

Dans cet article, on classifie les groupes de Lie simples connexe de centre trivial (c'est-à-dire commutatif). Une fois ceux-ci connus, ceux avec un centre non trivial sont faciles à lister comme suit. Tout groupe de Lie simple de centre trivial possède un revêtement universel, dont le centre est le groupe fondamental du groupe de Lie simple. Les groupes de Lie simples correspondants avec centre non trivial peuvent être obtenus comme quotients de cette couverture universelle par un sous-groupe du centre.

Définitions alternatives

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La définition la plus courante est qu'un groupe de Lie est simple s'il est connexe, non-abélien, et que chaque sous-groupe distingué fermé connexe est soit l'identité, soit le groupe entier. En particulier, les groupes simples sont autorisés à avoir un centre non trivial, et n'est pas simple.

Les groupes de Lie simples comprennent de nombreux groupes de Lie classiques, qui apparaissent souvent en géométrie sphérique, en géométrie projective et aux géométries associées au sens du programme d'Erlangen de Felix Klein. Il est apparu au cours de la classification des groupes de Lie simples qu'il existe également plusieurs possibilités exceptionnelles ne correspondant à aucune géométrie familière. Ces groupes exceptionnels représentent de nombreux exemples et configurations particuliers dans d'autres branches des mathématiques, ainsi que dans la physique théorique contemporaine.

A titre de contre-exemple, le groupe linéaire général n'est ni simple, ni semi-simple. En effet, les matrices scalaires forment un sous-groupe distingué non trivial, échappant ainsi à la définition. De manière équivalente, l'algèbre de Lie correspondante a une forme de Killing dégénérée, car les multiples de l'identité correspondent à l'élément zéro de l'algèbre. Ainsi, l’algèbre de Lie correspondante n’est ni simple ni semi-simple. Un autre contre-exemple sont les groupes orthogonaux spéciaux en dimension paire. Ceux-ci ont dans leur centre , et cet élément est connecté par un chemin à l'élément identité , et donc ces groupes échappent à la définition. Ces deux groupes sont des groupes réductifs.

Idées connexes

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Algèbres de Lie simples

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L'algèbre de Lie d'un groupe de Lie simple est une algèbre de Lie simple. Il s'agit d'une correspondance biunivoque entre les groupes de Lie simples connexes de centre trivial et des algèbres de Lie simples de dimension supérieure à 1. (Les auteurs diffèrent sur la question de savoir si l'algèbre de Lie unidimensionnelle doit être considérée comme simple.)

Sur les nombres complexes les algèbres de Lie semi-simples sont classées par leurs diagrammes de Dynkin, de types "ABCDEFG". Si L est une algèbre de Lie simple réelle, sa complexification est une algèbre de Lie simple complexe, à moins que L ne soit déjà la complexification d'une algèbre de Lie, auquel cas la complexification de L est le produit de deux copies de L. Cela réduit le problème de la classification des algèbres de Lie simples réelles à celui de trouver toutes les formes réelles de chaque algèbre de Lie simple complexe (c'est-à-dire les algèbres de Lie réelles dont la complexification est l'algèbre de Lie complexe donnée). Les différentes formes réelles correspondent aux classes d'automorphismes d'ordre au plus 2 de l'algèbre de Lie complexe.

Espaces symétriques

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Les espaces symétriques sont classés comme suit.

Premièrement, le revêtement universel d’un espace symétrique est toujours symétrique, on peut donc se réduire au cas des espaces symétriques simplement connexes. (Par exemple, le revêtement universel du plan projectif réel est une sphère.)

Deuxièmement, le produit d'espaces symétriques est symétrique, on se réduit à classer les espaces irréductibles simplement connexes (où irréductible signifie qu'ils ne peuvent pas être écrits comme un produit d'espaces symétriques plus petits).

Les espaces symétriques irréductibles simplement connexes sont la droite réelle, et exactement deux espaces symétriques correspondant à chaque groupe de Lie simple non compact G, un compact et un non compact.

  1. Le groupe non compact est un revêtement du quotient de G par un sous-groupe compact maximal H ;
  2. Le groupe compact est un revêtement du quotient de la forme compacte de G par le même sous-groupe H.

Cette dualité entre espaces symétriques compacts et non compacts est une généralisation de la dualité bien connue entre géométrie sphérique et hyperbolique.

Espaces symétriques hermitiens

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Un espace symétrique avec une structure complexe compatible est dit hermitien. Les espaces symétriques hermitiens irréductibles compacts simplement connexes se classifient en 4 familles infinies plus 2 familles exceptionnelles, et chacune a un dual non compact. De plus, le plan complexe est également un espace symétrique hermitien ; cela donne la liste complète des espaces symétriques hermitiens irréductibles.

Les quatre familles sont les types A III, B I et D I pour p = 2, D III et C I, et les deux exceptionnels sont des types E III et E VII de dimensions complexes 16 et 27.

Notation

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représentent les nombres réels, les nombres complexes, les quaternions et les octonions.

Les symboles tels que E6−26 dénotent les groupes exceptionnels, et l'exposant −26 est la signature d'une forme bilinéaire symétrique invariante négative définie sur le sous-groupe compact maximal. Elle est égale à la dimension du groupe moins deux fois la dimension d'un sous-groupe compact maximal.

Le groupe fondamental répertorié dans le tableau ci-dessous est le groupe fondamental du groupe simple à centre trivial. D'autres groupes simples avec la même algèbre de Lie correspondent à des sous-groupes de ce groupe fondamental (modulo l'action du groupe d'automorphisme externe).

Classification complète

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Les groupes de Lie simples sont entièrement classifiée. La classification s'énonce généralement en plusieurs étapes, à savoir :

  • Classification des algèbres de Lie simples complexes. La classification des algèbres de Lie simples sur les nombres complexes par leur diagrammes de Dynkin.
  • Classification des algèbres de Lie simples réelles. Chaque algèbre de Lie complexe simple possède plusieurs formes réelles, classées par une généralisation de son diagramme de Dynkin, appelées diagrammes de Satake, d'après Ichirô Satake.
  • Classification des groupes de Lie simples sans centre. Pour chaque algèbre de Lie simple (réelle ou complexe) , il existe un unique groupe de Lie simple « sans centre » dont l'algèbre de Lie est et qui a un centre trivial.
  • Classification des groupes de Lie simples.

On peut montrer que le groupe fondamental de tout groupe de Lie est un groupe commutatif discret. Étant donné un sous-groupe (non trivial) du groupe fondamental d'un groupe de Lie , on peut utiliser la théorie des revêtements pour construire un groupe avec inclut dans son centre. De plus, n'importe quel groupe de Lie (réel ou complexe) peut être obtenu en appliquant cette construction à des groupes de Lie sans centre. Noter que les groupes de Lie réels obtenus de cette manière peuvent ne pas provenir d'une forme réelle d'un groupe complexe. Un exemple très important d'un tel groupe réel est le groupe métaplectique, qui apparaît dans la théorie et la physique des représentations de dimension infinie. Quand on prend pour le groupe fondamental entier, le groupe de Lie résultant est le revêtement universel du groupe de Lie sans centre, et est simplement connexe. En particulier, chaque algèbre de Lie (réelle ou complexe) correspond également à un unique groupe de Lie connexe et simplement connexe avec cette algèbre de Lie, appelée « groupe de Lie simplement connexe » associé à

Groupes de Lie compact

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Chaque algèbre de Lie simple complexe a une unique forme réelle dont le groupe de Lie sans centre correspondant est compact. Il s’avère que le groupe de Lie simplement connexe dans ce cas est également compact. Les groupes de Lie compacts ont une théorie des représentations particulièrement exploitable en raison du théorème de Peter-Weyl. Tout comme les algèbres de Lie simples complexes, les groupes de Lie compacts sans centre sont classés par des diagrammes de Dynkin (classés pour la première fois par Wilhelm Killing et Élie Cartan).

Dynkin diagrams

Pour la série infinie (A, B, C, D) de diagrammes de Dynkin, un groupe de Lie compact connexe associé à chaque diagramme de Dynkin peut être explicitement décrit comme un groupe matriciel, le groupe de Lie compact sans centre correspondant étant décrit comme le quotient par un sous-groupe de matrices scalaires. Pour ceux de type A et C, nous pouvons trouver des représentations matricielles explicites du groupe de Lie simplement connexe correspondant sous forme de groupes matriciels.

Aperçu de la classification

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Les algèbres de Lie simples de dimension finie sur le corps ℂ des nombres complexes sont classifiées par les diagrammes de Dynkin. Il y a donc 4 familles d'algèbres de Lie simples (ou 3 si on considère et comme une même famille) et 5 algèbres de Lie exceptionnelles, correspondant chacune à un diagramme de Dynkin différent. On a de même une classification en série des groupes de Lie simples.

Ar a pour groupe compact associé simplement connexe le groupe spécial unitaire, SU(r +1) et pour groupe compact sans centre associé le groupe unitaire projectif PU(r + 1).

Br a pour groupes compacts sans centre associés les groupes spéciaux orthogonaux impairs, SO(2r+1). Ce groupe n'est cependant pas simplement connecxe : son revêtement universel (double) est le groupe spinoriel.

Cr a pour groupe associé simplement connecxe le groupe des matrices symplectiques unitaires, Sp(r) et comme groupe sans centre associé le groupe de Lie PSp(r) = Sp(r)/{I,−I} des matrices symplectiques unitaires projectives. Les groupes symplectiques ont un revêtement double par le groupe métaplectique.

Dr a comme groupe compact associé les groupes spéciaux orthogonaux pairs, SO(2r) et comme groupe compact sans centre associé le groupe spécial orthogonal projectif PSO(2r) = SO(2r)/{I,−I}. Comme pour la série B, SO(r) n'est pas simplement connexe ; son revêtement universel est encore le groupe spinoriel, mais ce dernier possède encore un centre.

Le diagramme D2 est constitué de deux nœuds isolés, le même que A1A1, et cette coïncidence correspond au morphisme de SU(2) × SU(2) à SO(4) donné par multiplication des quaternions ; voir quaternions et rotation dans l'espace. Ainsi SO(4) n’est pas un groupe simple. De plus, le diagramme D3 est le même que A3, correspondant à un morphisme de revêtements de SU(4) dans SO(6).

En plus des quatre familles Ai, Bi, Ci et Di ci-dessus, il existe cinq diagrammes de Dynkin dits exceptionnels G2, F4, E6, E7 et E8 ; ces diagrammes Dynkin exceptionnels sont également associés à des groupes compacts simplement connexes et sans centre. Cependant, les groupes associés aux familles exceptionnelles sont plus difficiles à décrire que ceux associés aux familles infinies, en grande partie parce que leurs descriptions font appel à des objets exceptionnels. Par exemple, le groupe associé à G2 est le groupe d'automorphisme des octonions, et le groupe associé à F4 est le groupe d'automorphisme d'une certaine algèbre d'Albert.

Liste des groupes de Lie simple

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Abélien

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Dimension Groupe d'automorphisme externe Dimension de l'espace symétrique Espace symétrique
(abélien) 1 1

Le groupe n'est pas "simple" en tant que groupe abstrait et, selon la plupart des définitions (mais pas toutes), il ne s'agit pas d'un groupe de Lie simple. De plus, la plupart des auteurs ne considèrent pas son algèbre de Lie comme une algèbre de Lie simple. Il est mentionné ici afin que la liste des "espaces symétriques irréductibles simplement connectés" soit complète. Notez que est le seul espace symétrique non compact sans dual compact (bien qu'il ait un quotient compact S1).

Compact

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Dimension Rang réel Groupe fondamental Groupe d'automorphismes externes Autres noms Remarques
An (n ≥ 1) compact n(n + 2) 0 Cyclique, d'ordre n + 1 1 si n = 1, 2 si n > 1 groupe unitaire spécial projectif
PSU(n + 1)
A1 est égal à B1 et C1
Bn (n ≥ 2) compact n(2n + 1) 0 2 1 groupe spécial orthogonal
SO2n+1()
B1 est égal à A1 et C1.
B2 est égal à C2.
Cn (n ≥ 3) compact n(2n + 1) 0 2 1 groupe symplectique compact projectif
PSp(n), PSp(2n), PUSp(n), PUSp(2n)
Hermitien.

Structures complexes de Hn. Copies d'espace projectif complexe dans l'espace projectif quaternionique.

Dn (n ≥ 4) compact n(2n − 1) 0 Ordre 4 (cyclique lorsque n est impair). 2 si n > 4, S 3 si n = 4 groupe spécial orthogonal projectif
PSO2n()
D3 est égal à A3, D2 est égal à A12. D1 est abélien.
E6−78 compact 78 0 3 2
E7-133 compact 133 0 2 1
E8−248 compact 248 0 1 1
F4−52 compact 52 0 1 1
G2−14 compact 14 0 1 1 C'est le groupe d'automorphisme de l'algèbre de Cayley.

Complexe

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Dimension réelle Rang réel Sous-groupe compact maximal Groupe fondamental Groupe des automorphismes extérieurs Autres noms Dimension de l'espace symétrique Espace symétrique compact Espace symétrique non-compact
An (n ≥ 1) complexe 2n(n + 2) n An Cyclique, ordre n + 1 2 si n = 1, 4 (non cyclique) si n ≥ 2 . PSLn+1(C) n(n + 2) Groupe compact An Formes hermitiennes sur Cn +1 à volume fixe.
Bn (n ≥ 2) complexe 2n(2n + 1) n Bn 2 Ordre 2 (conjugaison complexe) SO2n+1(C) n(2n + 1) Groupe compact Bn
Cn (n ≥ 3) complexe 2n(2n + 1) n Cn 2 Ordre 2 (conjugaison complexe) PSp2n(C) n(2n + 1) Groupe compact Cn
Dn (n ≥ 4) complexe 2n(2n − 1) n Dn Ordre 4 (cyclique lorsque n est impair) Non cyclique d'ordre 4 pour n > 4,

Produit d'un groupe d'ordre 2 et du groupe symétrique S3 lorsque n = 4.

PSO2n(C) n (2 n − 1) Groupe compact Dn
E6 complexe 156 6 E6 3 Ordre 4 (non cyclique) 78 Groupe compact E6
E7 complexe 266 7 E7 2 Ordre 2 (conjugaison complexe) 133 Groupe compact E7
E8 complexe 496 8 E8 1 Ordre 2 (conjugaison complexe) 248 Groupe compact E8
F4 complexe 104 4 F4 1 2 52 Groupe compact F4
G2 complexe 28 2 G2 1 Ordre 2 (conjugaison complexe) 14 Groupe compact G2

Scindé

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Dimension Rang réel Sous-groupe compact maximal Groupe fondamental Groupe d'automorphismes extérieurs Autres noms Dimension de l'espace symétrique Espace symétrique compact Espace symétrique non-compact Remarques
An I (n ≥ 1) scindé n(n + 2) n Dn/2 ou B(n−1)/2 Cyclique infini si n = 1

2 si n ≥ 2
1 si n = 1

2 si n ≥ 2.
PSLn+1(R) n(n + 3)/2 Structures réelles sur Cn+1 ou RPn dans CPn.

Hermitien si n = 1, auquel cas on obtient la 2-sphère.

Structures euclidiennes sur Rn+1.

Hermitien si n = 1, le demi-plan de Poincaré ou le disque unité

Bn I (n ≥ 2) scindé n(2n + 1) n SO(n)SO(n+1) Non-cyclique, ordre 4 1 SO(n,n+1) (composante connexe de l'identité de SO(n))

n(n + 1) B1 est égal à A1.
Cn I (n ≥ 3) scindé n(2n + 1) n An−1S1 Cyclique infini 1 PSp2n(R), PSp(2n,R), PSp(2n), PSp(n,R), PSp(n) n(n + 1) Hermitien.

Structures complexes de Hn. Copies d'espace projectif complexe dans l'espace projectif quaternionique.

Hermitien.

Structures complexes de R2n compatible avec une forme symplectique. Copies d'espace projectif complexe dans l'espace projectif. Demi-espace supérieur de Siegel.

C2 est égal à B2, et C1 est égal à B1 et A1.
Dn I (n ≥ 4) scindé n(2n - 1) n SO(n)SO(n) ordre 4 si n impair, 8 si n pair 2 si n > 4, S3 si n = 4 PSO(n,n) (composante connexe de l'identité de PSO(n)) n2 D3 est égal à A3,

D2 égal à A12, et est abélien.

E66 I scindé 78 6 C4 ordre 2 ordre 2 E I 42
E77 V scindé 133 7 A7 Cyclique, ordre 4 ordre 2 70
E88 VIII scindé 248 8 D8 2 1 E VIII 128
F44 I scindé 52 4 C3 × A1 ordre 2 1 F I 28 Plans projectifs quaternioniques dans le plan projectif de Cayley. Plans projectifs quaternioniques hyperboliques dans le plan projectif hyperbolique de Cayley.
G22 I scindé 14 2 A1 × A1 ordre 2 1 G I 8 Sous-algèbres quaternioniques de l'algèbre de Cayley. Quaternion-Kähler. Sous-algèbres quaternioniques sans diviseurs de zéro de l'algèbre de Cayley sans diviseurs de zéro. Quaternion-Kähler.
Dimension Rang réel Sous-groupe compact maximal Groupe fondamental Groupe d'automorphismes extérieurs Autres noms Dimension de l'espace symétrique Espace symétrique compact Espace symétrique non-compact Remarques
A2n−1 II

(n ≥ 2)
(2n − 1)(2n + 1) n − 1 Cn ordre 2 SLn(H), SU(2n) (n − 1)(2n + 1) Structures quaternioniques sur C2n compatible avec la structure hermitienne Copies de l'espace hyperbolique quaternionique (de dimension n - 1) dans l'espace hyperbolique complexe (de dimension 2n - 1).
An III

(n ≥ 1)

p + q = n + 1

(1 ≤ pq)
n(n + 2) p Ap−1Aq−1S1 SU(p,q), A III 2pq Hermitien.

Grassmannienne de p-sous-espaces de Cp+q.

Si p r q is 2; quaternion-Kähler
Hermitien.

Grassmannienne de p-sous-espaces définis positifs de Cp+q.

si p ou q vaut 2, quaternion-Kähler
si p=q=1, scindé

si p-q ≤ 1, quasi-scindé
Bn I

(n > 1)

p+q = 2n+1
n(2n + 1) min(p,q) SO(p)SO(q) SO(p,q) pq Grassmannienne de p-sous-espaces de Rp,q.

si p ou q vaut 1, espace projectif

si p ou q vaut 2; hermitien

si p ou q vaut 4, quaternion-Kähler
Grassmannienne de p-sous-espaces définis positifs de Rp,q.

si p ou q vaut 1, espace hyperbolique

si p ou q vaut 2, hermitien

si p ou q vaut 4, quaternion-Kähler
si p-q ≤ 1, scindé.
Cn II

(n > 2)

n = p+q

(1 ≤ pq)
n(2n + 1) min(p,q) CpCq ordre 2 1 si pq, 2 si p = q. Sp2p,2q(R) 4pq Grassmannienne of p-sous-espaces de Hp,q.

si p ou q vaut 1, espace projectif quaternionique
Grassmannienne of p-sous-espaces de Hp,q.

si p ou q vaut 1, espace hyperbolique quaternioniqu
Dn I

(n ≥ 4)

p+q = 2n
n(2n − 1) min(p,q) SO(p)SO(q) si p et q ≥ 3, ordre 8. SO(p,q) pq Grassmannienne de p-sous-espaces de Rp+q.

si p ou q vaut 1, espace projectif

si p ou q vaut 2; hermitien

si p ou q vaut 4, quaternion-Kähler
Grassmannienne de p-sous-espaces définis positifs de Rp,q.

si p ou q vaut 1, espace hyperbolique

si p ou q vaut 2, hermitien

si p ou q vaut 4, quaternion-Kähler
si p = q, scindé

si p-q ≤ 2, quasi-scindé
Dn III

(n ≥ 4)
n(2n − 1) n/2⌋ An−1R1 Infini cyclique ordre 2 SO*(2n) n(n − 1) Hermitien

Structures quaternioniques sur R2n compatible avec la structure euclidienne.
Hermitien

Formes quadratiques quaternioniques sur R2n
E62 II

(quasi-scindé)
78 4 A5A1 Cyclique, ordre 6 ordre 2 E II 40 Quaternion-Kähler Quaternion-Kähler Quasi-scindé, non scindé.
E6−14 III 78 2 D5S1 Infini cyclique Trivial E III 32 Hermitien

Plan projectif elliptique de Rosenfeld
Hermitien

Plan projectif hyperbolique de Rosenfeld
E6−26 IV 78 2 F4 Trivial ordre 2 E IV 26 Ensemble des plans projectifs de Cayley dans le plan projectif Ensemble des plans hyperbolique de Cayley dans le plan projectif
E7−5 VI 133 4 D6A1 Non cyclique, ordre 4 Trivial E VI 64 Quaternion-Kähler Quaternion-Kähler
E7−25 VII 133 3 E6S1 Infini cyclique ordre 2 E VII 54 Hermitien Hermitien
E8−24 IX 248 4 E7 × A1 ordre 2 1 E IX 112 Quaternion-Kähler Quaternion-Kähler
F4−20 II 52 1 B4 (Spin9(R)) ordre 2 1 F II 16 Plan de Cayley projectif

Quaternion-Kähler

Plan de Cayley hyperbolique

Quaternion-Kähler

Groupes de Lie simples de petite dimension

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La table suivant répertorie quelques groupes de Lie avec des algèbres de Lie simples de petite dimension. Les groupes sur une ligne donnée ont tous la même algèbre de Lie. Dans le cas de la dimension 1, les groupes sont abéliens et non simples.

Dim Groupes Espace symétrique Dual compact Rang Dim
1 , Abélien Droite réelle 0 1
3 Compact
3 SL2() = Sp2(), SO2,1() Scindé, Hermitien, hyperbolique Plan hyperbolique Sphère S2 1 2
6 SL2() = Sp2(), SO3,1(), SO3() Complexe Espace hyperbolique Sphère S3 1 3
8 SL3() Scindé Structures euclidiennes sur Structures réelles sur 2 5
8 SU(3) Compact
8 SU(1,2) Hermitien, quasi- Scindé, quaternionique Plan hyperbolique complexe Plan projectif complexe 1 4
10 Sp(2) = Spin(5), SO5() Compact
10 SO4,1(), Sp2,2() Hyperbolique, quaternionique Espace hyperbolique Sphère S4 1 4
10 SO3,2(), Sp4() Scindé, Hermitien Demi-espace supérieur de Siegel Structures complexe sur 2 6
14 G2 Compact
14 G2 Scindé, quaternionique Sous-algèbre quaternionique sans division des octonions sans division Sous-algèbre quaternionique des octonions 2 8
15 SU(4) = Spin(6), SO6() Compact
15 SL4(), SO3,3() Scindé 3 dans 3,3 Grassmannienne G(3,3) 3 9
15 SU(3,1) Hermitien Espace hyperbolique complexe Espace projectif complexe 1 6
15 SU(2,2), SO4,2() Hermitien, quasi- Scindé, quaternionique 2 dans 2,4 Grassmannienne G(2,4) 2 8
15 SL2(), SO5,1() Hyperbolique Espace hyperbolique Sphère S5 1 5
16 SL3() Complexe SU(3) 2 8
20 SO5(), Sp4() Complexe Spin5() 2 10
21 SO7() Compact
21 SO6,1() Hyperbolique Espace hyperbolique Sphère S6
21 SO5,2() Hermitien
21 SO4,3() Scindé, quaternionique
21 Sp(3) Compact
21 Sp6() Scindé, hermitien
21 Sp4,2() Quaternionique
24 SU(5) Compact
24 SL5() Scindé
24 SU4,1 Hermitien
24 SU3,2 Hermitien, quaternionique
28 SO8() Compact
28 SO7,1() Hyperbolique Espace hyperbolique Sphère S7
28 SO6,2() Hermitien
28 SO5,3() Quasi- Scindé
28 SO4,4() Scindé, quaternionique
28 SO8() Hermitien
28 G2() Complexe
30 SL4() Complexe

Groupes simplement lacés

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Un groupe simplement lacé est un groupe de Lie dont le diagramme de Dynkin ne contient que des liens simples, et donc toutes les racines non nulles de l'algèbre de Lie correspondante ont la même longueur. Les groupes des séries A, D et E sont tous simplement entrelacés, mais aucun groupe de type B, C, F ou G n'est simplement entrelacé.

Articles connexes

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Références

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Lectures complémentaires

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