Nombre octogonal

En mathématiques, un nombre octogonal est un nombre figuré polygonal qui peut être représenté graphiquement par des points répartis dans un octogone. Le nombre octogonal d'ordre $n$ est donné par la formule  :

Le nombre octogonal $O_{6}=96$ dans son carré entouré de rouge, avec les nombres octogonaux qui le précèdent.

$P_{8,n}=O_{n}=n(3n-2)$.

Les treize premiers nombres octogonaux sont 1, 8, 21, 40, 65, 96, 133, 176, 225, 280, 341, 408 et 481 (suite A000567 de l'OEIS).

Obtention de ces nombres

Pour avoir $n$ points sur chaque côté de l'octogone extérieur, on ajoute à l'étape $n$ : $8-1$ points aux sommets et $(8-2)(n-2)$ points à l'intérieur des côtés, d'où $O_{n}-O_{n-1}=7+6(n-2)=6(n-1)+1$.

Donc $O_{n}=\sum _{k=1}^{n}(6(k-1)+1)=\sum _{k=0}^{n-1}(6k+1)=3n(n-1)+n=n(3n-2)$.

Nombre octogonal $O_{5}=C_{5}+4T_{4}=25+4\times 10=65$

Autre construction

De la formule générale $P_{k,n}=P_{k-1,n}+T_{n-1}$, découle par exemple que $O_{n}$ s'obtient en ajoutant le nombre carré $C_{n}$ au quadruple du $(n-1)$-ème nombre triangulaire : $O_{n}=C_{n}+4T_{n-1}=n^{2}+2n(n-1)$ .

Propriétés

• $O_{n}=n+6T_{n-1}=n+3n(n-1)$ est congru à $n$ modulo 6 et a donc même parité que lui.

• D'après le théorème des nombres polygonaux de Fermat, tout entier naturel est la somme d'au plus 8 nombres octogonaux.

Références

(en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Octagonal number » (voir la liste des auteurs).

Articles connexes

• Nombre polygonal
• Nombre octogonal centré
• Nombre octaédrique