Groupe simple

En mathématiques, et plus particulièrement en théorie des groupes, un groupe simple est un groupe non trivial qui ne possède pas de sous-groupe distingué autre que lui-même et son sous-groupe trivial^[1]^,^[2].

Un groupe qui n'est pas simple peut-être décomposé en deux groupes plus petits, que sont un sous-groupe distingué propre non-trivial et le groupe obtenu en réalisant le quotient par ce sous-groupe. Dans le cas des groupes finis, les groupes simples forment en quelque sorte les briques élémentaires des groupes finis, de la même façon que les nombres entiers peuvent être décomposés en produit de nombres premiers. La classification des groupes finis simples a été complété dans les années 1980.

Définition

Étant donné un groupe $G$ , un sous-groupe $H$ est distingué s'il est stable par l'action par conjugaison de $G$ , c'est-à-dire si pour tout élément $g\in G$ , $gHg^{-1}\subset H$ . Il est alors possible de construire de munir l'ensemble $G/H$ des classes de $G$ d'une structure de groupe quotient.

Un groupe $G$ est dit simple s'il possède exactement deux sous-groupes distingués, à savoir le sous-groupe trivial et $G$ lui-même. En particulier, le groupe trivial n'est pas simple.

Exemples

Quelques exemples de groupes simples :

Les seuls groupes abéliens simples sont les groupes finis d'ordre premier (ces groupes sont cycliques)^[3].
Le groupe $\mathrm {SO} _{3}(\mathbb {R} )$ des matrices spéciales orthogonales d'ordre $3$ à coefficients réels est simple^[4]. Plus généralement, les groupes $\mathrm {SO} _{n}(\mathbb {R} )$ sont simples si et seulement si $n$ est impair. Pour $n$ pair, le groupe $\mathrm {SO} _{n}(\mathbb {R} )$ contient toujours le sous-groupe normal $\lbrace \mathrm {Id} ,-\mathrm {Id} \rbrace$ , et n'est donc pas simple. Le groupe quotient $\mathrm {SO} _{n}(\mathbb {R} )/\lbrace \mathrm {Id} ,-\mathrm {Id} \rbrace$ est simple si et seulement si le nombre pair $n$ est supérieur ou égal à $6$ . Le groupe $\mathrm {SO} _{4}(\mathbb {R} )/\lbrace \mathrm {Id} ,-\mathrm {Id} \rbrace$ n'est pas simple, étant isomorphe au produit de $\mathrm {SO} _{3}(\mathbb {R} )$ par lui-même^[5].
Pour $n$ supérieur ou égal à $5$ , le groupe alterné $A_{n}$ sur $n$ éléments est simple. Ce résultat est fondamental pour la démonstration du théorème d'Abel, qui énonce qu'il existe des équations polynomiales de degré $5$ qui ne sont pas résolubles par radicaux. Plus généralement, la théorie de Galois caractérise les équations polynomiales résolubles par radicaux à l'aide des groupes simples, à travers la notion de groupe de Galois d'un polynôme.
De nombreux groupes de type de Lie sont simples. C'est le cas, par exemple, du groupe simple d'ordre 168 qui peut être vu comme le groupe linéaire d'un espace vectoriel de dimension $3$ sur le corps fini à deux éléments.
Les groupes sporadiques.
Toute limite inductive de groupes simples qui n'est pas le groupe trivial est un groupe simple^[6].

Intérêt

Le terme « simple » signifie que de tels groupes ne sont pas, en quelque sorte, « réductibles » à un groupe plus maniable. L'intérêt d'un sous-groupe distingué non trivial $H$ d'un groupe $G$ est souvent de permettre la construction du groupe quotient $G/H$ . L'étude de $G$ se ramène alors à celle de $H$ et de $G/H$ . Cette construction n'est pas possible pour un groupe simple et on ne peut donc pas ramener son étude à celle d'un groupe quotient de cardinal plus petit que lui.

Tout groupe simple non abélien est non résoluble.

Un groupe infini simple n'a pas de sous-groupe propre d'indice fini^[7].

Les groupes simples finis sont importants car ils peuvent être perçus comme les briques de base de tous les groupes finis, de la même façon que tous les nombres entiers peuvent être décomposés en produit de nombres premiers.

La classification des groupes simples finis fut achevée en 1982.

Théorème de Feit-Thompson

Article détaillé : Théorème de Feit-Thompson.

Le théorème de Feit-Thompson énonce que tout groupe fini d’ordre impair est résoluble. Il en résulte que tout groupe fini simple non abélien est d’ordre pair et contient donc au moins une involution (c'est-à-dire un élément d'ordre 2).

Notes et références

↑ (en) Joseph J. Rotman (en), An Introduction to the Theory of Groups [détail des éditions], 4^e éd., tirage de 1999, p. 39.
↑ N. Bourbaki, Éléments de mathématique, Algèbre, ch. 1, 1970, p. 36.
↑ Voir par exemple le paragraphe « Groupes simples commutatifs » du cours de théorie des groupes sur Wikiversité.
↑ Voir par exemple cet exercice corrigé de la leçon « Espace euclidien » sur Wikiversité.
↑ D. Perrin, Cours d'algèbre, Ellipses, 1996
↑ N. Bourbaki, Algèbre, chap. I, p. 157, exercice.
↑ Voir par exemple (en) Geoff Smith (en) et Olga Tabachnikova, Topics in Group Theory, Springer, 2012 (lire en ligne), p. 115-116, ou le théorème 6 du chapitre « Premiers résultats sur les groupes simples » sur Wikiversité.

Voir aussi

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Articles connexes

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[1] (en) Joseph J. Rotman (en), An Introduction to the Theory of Groups [détail des éditions], 4^e éd., tirage de 1999, p. 39.

[2] N. Bourbaki, Éléments de mathématique, Algèbre, ch. 1, 1970, p. 36.

[3] Voir par exemple le paragraphe « Groupes simples commutatifs » du cours de théorie des groupes sur Wikiversité.

[4] Voir par exemple cet exercice corrigé de la leçon « Espace euclidien » sur Wikiversité.

[5] D. Perrin, Cours d'algèbre, Ellipses, 1996

[6] N. Bourbaki, Algèbre, chap. I, p. 157, exercice.

[7] Voir par exemple (en) Geoff Smith (en) et Olga Tabachnikova, Topics in Group Theory, Springer, 2012 (lire en ligne), p. 115-116, ou le théorème 6 du chapitre « Premiers résultats sur les groupes simples » sur Wikiversité.

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