Moyenne logarithmique

En mathématiques, la moyenne logarithmique est un type de moyenne.

Graphique tridimensionnel représentant la moyenne logarithmique de x et y.

Pour deux réels strictement positifs, elle est égale à leur différence, divisée par le logarithme de leur quotient. Cette moyenne est utilisée lors de problèmes d'ingénierie concernant le transfert de chaleur et de masse.

Définitions

La moyenne logarithmique de deux réels strictement positifs $a,b$ est définie par :

${\begin{aligned}M_{\text{ln}}(a,b)&=\lim _{(x,y)\to (a,b)}{\frac {x-y}{\ln x-\ln y}}\\[6pt]&={\begin{cases}a&{\text{si }}a=b,\\{\frac {b-a}{\ln b-\ln a}}&{\text{sinon}}\end{cases}}&=\int _{0}^{1}a^{u}b^{1-u}\mathrm {d} u\end{aligned}}$.

Ainsi, par exemple, la moyenne logarithmique de 1 et 2 est ${\frac {1}{\ln 2}}=1,4426\cdots$, voir la suite A007525 de l'OEIS.

La moyenne logarithmique de $n$ réels positifs $a_{1},\ldots ,a_{n}$ est définie par:

${\frac {1}{M_{\text{ln}}(a_{1},\ldots ,a_{n})}}=(n-1)!\int _{E_{n-1}}\left(\sum _{i=1}^{n}u_{i}a_{i}\right)^{-1}\mathrm {d} \mathbf {u}$

ou, de manière équivalente:

$M_{\text{ln}}(a_{1},\ldots ,a_{n})=(n-1)!\int _{E_{n-1}}\prod _{i=1}^{n}a_{i}^{u_{i}}\mathrm {d} \mathbf {u}$

où $E_{n-1}$ désigne le simplexe euclidien

$E_{n-1}=\left\{(u_{1},\ldots ,u_{n-1}),\forall i\in [\![1;n-1]\!],u_{i}\geqslant 0,\sum _{i=1}^{n-1}u_{i}\leqslant 1\right\}$

et ${\textstyle u_{n}=1-\sum _{i=1}^{n-1}u_{i}}$ et ${\textstyle \mathrm {d} \mathbf {u} =\mathrm {d} u_{1}\ldots \mathrm {d} u_{n-1}}$

Si tous les $a_{1},\ldots ,a_{n}$ sont distincts deux à deux, alors la formule se simplifie en :

$M_{\text{ln}}(a_{1},\ldots ,a_{n})=(n-1)!\sum _{i=1}^{n}a_{i}\prod _{k=1,\,k\neq i}^{n}{\frac {1}{\ln a_{i}-\ln a_{k}}}$

ou

$M_{\text{ln}}(a_{1},\ldots ,a_{n})=(n-1)\sum _{i=1}^{n}{\frac {a_{i}^{n-2}\log(a_{i})}{\prod _{k=1,\,k\neq i}^{n}(a_{i}-a_{k})}}$

Propriétés

La moyenne logarithmique est bien une moyenne, car comprise entre a et b (ce résultat est connu sous le nom d'« inégalité de Napier»). Elle est de plus homogène : $M_{\ln }(ka,kb)=kM_{\ln }(a,b)$.

Inégalités

Illustration de l'inégalité arithmético-logarithmo-géométrique : ${\sqrt {ab}}\leqslant M_{\text{ln}}(a,b)\leqslant {\frac {a+b}{2}}$

La moyenne logarithmique de deux nombres est inférieure ou égale à leur moyenne arithmétique et à leur moyenne d'ordre 1/2, mais supérieure ou égale à leur moyenne géométrique et à leur moyenne harmonique ; plus précisément :

${\frac {2ab}{a+b}}\leqslant {\sqrt {ab}}\leqslant M_{\text{ln}}(a,b)\leqslant \left({\frac {{\sqrt {a}}+{\sqrt {b}}}{2}}\right)^{2}\leqslant {\frac {a+b}{2}}\qquad {\text{ pour }}a,b>0$ .

Les deux inégalités extrêmes viennent de la croissance avec $p$ de la moyenne d'ordre $p$ et les deux inégalités centrales de la croissance avec $p$ de la moyenne de Stolarsky $S_{p}(a,b)$.

Ces deux dernières inégalités se démontrent élémentairement comme suit.

Pour $b\geqslant a$, on pose $x={\sqrt {b/a}}$ ; les inégalités ${\sqrt {ab}}\leqslant M_{\text{ln}}(a,b)\leqslant \left({\frac {{\sqrt {a}}+{\sqrt {b}}}{2}}\right)^{2}$ s'écrivent alors $x\leqslant {\frac {x^{2}-1}{2\ln x}}\leqslant \left({\frac {1+x}{2}}\right)^{2}$.

En remplaçant $x$ par $\mathrm {e} ^{x},x\geqslant 0$, la première inégalité s'écrit $x\leqslant {\frac {\mathrm {e} ^{2x}-1}{2\mathrm {e} ^{x}}}=\sinh x$, inégalité classique.

La deuxième s'écrit aussi $\ln x\geqslant 2{\frac {x-1}{x+1}}$ ; en remplaçant $x$ par $\mathrm {e} ^{2x},x\geqslant 0$, elle s'écrit $x\geqslant \tanh x$, inégalité également classique.

La relation entre les moyennes géométrique, logarithmique et arithmétique peut aussi se déduire de l'inégalité d'Hermite-Hadamard pour f = exp sur [ln(a) , ln(b)].

Contrairement à d'autres moyennes usuelles, la moyenne logarithmique ne vérifie pas la propriété de compatibilité : la moyenne logarithmique de n nombres change si on remplace p < n termes par leur moyenne logarithmique partielle.

Diverses obtentions de cette moyenne

Par le théorème des accroissements finis

D'après le théorème des accroissements finis, il existe un réel $c$ entre a et b où la dérivée d'une fonction f est égale à la pente de la sécante :

$\exists c\in ]a,b[:\ f'(c)={\frac {f(b)-f(a)}{b-a}}$

La moyenne logarithmique est le nombre $c$ lorsque l'on prend $f=\ln$ :

${\frac {1}{c}}={\frac {\ln b-\ln a}{b-a}}$

soit :

$c={\frac {b-a}{\ln b-\ln a}}$

Par intégration

La moyenne logarithmique peut également être interprétée comme l'aire sous une courbe définie par des fonctions exponentielle :$$M_{\ln }(a,b)=\int _{0}^{1}a^{1-t}b^{t}\ \mathrm {d} t$$

Démonstration

Le calcul est direct :

$\int _{0}^{1}a^{1-t}b^{t}\ \mathrm {d} t=a\int _{0}^{1}\left({\frac {b}{a}}\right)^{t}\mathrm {d} t=a\left[{\frac {1}{\ln \left({\frac {b}{a}}\right)}}\left({\frac {b}{a}}\right)^{t}\right]_{t=0}^{t=1}={\frac {b-a}{\ln \left({\frac {b}{a}}\right)}}={\frac {b-a}{\ln b-\ln a}}$

Carlson donne d'autres expressions intégrales: $${1 \over M_{\ln }{(a,b)}}=\int _{0}^{1}{\operatorname {d} \!t \over (1-t)a+tb}\ =\int _{0}^{\infty }{\operatorname {d} \!t \over (t+a)\,(t+b)}.$$

Démonstration

La première intégrale se fait par un simple changement de variables affine :

$\int _{0}^{1}{\operatorname {d} \!t \over (1-t)a+tb}=\int _{a}^{b}{1 \over u}{\operatorname {d} \!u \over b-a}={\frac {\ln b-\ln a}{b-a}}$.

Pour la deuxième intégrale, on utilise la décomposition en éléments simples :

$\int _{0}^{\infty }{\operatorname {d} \!t \over (t+a)\,(t+b)}={1 \over b-a}\int _{0}^{\infty }\left({1 \over (t+a)}-{1 \over (t+b)}\right)\operatorname {d} \!t={1 \over b-a}\left[\ln \left({{t+a} \over t+b}\right)\right]_{0}^{\infty }={\frac {-\ln(a/b)}{b-a}}$.

D'après le théorème des sommes de Riemann, $M_{\ln }(a,b)$ est la limite de la suite décroissante $\left({\frac {1}{n+1}}\displaystyle \sum _{k=0}^{n}{\sqrt[{n}]{a^{n-k}b^{k}}}\right)_{n\geqslant 0}$, formée de moyennes arithmétiques de moyennes géométriques pondérées.

Généralisation

Par le théorème des accroissements finis généralisé à l'ordre n

On peut généraliser la moyenne logarithmique à n + 1 variables en considérant le théorème des accroissements finis généralisé à l'ordre n faisant intervenir les différences divisées d'ordre n du logarithme.

On obtient

$L_{\text{MV}}(x_{0},\,\dots ,\,x_{n})={\sqrt[{-n}]{(-1)^{(n+1)}n\ln \left(\left[x_{0},\,\dots ,\,x_{n}\right]\right)}}$

où $\ln \left(\left[x_{0},\,\dots ,\,x_{n}\right]\right)$ désigne la différence divisée d'ordre n du logarithme.

Pour n = 2, cela donne par exemple :

$L_{\text{MV}}(x,y,z)={\sqrt {\frac {(x-y)\left(y-z\right)\left(z-x\right)}{2\left[\left(y-z\right)\ln x+\left(z-x\right)\ln y+\left(x-y\right)\ln z\right]}}}$ .

Par intégration

L'interprétation intégrale peut aussi être généralisée à plusieurs variables, mais elle conduit à un résultat différent. Étant donné le simplexe ${\textstyle S}$ où ${\textstyle S=\{\left(\alpha _{0},\,\dots ,\,\alpha _{n}\right):\left(\alpha _{0}+\dots +\alpha _{n}=1\right)\land \left(\alpha _{0}\geqslant 0\right)\land \dots \land \left(\alpha _{n}\geqslant 0\right)\}}$ et une mesure appropriée ${\textstyle \mathrm {d} \alpha }$ qui assigne au simplexe un volume égal à 1, on obtient

$L_{\text{I}}\left(x_{0},\,\dots ,\,x_{n}\right)=\int _{S}x_{0}^{\alpha _{0}}\cdot \,\cdots \,\cdot x_{n}^{\alpha _{n}}\ \mathrm {d} \alpha$

Cela peut être simplifié en utilisant les différences divisées de la fonction exponentielle pour

$L_{\text{I}}\left(x_{0},\,\dots ,\,x_{n}\right)=n!\exp \left[\ln \left(x_{0}\right),\,\dots ,\,\ln \left(x_{n}\right)\right]$ .

Exemple pour ${\textstyle n=2}$

$L_{\text{I}}(x,y,z)=-2{\frac {x\left(\ln \left(y\right)-\ln \left(z\right)\right)+y\left(\ln \left(z\right)-\ln \left(x\right)\right)+z\left(\ln \left(x\right)-\ln \left(y\right)\right)}{\left(\ln \left(x\right)-\ln \left(y\right)\right)\left(\ln \left(y\right)-\ln \left(z\right)\right)\left(\ln \left(z\right)-\ln \left(x\right)\right)}}$ .

Relations avec d'autres moyennes

• Moyenne arithmétique : ${\frac {M_{\ln }\left(x^{2},y^{2}\right)}{M_{\ln }(x,y)}}={\frac {x+y}{2}}$

• Moyenne géométrique : ${\sqrt {\frac {M_{\ln }\left(x,y\right)}{M_{\ln }\left({\frac {1}{x}},{\frac {1}{y}}\right)}}}={\sqrt {xy}}$

• Moyenne harmonique : ${\frac {M_{\ln }\left({\frac {1}{x}},{\frac {1}{y}}\right)}{M_{\ln }\left({\frac {1}{x^{2}}},{\frac {1}{y^{2}}}\right)}}={\frac {2}{{\frac {1}{x}}+{\frac {1}{y}}}}$

Articles connexes

• La moyenne géométrique, autre moyenne liée aux logarithmes
• La moyenne de Stolarsky dont la moyenne logarithmique est un cas particulier
• Différence de température moyenne logarithmique (en)

Références

Notes

(en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Logarithmic mean » (voir la liste des auteurs).