Norme asymétrique
En mathématiques, une norme asymétrique sur un espace vectoriel est une généralisation du concept de norme.
Définition
modifierUne norme asymétrique sur un espace vectoriel réel est une fonction qui est :
- sous-additive, i.e. satisfait à l'inégalité triangulaire : pour tous ;
- positivement homogène : pour tout et tout nombre réel positif ou nul
- définie positive : pour tout non nul.
Les normes asymétriques diffèrent des normes dans la mesure où l'on n'a pas nécessairement l'égalité .
Si la dernière condition est omise, c'est-à-dire si l'on ne suppose pas que est définie positive, on dit que est une semi-norme asymétrique. Une condition plus faible qu'être définie positive est d'être non dégénérée : au moins l'un des deux nombres et n'est pas nul.
Exemples
modifierSur la droite réelle la fonction donnée parest une norme asymétrique mais pas une norme.
Dans un espace vectoriel réel la fonctionnelle de Minkowski d'une partie convexe qui contient l'origine est définie par la formule :
pour .
Cette fonctionnelle est une semi-norme asymétrique lorsque est un ensemble absorbant, ce qui signifie que et assure que est fini pour tout .
Correspondance entre semi-normes asymétriques et sous-ensembles convexes de l'espace dual
modifierSi est une partie convexe qui contient l'origine, alors on peut définir une semi-norme asymétrique sur par la formulepour . Par exemple, si est le carré ayant pour sommets alors est la norme 1 . Des ensembles convexes différents donnent des semi-normes différentes et toute semi-norme asymétrique sur est déterminée par un ensemble convexe, appelé sa boule unité duale. Par conséquent, les semi-normes asymétriques sont en bijection avec les ensembles convexes qui contiennent l’origine. La semi-norme est :
- définie positive si et seulement si l'origine appartient à l'intérieur topologique de ;
- dégénérée si et seulement si est contenu dans un sous-espace vectoriel de dimension strictement inférieure à ;
- symétrique si et seulement si .
Plus généralement, si est un espace vectoriel réel de dimension finie et si est une partie convexe compacte de l'espace dual qui contient l'origine, alors est une semi-norme asymétrique sur .
Articles connexes
modifier- Jauge, ou fonctionnelle de Minkowski : généralisation de semi-norme définie par une partie convexe qui contient l'origine
- Espace de Finsler : variété lisse dont tous les espaces tangents sont munis d'une fonctionnelle de Minkowski
Notes et références
modifier- (en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Asymmetric norm » (voir la liste des auteurs).
- Ştefan Cobzaş, « Compact operators on spaces with asymmetric norm », Stud. Univ. Babeş-Bolyai Math., vol. 51, no 4, , p. 69-87 (ISSN 0252-1938, MR 2314639)
- Ştefan Cobzaş, Functional Analysis in Asymmetric Normed Spaces, Basel, Birkhäuser, coll. « Frontiers in Mathematics », , x+219 (ISBN 978-3-0348-0477-6, DOI 10.1007/978-3-0348-0478-3).