Polynôme de Meixner

En mathématiques, les polynômes de Meixner (également appelés polynômes de Laguerre discrets) sont une famille de polynômes orthogonaux introduits par Josef Meixner en 1934. Ils sont donnés en termes de coefficients binomiaux et de symbole de Pochhammer par

$M_{n}(x,\beta ,\gamma )=\sum _{k=0}^{n}(-1)^{k}{n \choose k}{x \choose k}k!(x-\beta )_{n-k}\gamma ^{-k}$

Propriétés

On peut exprimer les polynômes de Meixner comme un cas particulier de la fonction hypergéométrique:

$M_{n}(x,\beta ,\gamma )=(\beta )_{n}\,_{2}F_{1}(-n,x,\beta ;1-\gamma ^{-1})$

La fonction génératrice des polynômes de Meixner est donnée par :

$\forall |x|<\min(1,|\gamma |),\ \sum _{n=0}^{+\infty }M_{n}(x,\beta ,\gamma ){\frac {t^{n}}{n!}}=\left(1-{\frac {t}{\gamma }}\right)^{x}\left(1-t\right)^{-x-\beta }$

Les polynômes de Meixner sont orthogonaux pour une fonction saut :

$\forall \beta >0,,\ \int _{0}^{+\infty }{\frac {\gamma ^{x}(\beta )_{x}}{\Gamma (x)}}M_{n}(x,\beta ,\gamma )M_{l}(x,\beta ,\gamma )\mathrm {d} x={\frac {n!}{\gamma ^{n}(1-\gamma )^{\beta }(\beta )_{n}}}\delta _{n,l}$

Bibliographie

• (de) J. Meixner, « Orthogonale Polynomsysteme mit einer besonderen Gestalt der erzeugenden Funktion », Journal of the London Mathematical Society, vol. s1-9,‎ 1934, p. 6–13 (DOI 10.1112/jlms/s1-9.1.6)

Liens externes

• (en) « Orthogonal Polynomials#Askey Scheme », sur NIST Handbook of Mathematical Functions, Cambridge University Press, 2010 (ISBN 978-0521192255)