Polynôme de Lommel

Les polynômes de Lommel, R_m,ν(z), introduits par Eugen von Lommel en 1871, sont des polynômes en 1/z vérifiant la relation suivante:

J_{m + ν} (z) = J_{ν} (z) R_{m, ν} (z) - J_{ν - 1} (z) R_{m - 1, ν + 1} (z)

où J_ν(z) est la fonction de Bessel du premier ordre.

Ils sont donnés explicitement par

R_{m, ν} = \sum_{n = 0}^{[m / 2]} \frac{(- 1)^{m} (m - n)! Γ (ν + m - n)}{n! (m - 2 n)! Γ (ν + n)} (z / 2)^{2 n - m} .

où Γ désigne la fonction gamma. Ils sont utilisés en tant qu'outil de démonstration en théorie de la transcendance.

Voir aussi

(en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Lommel polynomial » (voir la liste des auteurs).
(en) Arthur Erdélyi, Wilhelm Magnus, Fritz Oberhettinger (de) et Francesco Tricomi, Higher transcendental functions. Vol II, New York-Toronto-London, McGraw-Hill Book Company, 1953, lien Math Reviews
(en) A. B. Ivanov, « Lommel polynomial », dans Michiel Hazewinkel, Encyclopædia of Mathematics, Springer, 2002 (ISBN 978-1556080104, lire en ligne)
(de) Eugen von Lommel, « Zur Theorie der Bessel'schen Functionen », Mathematische Annalen, vol. 4, n^o 1,‎ 1871, p. 103–116 (lire en ligne)