Polynôme osculateur

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En analyse, un polynôme osculateur ou osculatoire est un polynôme fournissant une « bonne approximation » d'une fonction.

Définition

Considérons ƒ une fonction réelle n fois dérivable en un point $x 0$ . Le polynôme p est dit osculatoire si

\forall i\in 0,...,n,p^{(i)}(x_{0})=f^{(i)}(x_{0})

En particulier, pour n = 2, on constate donc que le polynôme est tangent et a la même courbure que ƒ en $x 0$ .

Le polynôme osculateur de degré minimal est donc son polynôme de Taylor :

p(x)=\sum _{i=0}^{n}{\frac {f^{(i)}(x_{0})}{i!}}\,(x-x_{0})^{i}=f(x_{0})+{\frac {f'(x_{0})}{1!}}\,(x-x_{0})+{\frac {f^{(2)}(x_{0})}{2!}}\,(x-x_{0})^{2}+\cdots +{\frac {f^{(n)}(x_{0})}{n!}}\,(x-x_{0})^{n}

Cependant, pour tout polynôme $Q$ , tout polynôme de la forme

p_{1}(x)=\sum _{i=0}^{n}{\frac {f^{(i)}(x_{0})}{i!}}\,(x-x_{0})^{i}+(x-x_{0})^{n+1}Q(x)

est également osculateur.

Un polynôme osculateur peut remplacer localement une fonction ƒ. Cela permet d'avoir une fonction plus facile à manipuler.