Opérateur accrétif

En mathématiques, un opérateur accrétif est une multifonction définie entre espaces de Banach, qui possède une propriété de monotonie analogue à celle que possède un opérateur monotone sur un espace de Hilbert.

Multifonction

Soient $E$ et $F$ deux ensembles. Une fonction multivaluée, ou multifonction $T:E\multimap F$ est une application de $E$ dans l'ensemble des parties de $F$. Son graphe est noté ${\mathcal {G}}(T)$.

Définition

Soit $(E,\|\cdot \|)$ un espace vectoriel normé.

On dit qu'un opérateur $T:E\multimap E$ est accrétif si pour tout $\lambda >0$, pour tout $(x_{1},y_{1})\in {\mathcal {G}}(T)$ et pour tout $(x_{2},y_{2})\in {\mathcal {G}}(T)$, on a

$\|x_{1}-x_{2}\|\leq \|(x_{1}-x_{2})+\lambda (y_{1}-y_{2})\|.$

L'accrétivité est une manière d'exprimer la monotonicité d'un opérateur dans un espace dépourvu de produit scalaire (voir ce résultat).

On voit que si $T$ est accrétif, quel que soit $\lambda >0$ et $z\in E$, l'inclusion $x+\lambda T(x)\ni z$ a au plus une solution $x$.

Bibliographie

• Haïm Brezis, Opérateurs maximaux monotones et semi-groupes de contractions dans les espaces de Hilbert, Amsterdam, North-Holland, coll. « Mathematics Studies » (n^o 5), 1973, 182 p. (ISBN 978-0-08-087116-5, lire en ligne), p. 21
• (en) Tosio Kato, « Accretive operators and nonlinear evolution equations in Banach spaces », dans F. Browder, Nonlinear Functional Analysis, AMS, coll. « Proc. Symp. Pure Math. » (n^o 18, Part I), 1970, p. 138-161