Polynômes de Wilson

En mathématiques, les polynômes de Wilson sont une famille de polynômes orthogonaux introduits par James A. Wilson ^[1] qui généralisent les polynômes de Jacobi, les polynômes de Hahn et les polynômes de Charlier.

Ils sont définis à l'aide de séries hypergéométriques et de symboles de Pochhammer par :

Soit $(x, a, b, c, d) \in ℝ^{5}, n \in ℕ$ , on définit :

\begin{matrix} W_{n} (x^{2}) & = W_{n} (x^{2}; a, b, c, d) \\ = (a + b)_{n} (a + c)_{n} (a + d)_{n}_{4} F_{3} (- n, a + b + c + d + n - 1, a - i x, a + i x; a + b, a + c, a + d; 1) \\ = (a + b)_{n} (a + c)_{n} (a + d)_{n} \sum_{k = 0}^{\infty} \frac{(- n)_{k} (a + b + c + d + n - 1)_{k} (a - i x)_{k} (a + i x)_{k}}{(a + b)_{k} (a + c)_{k} (a + d)_{k}} \frac{1}{k!} \\ = (a + b)_{n} (a + c)_{n} (a + d)_{n} \sum_{k = 0}^{n} \frac{(- n)_{k} (a + b + c + d + n - 1)_{k} (a - i x)_{k} (a + i x)_{k}}{(a + b)_{k} (a + c)_{k} (a + d)_{k}} \frac{1}{k!} car (- n)_{k} = 0 pour k > n \end{matrix}

De plus, $W_{n}$ est un polynôme de degré $n$ en $x^{2}$ ou un polynôme de degré $2 n$ en $x$ .

Propriétés

Soit $(x, a, b, c, d) \in ℝ^{5}, n \in ℕ$ , alors :

$W_{n} (x^{2}; a, b, c, d) = W_{n} (x^{2}; b, a, c, d)$

Démonstration

Les polynômes de Wilson sont orthogonaux : si $a, b, c, d$ sont tous de partie réelle strictement positives et non conjugués deux à deux, alors on a^[2]:

\begin{matrix} \forall (m, n) \in ℕ^{2}, \frac{1}{2 π} \int_{0}^{+ \infty} {| \frac{Γ (a + i x) Γ (b + i x) Γ (c + i x) Γ (d + i x)}{Γ (2 i x)} |}^{2} & W_{m} (x^{2}; a, b, c, d) W_{n} (x^{2}; a, b, c, d) d x \\ = & (n + a + b + c + d - 1)_{n} n! \frac{Γ (n + a + b) Γ (n + a + c) Γ (n + a + d) Γ (n + b + c) Γ (n + b + d) Γ (n + c + d)}{Γ (2 n + a + b + c + d)} δ_{m, n} \end{matrix}

Remarque

Les polynômes d'Askey-Wilson sont un q-analogue des polynômes de Wilson.

Notes

(en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Wilson polynomials » (voir la liste des auteurs).

↑ (en) James A. Wilson, « Some Hypergeometric Orthogonal Polynomials », SIAM Journal on Mathematical Analysis, vol. 11, n^o 4,‎ juillet 1980, p. 690–701 (ISSN 0036-1410, DOI 10.1137/0511064, lire en ligne )
↑ (en) Roelof Koekoek et René F. Swarttouw, « The Askey-scheme of hypergeometric orthogonal polynomials and its q-analogue », 20 février 1996.

Bibliographie

(en) « Polynômes de Wilson », dans Michiel Hazewinkel, Encyclopædia of Mathematics, Springer, 2002 (ISBN 978-1556080104, lire en ligne)
(en) Eric W. Weisstein, « Wilson Polynomial », sur MathWorld

Voir aussi

Portail des mathématiques

[1] (en) James A. Wilson, « Some Hypergeometric Orthogonal Polynomials », SIAM Journal on Mathematical Analysis, vol. 11, n^o 4,‎ juillet 1980, p. 690–701 (ISSN 0036-1410, DOI 10.1137/0511064, lire en ligne )

[2] (en) Roelof Koekoek et René F. Swarttouw, « The Askey-scheme of hypergeometric orthogonal polynomials and its q-analogue », 20 février 1996.

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