Équations de Jefimenko

En électromagnétisme, les équations de Jefimenko, publiées en 1966 par Oleg Jefimenko, donnent le champ électrique et le champ magnétique créés par une distribution arbitraire de charges et de courants électriques dans l'espace. Elles prennent notamment en compte le retard (temps « retardé ») dû à la propagation des champs à la vitesse de la lumière, et peuvent être utilisées pour des densités de charge et de courant variables au cours du temps. Elles sont, comme les équations de Panofsky-Phillips, les solutions générales des équations de Maxwell pour n'importe quelle distribution arbitraire de charges et de courants.

Les équations

Les champs électrique et magnétique

Les équations de Jefimenko donnent le champ électrique E et le champ magnétique B produits par une distribution volumique arbitraire de charges et de courants, respectivement décrits par des densités de charge ρ et des densités de courant J :

$\mathbf {E} ={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}\,\iiint \left({\frac {[\rho ]\,\mathbf {n} }{r^{2}}}+{\frac {[{\dot {\rho }}]\,\mathbf {n} }{c\,r}}-{\frac {\left[{\dot {\mathbf {J} }}\right]}{c^{2}r}}\right)\,dV'$

$\mathbf {B} ={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}\,\displaystyle \iiint \left({\frac {\left[\mathbf {J} \right]\wedge \mathbf {n} }{c^{2}r^{2}}}+{\frac {\left[{\dot {\mathbf {J} }}\right]\wedge \mathbf {n} }{c^{3}r}}\right)\,dV'$

avec : $[\rho ]=\rho \!\left(t-\displaystyle {\frac {r}{c}}\right)$ , $[{\dot {\rho }}]={\dot {\rho }}\!\left(t-\displaystyle {\frac {r}{c}}\right)$, $[\mathbf {J} ]=\mathbf {J} \!\left(t-\displaystyle {\frac {r}{c}}\right)$ et $\left[{\dot {\mathbf {J} }}\right]={\dot {\mathbf {J} }}\!\left(t-\displaystyle {\frac {r}{c}}\right)$

Ces équations sont la généralisation, dépendant du temps (électrodynamique), de la loi de Coulomb et de la loi de Biot et Savart, qui sont vraies uniquement pour les champs en électrostatique et en magnétostatique (c'est-à-dire en régime stationnaire).

Les potentiels retardés comme origine

Les équations de Jefimenko peuvent être déduites à partir des potentiels retardés V et A :

$V={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}\,\displaystyle \iiint \left({\frac {[\rho ]}{r}}\right)\,dV'$

$\mathbf {A} ={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}c^{2}}}\,\displaystyle \iiint \left({\frac {\left[\mathbf {J} \right]}{r}}\right)\,dV'$

qui sont les solutions des équations de Maxwell formulées à partir des potentiels (théorème de Helmholtz). On peut ensuite injecter ces expressions pour V et A dans les équations suivantes :

$\mathbf {E} =-{\boldsymbol {\operatorname {grad} }}\!\left(V\right)-{\frac {\partial \mathbf {A} }{\partial t}}$

$\mathbf {B} ={\boldsymbol {\operatorname {rot} }}\!\left(\mathbf {A} \right)$

En utilisant ces relations, on trouve l'expression générale des champs E et B directement en fonction de leurs sources, c'est-à-dire des densités de charge ρ et des densités de courant J.

Pour le champ électrique, le détail du calcul donne :

$-{\boldsymbol {\operatorname {grad} }}\!\left(V\right)={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}\,\iiint \left({\frac {[\rho ]\,\mathbf {n} }{r^{2}}}+{\frac {[{\dot {\rho }}]\,\mathbf {n} }{c\,r}}\right)\,dV'$

$-{\frac {\partial \mathbf {A} }{\partial t}}=-{\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}c^{2}}}\,\iiint \left({\frac {\left[{\dot {\mathbf {J} }}\right]}{r}}\right)\,dV'$

Cette analyse indique que parmi les trois termes apparaissant dans l'équation de Jefimenko pour le champ électrique E, les deux premiers sont conservatifs, tandis que le troisième ne l'est pas (il s'agit du champ de Neumann).

Discussion

Une interprétation largement répandue des équations de Maxwell affirme que les champs électriques et magnétiques variables s'engendrent l'un l'autre dans l'espace et donnent ainsi naissance à des ondes électromagnétiques qui se propagent. Néanmoins, les équations de Jefimenko suggèrent une autre explication. Jefimenko disait : « […] ni les équations de Maxwell, ni leurs solutions, ne montrent l'existence d'un lien causal entre les champs électrique et magnétique. En conséquence, on doit conclure que le champ électromagnétique est une entité mixte qui possède toujours une composante électrique et magnétique créées simultanément par leurs sources communes, à savoir des charges et des courants électriques variables ». Par ailleurs, la relativité restreinte affirme que la séparation entre champ électrique et champ magnétique est une distinction artificielle, qui ne dépend que du référentiel choisi (la force magnétique est une force électrique perçue dans le référentiel propre d'une particule).

McDonald dit que les équations de Jefimenko semblent être apparues pour la première fois en 1962 dans la seconde édition du livre « Classical Electricity and Magnetism » de Panofsky et Phillips (voir les équations de Panofsky-Phillips). Cependant David Griffiths clarifie cela comme ceci : « la première apparition explicite de ces équations dont j'ai connaissance est due à Oleg Jefimenko en 1966 », et il considère les équations du livre de Panofsky et Phillips comme seulement « fort proches ».

Les caractéristiques essentielles des équations de Jefimenko se voient dans leurs seconds membres où apparaît le temps « retardé », ce qui reflète la « causalité » de ces équations. En d'autres termes, les premiers membres des équations sont en réalité causés par les seconds membres, contrairement aux équations différentielles de Maxwell où les deux membres fonctionnent simultanément. Dans les équations de Maxwell, il n'y a aucun doute que les deux membres de chaque équation sont égaux, mais comme l'indique Jefimenko : « […] comme chacune de ces équations relie des quantités simultanées dans le temps, aucune ne peut représenter une relation causale ». Une autre caractéristique des équations de Jefimenko est que l'expression de E ne dépend pas de B et vice-versa. En conséquence il est impossible que les champs E et B se créent l'un l'autre : ce sont des densités de charge et de courant électrique qui les créent.

Notes et références

• (en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Jefimenko's equations » (voir la liste des auteurs).

Bibliographie

• (en) Oleg D. Jefimenko, Electricity and Magnetism : An Introduction to the Theory of Electric and Magnetic Fields, New-York, Appleton-Century-Crofts, 1966, 1^re éd.
• (en) Oleg D. Jefimenko, Electricity and Magnetism : An Introduction to the Theory of Electric and Magnetic Fields, Star City, Electret Scientific, 1989, 2^e éd., 597 p. (ISBN 978-0-917406-08-9).
• (en) Oleg D. Jefimenko, Causality Electromagnetic Induction and Gravitation, Star City, Electret Scientific, 2000, 2^e éd., 210 p. (ISBN 0-917406-23-0).

Voir aussi

• Loi de Coulomb
• Loi de Biot et Savart
• Équations de Maxwell
• Théorème de Helmholtz-Hodge
• Potentiels retardés
• Équations de Panofsky-Phillips
• Masse électromagnétique