Potentiels retardés

En électromagnétisme, les potentiels retardés (respectivement notés V pour le potentiel scalaire, et A pour le potentiel vecteur) sont des outils mathématiques utilisés pour résoudre les équations de Maxwell, dont l'existence découle du théorème de Helmholtz. Ces potentiels, créés par des distributions volumiques de charges et de courants électriques, se propagent dans l'espace à la vitesse de la lumière c (c'est pourquoi ils sont qualifiés de « retardés »). De ce fait, lorsqu'une variation se produit au niveau des sources, ses effets ne sont pas immédiats : si l'on peut négliger le temps de propagation dans de nombreuses applications, on doit, dans d'autres, introduire la notion de potentiel retardé, qui prend en compte le temps de propagation non nul de l'information. Ces potentiels retardés sont utilisés pour calculer le champ électrique E et le champ magnétique B, qui se propagent eux aussi à la vitesse de la lumière.

Expression des potentiels retardés

On considère une distribution volumique arbitraire de charges et de courants électriques contenus dans un volume V de l'espace. Si l'on note respectivement ρ la densité volumique de charge électrique en chaque point du volume V, et J la densité volumique de courant électrique en chaque point du volume V, alors, en notant r la distance entre chaque point source et M, l'expression générale des potentiels retardés au point M est donnée par :

V = \frac{1}{4 π ε_{0}} ∭ (\frac{[ρ]}{r}) d V^{'}

𝐀 = \frac{1}{4 π ε_{0} c^{2}} ∭ (\frac{[𝐉]}{r}) d V^{'}

avec : $[ρ] = ρ (t - \frac{r}{c})$ et $[𝐉] = 𝐉 (t - \frac{r}{c})$

L'intérêt de ces potentiels est qu'ils permettent de calculer le champ électrique E et le champ magnétique B, en utilisant les relations :

𝐄 = - grad (V) - \frac{\partial 𝐀}{\partial t}

𝐁 = rot (𝐀)

Si, dans ces équations, on remplace V et A par leurs expressions générales données précédemment, cela nous conduit aux équations de Jefimenko et aux équations de Panofsky-Phillips, qui permettent d'exprimer les champs E et B directement à partir de leurs sources (à savoir des densités de charge et de courant), sans passer par l'étape intermédiaire des potentiels.

Si l'on souhaite calculer les champs E et B produits par une charge ponctuelle animée d'un mouvement quelconque (au lieu de calculer les champs produits par une distribution volumique de charges et de courants), on pourra utiliser plus spécifiquement les potentiels de Liénard-Wiechert.

Démonstration

On part des équations de Maxwell^[1]^,^[2] :

div (𝐄) = \frac{ρ}{ε_{0}}

div (𝐁) = 0

𝐫 𝐨 𝐭 (𝐄) = - \frac{\partial 𝐁}{\partial t}

𝐫 𝐨 𝐭 (𝐁) = μ_{0} 𝐉 + \frac{1}{c^{2}} \frac{\partial 𝐄}{\partial t}

Étape n^o 1 : Utilisation des deux équations de Maxwell sans sources

En 1858, Helmholtz a montré que n'importe quel champ vectoriel E peut être décomposé sous la forme^[3] :

𝐄 = 𝐄_{i r r} + 𝐄_{r o t}

soit en une somme de deux champs vectoriels, l'un (Eirr) possédant un rotationnel nul (ce qui implique qu'il est conservatif, ou irrotationnel), et l'autre (Erot) possédant une divergence nulle.

Ces deux composantes obéissent donc aux relations :

$𝐫 𝐨 𝐭 (𝐄_{i r r}) = 𝟎$

$div (𝐄_{r o t}) = 0$

C'est ce qu'on appelle la décomposition de Helmholtz. D'après le théorème de Helmholtz, ces champs peuvent s'exprimer en fonction d'un potentiel scalaire V et d'un potentiel vecteur A tels que :

𝐄_{i r r} = - 𝐠 𝐫 𝐚 𝐝 (V)

𝐄_{r o t} = 𝐫 𝐨 𝐭 (𝐀)

Tout champ vectoriel conservatif peut donc s'exprimer comme le gradient d'un champ scalaire, tandis que tout champ vectoriel à divergence nulle peut s'exprimer comme le rotationnel d'un champ vectoriel.

Dans ce contexte, l'équation de Maxwell-Thomson (div(B) = 0) nous montre que le champ B peut exclusivement s'exprimer en fonction d'un potentiel vecteur A tel que :

$𝐁 = rot (𝐀)$

En injectant cette expression dans l'équation de Maxwell-Faraday, on obtient :

𝐫 𝐨 𝐭 (𝐄) = - \frac{\partial}{\partial t} (𝐫 𝐨 𝐭 (𝐀))

ce qui implique :

𝐫 𝐨 𝐭 (𝐄 + \frac{\partial 𝐀}{\partial t}) = 𝟎

En utilisant une nouvelle fois le théorème de Helmholtz, on peut alors introduire un potentiel scalaire V tel que :

𝐄 + \frac{\partial 𝐀}{\partial t} = - 𝐠 𝐫 𝐚 𝐝 (V)

On en déduit :

$𝐄 = - grad (V) - \frac{\partial 𝐀}{\partial t}$

Les équations de Maxwell-Thomson et de Maxwell-Faraday impliquent donc :

𝐄 = - grad (V) - \frac{\partial 𝐀}{\partial t}

𝐁 = rot (𝐀)

Notons que dans ces expressions, le champ B s'exprime automatiquement sous la forme d'une décomposition de Helmholtz, tandis que le champ E ne le fait que si on fixe la condition div(A)=0, ce qui est le cas de la jauge de Coulomb^[4] mais pas de celle de Lorenz.

Étape n^o 2 : Utilisation des deux équations de Maxwell avec sources

Une fois ces relations trouvées, il faut déterminer les expressions des potentiels V et A en fonction des sources apparaissant dans les équations de Maxwell, c'est-à-dire ρ et J. Pour cela, on va utiliser les deux autres équations de Maxwell, c'est-à-dire l'équation de Maxwell-Gauss et de Maxwell-Ampère :

div (𝐄) = \frac{ρ}{ε_{0}}

𝐫 𝐨 𝐭 (𝐁) = μ_{0} 𝐉 + \frac{1}{c^{2}} \frac{\partial 𝐄}{\partial t}

Il s'agit des équations de Maxwell avec sources. Dans ces équations, on va remplacer les champs E et B par leurs expressions en fonction des potentiels V et A, déterminées précédemment. On obtient respectivement :

div (- 𝐠 𝐫 𝐚 𝐝 (V) - \frac{\partial 𝐀}{\partial t}) = \frac{ρ}{ε_{0}}

𝐫 𝐨 𝐭 (𝐫 𝐨 𝐭 (𝐀)) = μ_{0} 𝐉 + \frac{1}{c^{2}} \frac{\partial}{\partial t} (- grad (V) - \frac{\partial 𝐀}{\partial t})

On peut réarranger ces expressions de manière à faire apparaître les sources (ρ et J) à droite du signe égal, et les potentiels (V et A) à gauche :

div (𝐠 𝐫 𝐚 𝐝 (V)) + \frac{\partial}{\partial t} (div (𝐀)) = - \frac{ρ}{ε_{0}}

𝐠 𝐫 𝐚 𝐝 (- \frac{1}{c^{2}} \frac{\partial V}{\partial t}) - 𝐫 𝐨 𝐭 (𝐫 𝐨 𝐭 (𝐀)) - \frac{1}{c^{2}} \frac{\partial^{2} 𝐀}{\partial t^{2}} = - μ_{0} 𝐉

On va ensuite chercher à faire disparaître A dans la première équation, et V dans la seconde équation. Pour ce faire, on peut choisir une certaine relation de jauge entre V et A, la jauge de Lorenz :

div (𝐀) = - \frac{1}{c^{2}} \frac{\partial V}{\partial t}

On obtient alors :

div (𝐠 𝐫 𝐚 𝐝 (V)) - \frac{1}{c^{2}} \frac{\partial^{2} V}{\partial t^{2}} = - \frac{ρ}{ε_{0}}

𝐠 𝐫 𝐚 𝐝 (div (𝐀)) - 𝐫 𝐨 𝐭 (𝐫 𝐨 𝐭 (𝐀)) - \frac{1}{c^{2}} \frac{\partial^{2} 𝐀}{\partial t^{2}} = - μ_{0} 𝐉

Dans ces expressions, on peut faire apparaître le laplacien scalaire ΔV et le laplacien vectoriel ΔA, dont on rappelle les définitions :

Δ V = div (𝐠 𝐫 𝐚 𝐝 (V))

Δ 𝐀 = 𝐠 𝐫 𝐚 𝐝 (div (𝐀)) - 𝐫 𝐨 𝐭 (𝐫 𝐨 𝐭 (𝐀))

Cela nous donne :

Δ V - \frac{1}{c^{2}} \frac{\partial^{2} V}{\partial t^{2}} = - \frac{ρ}{ε_{0}}

Δ 𝐀 - \frac{1}{c^{2}} \frac{\partial^{2} 𝐀}{\partial t^{2}} = - μ_{0} 𝐉

On obtient des équations de propagation (nommées « équations de d'Alembert avec second membre »), dont les solutions s'écrivent, en appliquant aux sources (ρ, J) la fonction de Green retardée de l’opérateur de d’Alembert :

V = \frac{1}{4 π ε_{0}} ∭ (\frac{[ρ]}{r}) d V^{'}

𝐀 = \frac{1}{4 π ε_{0} c^{2}} ∭ (\frac{[𝐉]}{r}) d V^{'}

Expression des potentiels en électrostatique et en magnétostatique

En électrostatique et en magnétostatique, les sources du champ électromagnétique (ρ et J), ainsi que les potentiels qui en découlent, ne varient pas au cours du temps. Les potentiels retardés se ramènent alors à :

V = \frac{1}{4 π ε_{0}} ∭ (\frac{ρ}{r}) d V

𝐀 = \frac{1}{4 π ε_{0} c^{2}} ∭ (\frac{𝐉}{r}) d V

On peut calculer les champs E et B en utilisant les relations :

𝐄 = - grad (V)

𝐁 = rot (𝐀)

ce qui mène à :

𝐄 = \frac{1}{4 π ε_{0}} ∭ (\frac{ρ 𝐧}{r^{2}}) d V

𝐁 = \frac{1}{4 π ε_{0} c^{2}} ∭ (\frac{𝐉 \land 𝐧}{r^{2}}) d V

Ces expressions pour E et B donnent respectivement la loi de Coulomb et la loi de Biot et Savart exprimées sous forme d'intégrales volumiques.

Liberté de jauge

Comme cela a été démontré précédemment en utilisant le théorème de Helmholtz et les équations de Maxwell, les champs E et B s'obtiennent à partir des potentiels via les relations :

𝐄 = - grad (V) - \frac{\partial 𝐀}{\partial t}

𝐁 = rot (𝐀)

Or, si l'expression des champs E et B en chaque point de l'espace est unique et bien définie, il n'en est pas de même pour les potentiels, dans la mesure où il existe une infinité de couples {V, A} permettant de retrouver les mêmes champs physiques.

Si l'on considère deux couples {V, A} et {V', A'} conduisant à la même expression de E et B en tout point de l'espace, ceux-ci sont liés par la transformation :

V^{'} = V - \frac{\partial X}{\partial t}

𝐀^{'} = 𝐀 + 𝐠 𝐫 𝐚 𝐝 (X)

où X est un champ scalaire arbitraire. Cette opération de passage d'une jauge vers une autre est appelée transformation de jauge. Quel que soit le champ X choisi, cette transformation laissera les champs E et B invariants :

𝐄 = - grad (V) - \frac{\partial 𝐀}{\partial t} = - grad (V^{'}) - \frac{\partial 𝐀^{'}}{\partial t}

𝐁 = rot (𝐀) = rot (𝐀^{'})

Cette liberté nous permet de choisir pour chaque problème que l'on traite la jauge qui facilite le plus nos calculs. Les deux jauges les plus utilisées en électromagnétisme sont celles de Coulomb (div(A) = 0), qui est employée en régime stationnaire (électrostatique, magnétostatique) et quasi-stationnaire (ARQS), ainsi que celle de Lorenz, qui est utilisée pour étudier la propagation des champs à grandes distances (r >> λ).

Les potentiels retardés sont la solution générale des équations de Maxwell dans la jauge de Lorenz.

Notes et références

↑ Le Cours de Physique de Feynman, Électromagnétisme 1, Section 18.6 : Résolution des équations de Maxwell ; les potentiels et l'équation d'onde
↑ David J. Griffiths, Introduction to Electrodynamics, Pearson (Fourth ed., 2013), Section 10.1 : The Potential Formulation
↑ Kirk T. McDonald, On the “Helmholtz” Decomposition, Joseph Henry Laboratories, Princeton University, Princeton, NJ 08544, 23 avril 2023
↑ Kirk T. McDonald, The Helmholtz Decomposition and the Coulomb Gauge, Joseph Henry Laboratories, Princeton University, Princeton, NJ 08544, 17 avril 2008

Voir aussi

Portail de la physique

[1] Le Cours de Physique de Feynman, Électromagnétisme 1, Section 18.6 : Résolution des équations de Maxwell ; les potentiels et l'équation d'onde

[2] David J. Griffiths, Introduction to Electrodynamics, Pearson (Fourth ed., 2013), Section 10.1 : The Potential Formulation

[3] Kirk T. McDonald, On the “Helmholtz” Decomposition, Joseph Henry Laboratories, Princeton University, Princeton, NJ 08544, 23 avril 2023

[4] Kirk T. McDonald, The Helmholtz Decomposition and the Coulomb Gauge, Joseph Henry Laboratories, Princeton University, Princeton, NJ 08544, 17 avril 2008

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