Paradoxe des coiffeurs

Le paradoxe des coiffeurs^[1] ou paradoxe des trois coiffeurs^[2]^,^[3]^,^[4] (en anglais : barber shop paradox) est un paralogisme présenté comme un paradoxe par Lewis Carroll dans une nouvelle intitulée A Logical Paradox, parue dans l'édition de juillet 1894 de la revue Mind. Ce paradoxe illustre la difficulté d'appréhender l'implication logique.

On en trouve une traduction en français dans le recueil Logique sans peine en 1966^[5].

Présentation du paradoxe

Oncle Joe et Oncle Jim vont chez le coiffeur. Trois coiffeurs vivent et travaillent dans la boutique : Allen, Brown et Carr ; mais ils ne sont pas toujours présents tous les trois dans la boutique. Carr est un bon barbier, et Oncle Jim tient à être coiffé par celui-ci. Il sait que le salon de coiffure est ouvert, et que donc un des trois au moins est présent. Il sait aussi qu'Allen est un homme très nerveux qui ne peut quitter la boutique sans être accompagné de Brown.

Oncle Joe lui explique qu'il n'a pas à s'inquiéter : Carr est nécessairement présent à la boutique, et ceci peut être prouvé par la logique. Oncle Jim en demande la démonstration et Oncle Joe la lui donne comme suit, grâce à un raisonnement par l'absurde.

Supposons que Carr soit sorti. Dans ce cas, si Allen est aussi sorti, Brown est forcément à l'intérieur de la boutique : il doit y avoir en effet quelqu'un pour que celle-ci soit ouverte. Cependant, nous savons que quand Allen sort, il prend Brown avec lui. Si donc Carr est dehors, les deux phrases suivantes « si Allen est sorti alors Brown est à l'intérieur » et « si Allen est sorti alors Brown est sorti » seraient toutes deux vraies en même temps.

Oncle Joe remarque que cela semble paradoxal : ces deux déductions semblent incompatibles. C'est donc, selon l'histoire, que notre hypothèse de départ est fausse et Carr doit donc logiquement être présent.

Validité du raisonnement

En logiques classique et intuitionniste, ce raisonnement serait incorrect : il est, par exemple, tout à fait compatible avec les hypothèses que Allen et Brown soient tous deux dans la boutique et que Carr soit sorti. En effet, les propositions « si Allen est sorti alors Brown est à l'intérieur » et « si Allen est sorti alors Brown est sorti » ne sont pas incompatibles. Elles sont toutes deux vraies si Allen est à l'intérieur.

Démonstration

Supposons que Allen soit à l'intérieur₍₁₎ : Supposons que Allen est sorti₍₂₎ : Allen est à l'intérieur₍₁₎ ; Or Allen est sorti₍₂₎ ; Donc il y a contradiction₍₃₎ par élimination de la négation. Il y a une contradiction₍₃₎ ; Donc Brown est à l'intérieur₍₄₎ par principe d'explosion. Il y a une contradiction₍₃₎ ; Donc Brown est sorti₍₅₎ par principe d'explosion. Donc par preuve conditionnelle : Si Allen est sorti₍₂₎, alors Brown est à l'intérieur₍₄₎ ; Si Allen est sorti₍₂₎, alors Brown est sorti₍₅₎. Par conséquent, par preuve conditionnelle, si Allen est à l'intérieur₍₁₎, alors : Si Allen est sorti₍₂₎, alors Brown est à l'intérieur₍₄₎ ; Si Allen est sorti₍₂₎, alors Brown est sorti₍₅₎.

Toutefois, dans diverses logiques connexives et traditionnelles qui rendent valides les thèses de Boèce, ce raisonnement est valide. Il existe bien certaines de ces logiques contre-classiques, comme dans la logique ${\textbf {MC}}$ « material connexive », où le raisonnement présenté reste invalide dans son ensemble, mais la contradiction entre $A\to B$ et $A\to \neg B$ y reste présente.

Références

↑ Coumet 1966.
↑ Sophie Marret, Lewis Carroll : de l'autre côté de la logique, Rennes, Presses universitaires de Rennes, coll. « Interférences », 1995, 255 p. (ISBN 2-86847-124-2), p. 90–91.
↑ Jean Gattégno, L'univers de Lewis Carroll, Paris, José Corti, 1990 (1^re éd. 1970), 394 p. (ISBN 2-7143-0378-1), p. 183.
↑ Oswald Ducrot (avec la collab. de Marie-Claire Barbault et Jean-Pierre Depresle), La Preuve et le dire : langage et logique, Tours, Mame, coll. « Repères / Linguistique » (n^o 4), 1974, 290 p. (ISBN 2-250-00572-9), p. 276.
↑ Carroll 1966.

Bibliographie

Texte de Carroll

[Carroll 1894] (en) Lewis Carroll, « A Logical Paradox », Mind, vol. III, n^o 11,‎ juillet 1894, p. 436–440 (DOI 10.1093/mind/III.11.436, JSTOR 2247926, lire en ligne [PDF]).
Republié dans (en) Stuart Dodgson Collingwood, The Lewis Carroll Picture Book : A Selection from the Unpublished Writings and Drawings of Lewis Carroll, together with Reprints from Scarce and Unacknowledged Work, Londres, T. Fisher Unwin, 1899 (lire en ligne), p. 312–316.
[Carroll 1966] Lewis Carroll (trad. de l'anglais par Jean Gattégno et Ernest Coumet, ill. Max Ernst), Logique sans peine, Paris, Hermann, coll. « L'Esprit et la Main », 1966, 291 p. (BNF 32941396), p. 249 sq.

Analyses

[Baker 1955] (en) A. J. Baker, « Incompatible Hypotheticals and the Barber Shop Paradox », Mind, vol. LXIV, n^o 255,‎ juillet 1955, p. 384–387 (DOI 10.1093/mind/LXIV.255.384, JSTOR 2251080).
[Burks et Copi 1950] (en) Arthur W. Burks et Irwing M. Copi, « Lewis Carroll's Barber Shop Paradox », Mind, vol. LIX, n^o 234,‎ avril 1950, p. 219–222 (DOI 10.1093/mind/LIX.234.219, JSTOR 2250662).
- [McKinsey 1950] (en) J. C. C. McKinsey, « Review: Arthur W. Burks, Irving M. Copi, “Lewis Carroll's Barber Shop Paradox” », The Journal of Symbolic Logic, vol. 15, n^o 3,‎ avril 1950, p. 222–223 (DOI 10.2307/2266828).
[Coumet 1966] Ernest Coumet, « Lewis Carroll logicien », postface de Carroll 1966, p. 255–288, en particulier « Le paradoxe des coiffeurs », p. 270–280.
Republié dans Thierry Martin (dir.) et Sophie Roux (dir.), Œuvres d'Ernest Coumet, t. 1, Besançon, Presses universitaires de Franche-Comté, coll. « Sciences, concepts et problèmes », 2016, 610 p. (ISBN 978-2-84867-563-3 et 978-2-84867-829-0), p. 119–136 [DOI 10.4000/books.pufc.13783] [lire en ligne], en particulier « Le paradoxe des coiffeurs », § 18–36 [lire en ligne]..
[Gillon 1997] (en) Brendan S. Gillon, « Contraposition and Lewis Carroll's Barber Shop Paradox », Dialogue, vol. 36, n^o 2,‎ 1997, p. 247–252 (DOI 10.1017/S0012217300009495).
[Jones 1905a] (en) Constance Jones, « Lewis Carroll's Logical Paradox », Mind, vol. XIV, n^o 1 (53),‎ janvier 1905, p. 146–148 (DOI 10.1093/mind/XIV.1.146, JSTOR 2248084).
[Jones 1905b] (en) Constance Jones, « Lewis Carroll's Logical Paradox », Mind, vol. XIV, n^o 4 (56),‎ octobre 1905, p. 576–578 (DOI 10.1093/mind/XIV.4.576, JSTOR 2248389).
[Moktefi 2007] (en) Amirouche Moktefi, « Lewis Carroll and the British Nineteenth-Century Logicians on the Barber Shop Problem », dans Antonella Cupillari (en) (dir.), Proceedings of The Canadian Society for the History and Philosophy of Mathematics' Annual Meeting (Université Concordia, Montréal, 27 - 29 juillet 2007), Société canadienne d'histoire et de philosophie des mathématiques (n^o 20), 2007, p. 189–199.
[Wilson 1905a] (en) John Cook Wilson (en) (crédité W.), « Lewis Carroll's Logical Paradox », Mind, vol. XIV, n^o 2 (54),‎ avril 1905, p. 292–293 (DOI 10.1093/mind/XIV.2.292, JSTOR 2248048).
[Wilson 1905b] (en) John Cook Wilson (en) (crédité W.), « Lewis Carroll's Logical Paradox », Mind, vol. XIV, n^o 3 (55),‎ juillet 1905, p. 439 (DOI 10.1093/mind/XIV.3.439, JSTOR 2248435).

Voir aussi

Implication stricte qui tente d'éviter d'autres aspects contre-intuitifs de l'implication logique.
Logique connexive

Portail de la logique

Portail de la littérature britannique

[Coumet1966-1] Coumet 1966.

[2] Sophie Marret, Lewis Carroll : de l'autre côté de la logique, Rennes, Presses universitaires de Rennes, coll. « Interférences », 1995, 255 p. (ISBN 2-86847-124-2), p. 90–91.

[3] Jean Gattégno, L'univers de Lewis Carroll, Paris, José Corti, 1990 (1^re éd. 1970), 394 p. (ISBN 2-7143-0378-1), p. 183.

[4] Oswald Ducrot (avec la collab. de Marie-Claire Barbault et Jean-Pierre Depresle), La Preuve et le dire : langage et logique, Tours, Mame, coll. « Repères / Linguistique » (n^o 4), 1974, 290 p. (ISBN 2-250-00572-9), p. 276.

[Carroll1966-5] Carroll 1966.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]