Pentachore rectifié

En géométrie à quatre dimensions, le Pentachore rectifié est un polytope uniforme à 4 dimensions (ou polychore uniforme) composé de 5 cellules tétraédriques régulières et de 5 cellules octaédriques régulières. Chaque bord possède un tétraèdre et deux octaèdres. Chaque sommet possède deux tétraèdres et trois octaèdres. Au total, il possède 30 faces triangulaires, 30 arêtes et 10 sommets. Chaque sommet est entouré de 3 octaèdres et de 2 tétraèdres ; la figure du sommet est un prisme triangulaire.

Pentachore rectifié (5-cellules rectifié)
Diagramme de Schlegel (5 cellules tétraédriques)
Type	Polychore uniforme semi-régulier
Cellules	10 : 5 tétraèdres + 5 octaèdres
Faces	30 Triangles équilatéraux
Arêtes	30
Sommets	10
Symbole de Schläfli	t 1 {3,3,3} ou r{3,3,3} {3 2,1 } = $\left\{{\begin{array}{l}3\\3,3\end{array}}\right\}$
Polygone de Pétrie	Pentagone
Groupe(s) de Coxeter	A 4, [3,3,3], ordre 120
Diagramme de Coxeter-Dynkin
Propriétés	Convexe, isogonal, isotoxal

Topologiquement, sous sa plus haute symétrie, [3,3,3], il n'existe qu'une seule forme géométrique, contenant 5 tétraèdres réguliers et 5 tétraèdres rectifiés (qui sont géométriquement identiques à un octaèdre régulier).

La figure du sommet du pentachore rectifié est un prisme triangulaire uniforme, formé de trois octaèdres sur les côtés et de deux tétraèdres aux extrémités opposées.

Bien qu'ayant le même nombre de sommets que les cellules (10) et le même nombre d'arêtes que les faces (30), le pentachore rectifié n'est pas auto-dual car la figure de sommet (un prisme triangulaire uniforme) n'est pas un dual des cellules du polychore.

Construction de Wythoff

Vu dans une matrice de configuration, tous les comptages d'incidence entre les éléments sont affichés. Les nombres du vecteur f diagonal sont dérivés par la construction de Wythoff, en divisant l'ordre du groupe complet d'un ordre de sous-groupe en supprimant un miroir à la fois.

A4		k-face	fk	f0	f1	f2		f3		k-figure	Notes
A2A1		( )	f0	10	6	3	6	3	2	{3}x{ }	A4/A2A1 = 5!/3!/2 = 10
A1A1		{ }	f1	2	30	1	2	2	1	{ }v( )	A4/A1A1 = 5!/2/2 = 30
A2A1		{3}	f2	3	3	10	*	2	0	{ }	A4/A2A1 = 5!/3!/2 = 10
A2				3	3	*	20	1	1		A4/A2 = 5!/3! = 20
A3		r{3,3}	f3	6	12	4	4	5	*	( )	A4/A3 = 5!/4! = 5
A3		{3,3}		4	6	0	4	*	5

Structure

Avec le simplexe et le 24-cellule, cette forme et son dual (un polytope à dix sommets et dix facettes bipyramides triangulaires) étaient l'un des premiers 4-polytopes 2-simpliciaux 2-simples connus. Cela signifie que toutes ses faces bidimensionnelles, et toutes les faces bidimensionnelles de son dual, sont des triangles. En 1997, Tom Braden a trouvé une autre paire d'exemples duaux, en collant deux pentachores rectifiés ensemble ; depuis lors, une infinité de polytopes 2-simpliciaux 2-simples ont été construits.

Polytope semi-régulier

C'est l'un des trois 4-polytopes semi-réguliers constitués de deux ou plusieurs cellules qui sont des solides platoniciens, découverts par Thorold Gosset dans son article de 1900. Il l'a appelé tétractaédrique car il est constitué de cellules tétraédriques et octaédriques.

EL Elte l'a identifié en 1912 comme un polytope semi-régulier, l'appelant tC ₅.

Noms alternatifs

• Tétroctaédrique (Thorold Gosset)
• Dispentachoron
• 5-cellules rectifié (Norman W. Johnson)
• 4-simplex rectifié
• 4-simplex entièrement tronqué
• Pentachoron rectifié (Jonathan Bowers)
• rap (Notation de Jonathan Bowers)
• Ambopentachoron (Neil Sloane et John Horton Conway )
• (5,2)-hypersimplex (l'enveloppe convexe des vecteurs (0,1) à cinq dimensions avec exactement deux 1)

Images

projection stéréographique (centré sur l'octaèdre)

Patron (polytope)

Projection en perspective centrée sur le tétraèdre dans l'espace 3D, avec le tétraèdre le plus proche du point de vue 4D rendu en rouge et les 4 octaèdres environnants en vert. Les cellules situées de l'autre côté du polytope ont été éliminées pour plus de clarté (bien qu'elles puissent être discernées à partir des contours des bords). La rotation concerne uniquement l'image de projection 3D, afin de montrer sa structure, pas une rotation dans l'espace 4D.

Coordonnées

Les coordonnées cartésiennes des sommets du Pentachore rectifié centré sur l'origine et ayant une longueur d'arête égale à 2 sont :

Coordonnées
$\left({\sqrt {\frac {2}{5}}},\ {\frac {2}{\sqrt {6}}},\ {\frac {2}{\sqrt {3}}},\ 0\right)$ $\left({\sqrt {\frac {2}{5}}},\ {\frac {2}{\sqrt {6}}},\ {\frac {-1}{\sqrt {3}}},\ \pm 1\right)$ $\left({\sqrt {\frac {2}{5}}},\ {\frac {-2}{\sqrt {6}}},\ {\frac {1}{\sqrt {3}}},\ \pm 1\right)$ $\left({\sqrt {\frac {2}{5}}},\ {\frac {-2}{\sqrt {6}}},\ {\frac {-2}{\sqrt {3}}},\ 0\right)$	$\left({\frac {-3}{\sqrt {10}}},\ {\frac {1}{\sqrt {6}}},\ {\frac {1}{\sqrt {3}}},\ \pm 1\right)$ $\left({\frac {-3}{\sqrt {10}}},\ {\frac {1}{\sqrt {6}}},\ {\frac {-2}{\sqrt {3}}},\ 0\right)$ $\left({\frac {-3}{\sqrt {10}}},\ -{\sqrt {\frac {3}{2}}},\ 0,\ 0\right)$

Les sommets du pentachore rectifié peuvent être positionnés sur un hyperplan dans l'espace à 5 éléments comme des permutations de (0,0,0,1,1) ou (0,0,1,1,1).

Polychores apparentés

Le pentachore rectifié est la figure de sommet du 5-demicube et la figure d'arête du polytope uniforme 2₂₁ polytope.

Composé du pentachore rectifié et de son dual

L'enveloppe convexe du Pentachore rectifié et de son dual (de même grand rayon) est un polychoron non uniforme composé de 30 cellules : 10 tétraèdres, 20 octaèdres (comme des antiprismes triangulaires) et 20 sommets. Sa figure de sommet est un bifrustum triangulaire.

Polytopes de Pentachoron

Le pentachore rectifié est l'un des 9 polytopes uniformes à 4 cellules construits à partir du groupe de Coxeter [3,3,3].

Polytopes semi-réguliers

Le pentachore rectifié est le deuxième élément d'une série dimensionnelle de polytopes semi-réguliers. Chaque polytope uniforme est construit comme la figure de sommet du polytope précédent. Thorold Gosset a identifié cette série en 1900 comme contenant toutes les facettes de polytopes réguliers, contenant tous les simplexes et orthoplexes (tétraèdres et octaèdres dans le cas du polytope rectifié à 5 cellules). Le symbole de Coxeter pour le circuit à 5 cellules rectifié est 0₂₁.

Références

• (en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Rectified 5-cell » (voir la liste des auteurs).
• T. Gosset : On the Regular and Semi-Regular Figures in Space of n Dimensions, Messenger of Mathematics, Macmillan, 1900
• JH Conway et MJT Guy : Four-Dimensional Archimedean Polytopes, Proceedings of the Colloquium on Convexity à Copenhague, pages 38 et 39, 1965
• HSM Coxeter :
  • HSM Coxeter, Regular Polytopes, 3e édition, Dover, New York, 1973
  • Kaléidoscopes : Écrits choisis de HSM Coxeter, édité par F. Arthur Sherk, Peter McMullen, Anthony C. Thompson, Asia Ivic Weiss, Wiley-Interscience Publication, 1995,ISBN 978-0-471-01003-6 [1]
    • (Article 22) HSM Coxeter, Regular and Semi Regular Polytopes I, [Math. Zeit. 46 (1940) 380–407, MR 2,10]
    • (Article 23) HSM Coxeter, Regular and Semi Regular Polytopes II, [Math. Zeit. 188 (1985) 559-591]
    • (Article 24) HSM Coxeter, Regular and Semi Regular Polytopes III, [Math. Zeit. 200 (1988) 3-45]
• Uniform Polytopes de Norman Johnson, manuscrit (1991)
  • NW Johnson :The Theory of Uniform Polytopes and Honeycombs, Ph.D. (1966)
• John H. Conway, Heidi Burgiel, Chaim Goodman-Strauss, The Symmetries of Things 2008,   (ISBN 978-1-56881-220-5) (Chapitre 26)

Liens externes

• (de) « Archimedisches Polychor Nr. 3 (Rectified 5-cell) »
• (en) « 1. Convex uniform polychora based on the pentachoron (5-cell) »
• (en) « 4D polytopes (Polychora) »