Principe fondamental d'Ehrenpreis

En mathématiques, le principe fondamental d'Ehrenpreis joue un rôle très important dans la théorie des systèmes d'équations linéaires aux dérivées partielles à coefficients constants. On dit d'un espace fonctionnel $𝒲$ qu'il vérifie le principe fondamental s'il est un $𝔇$ -module, où $𝔇$ est l'anneau des opérateurs différentiels, et si les solutions exponentielles-polynômes du système homogène forment un sous-ensemble total de l'espace des solutions dans une puissance de $𝒲$ . C'est le cas des fonctions indéfiniment dérivables et des distributions sur un ouvert convexe de $ℝ^{n}$ . Ce théorème a d'abord été énoncé^[1] par Leon Ehrenpreis (en)^[2]^,^[3], puis démontré par Victor P. Palamodov^[4] et indépendamment par Bernard Malgrange^[5]^,^[6], et enfin par Ehrenpreis lui-même^[7] ; on devrait donc l'appeler plus justement (malgré la tradition) « principe fondamental d'Ehrenpreis-Palamodov-Malgrange ».

Ce résultat, qui a son intérêt propre, a des conséquences très importantes : d'une part on en déduit que tout opérateur différentiel scalaire à coefficients constants admet une solution fondamentale (ou « fonction de Green »), résultat dû à Ehrenpreis^[8] et Malgrange^[9] (indépendamment et avec des méthodes différentes) ; d'autre part, il permet de déterminer de manière algébrique s'il existe des solutions, dans une puissance de $𝒲$ , à un système différentiel linéaire aux dérivées partielles non homogène à coefficients constants : il faut et il suffit (lorsque $𝒲$ vérifie le principe fondamental) que le second membre vérifie des « conditions de compatibilité ». Les espaces $𝒲$ vérifiant le principe fondamental sont des $𝔇$ -modules injectifs. L'espace des fonctions indéfiniment dérivables et celui des distributions sur un ouvert convexe de $ℝ^{n}$ ont donc cette dernière propriété ; il en va de même de l'espace des hyperfonctions sur un tel ouvert.

Principe fondamental

Introduction

Considérons tout d'abord une équation différentielle (ordinaire) linéaire à coefficients constants

R (D) u = 0

où $D = - i \partial$ , $\partial = \frac{d}{d x}$ et où $R (D) \in 𝔇$ avec $𝔇 = ℂ [D]$ . Soit la décomposition en facteur premiers de $R (ζ)$ sur $ℂ [ζ]$ :

R (ζ) = \prod_{σ = 1}^{μ} P_{σ} (ζ)

où $P_{σ} = p_{σ}^{ρ_{σ}}$ avec $p_{σ} (ζ) = ζ - ζ_{σ}$ ( $ζ_{σ} \in ℂ$ , $ρ_{σ} \geq 1$ ). La solution générale de $R (D) u = 0$ est maintenant bien connue^[10], mais en vue de la généralisation qui va suivre nous allons indiquer une méthode algébrique (ou, plus précisément, relevant de l'« analyse algébrique ») pour déterminer cette solution. Posons $N = ℂ [ζ] R (ζ)$ et $Q_{σ} = ℂ [ζ] P_{σ} (ζ)$ . On a

N = ⋂_{ρ = 1}^{μ} Q_{σ}

et cette expression est la décomposition primaire de l'idéal N de $ℂ [ζ]$ (les idéaux primaires étant les $Q_{σ}$ ). On a d'après le théorème des restes chinois, puisque les $Q_{σ}$ sont premiers entre eux pris deux à deux,

\frac{ℂ [ζ]}{N} = ⨁_{σ = 1}^{μ} \frac{ℂ [ζ]}{Q_{σ}}

.

D'autre part, l'espace des solutions dans un espace fonctionnel $𝒲$ (qu'on suppose être un $𝔇$ -module) de l'équation $R (D) u = 0$ s'identifie à^[6]

{H o m}_{𝔇} (\frac{𝔇}{𝔇 R (D)}, 𝒲) = {H o m}_{𝔇} ({c o k e r}_{𝔇} (∙ R), 𝒲)

(voir l'article Module injectif). Or, on a d'après ce qui précède

{H o m}_{𝔇} (\frac{𝔇}{𝔇 R}, 𝒲) ≅ ⨁_{σ = 1}^{μ} {H o m}_{𝔇} (\frac{𝔇}{𝔇 P_{σ}}, 𝒲)

,

soit donc ${k e r}_{𝒲} (R ∙) ≅ ⨁_{σ = 1}^{μ} {k e r}_{𝒲} (P_{σ} ∙)$ .

Prenons $𝒲 = ℰ (ℝ)$ (où $ℰ (ℝ) = C^{\infty} (ℝ)$ ). Comme il est bien connu, tout élément de ${k e r}_{𝒲} (P_{σ} ∙)$ est de la forme

u_{σ} (x) = \sum_{l = 1}^{ρ_{σ}} λ_{σ, l} ℬ_{σ, l} (ζ_{σ}, x) e^{i x ζ_{σ}}

où $λ_{σ, l} \in ℂ$ et $ℬ_{σ, l} (ζ_{σ}, x) = x^{l - 1}$ . On obtient donc le résultat classique

u (x) = \sum_{σ = 1}^{μ} \sum_{l = 1}^{ρ_{σ}} λ_{σ, l} ℬ_{σ, l} (ζ_{σ}, x) e^{i x ζ_{σ}}

.

Il en irait de même si l'on avait choisi pour $𝒲$ l'espace des distributions $𝒟^{'} (ℝ)$ ou l'espace des combinaisons linéaires d'exponentielles-polynômes

𝒫 ℰ (ℝ) = ⨁_{ζ \in ℂ} ℂ [x] e^{i x ζ}

Soit $𝔭_{σ} = \sqrt{Q_{σ}}$ l'idéal premier appartenant à $Q_{σ}$ (i.e. $𝔭_{σ} = ℂ [ζ] (ζ - ζ_{σ})$ ) et $V_{σ} = 𝒵 (𝔭_{σ})$ la variété algébrique associée à $𝔭_{σ}$ (voir l'article Décomposition primaire). On a évidemment ici $V_{σ} = {ζ_{σ}}$ et on peut écrire

u (x) = \sum_{σ = 1}^{μ} \sum_{l = 1}^{ρ_{σ}} \int_{V_{σ}} ℬ_{σ, l} (ζ, x) e^{i x ζ} d μ_{σ, l} (ζ)

où $μ_{σ, l}$ est la mesure sur $V_{σ}$ donnée par $μ_{σ, l} {V_{σ}} = λ_{σ, l}$ . C'est sous cette forme que la solution est généralisée dans ce qui suit^[11].

On appelle variété caractéristique du $𝔇$ -module ${c o k e r}_{𝔇} (∙ R)$ l'ensemble algébrique $V = 𝒵 (ℂ [ζ] / N)$ . On a

V = ⋃_{1 \leq σ \leq μ} V_{σ}

où les $V_{σ} = 𝒵 (𝔭_{σ})$ sont les composantes irréductibles de V (voir l'article Décomposition primaire).

Notons encore que les polynômes $ℬ_{σ, l} (ζ, x)$ ont la propriété suivante : un polynôme $f (ζ) \in ℂ [ζ]$ appartient à $Q_{σ}$ si, et seulement si

ℬ_{σ, l} (ζ, \frac{\partial}{\partial ζ}) f (ζ) \in 𝔭_{σ}

(

l = 1, ..., ρ_{σ}

).

Les $ℬ_{σ, l} (ζ, \frac{\partial}{\partial ζ})$ ( $l = 1, ..., ρ_{σ}$ ) sont appelés des opérateurs noethériens attachés à l'idéal primaire $Q_{σ}$ (terminologie de Palamodov^[4]).

Représentation intégrale des solutions

La représentation intégrale détaillée des solutions, telle que présentée ci-dessous, a tout d'abord été obtenue par Palamodov^[4], dont la terminologie est réutilisée dans cet article.

Définition du système différentiel

Considérons à présent le système multidimensionnel d'équation

R (D) u = 0

où $D = (D_{1}, ..., D_{n})$ , $D_{j} = - i \partial_{j} = - i \frac{\partial}{\partial x_{j}}$ , $D^{α} = {(- i)}^{| α |} \partial^{α}$ , $α = (α_{1}, ..., α_{n})$ , $𝔇 = ℂ [D]$ et $R (D) \in 𝔇^{q \times k}$ (voir l'article Opérateur différentiel). Soit alors $M = {c o k e r}_{𝔇} (∙ R (D))$ . Ce $𝔇$ -module M de présentation finie est une représentation intrinsèque du système considéré (voir l'article Système linéaire). L'anneau $𝔇$ est noethérien d'après le théorème de la base de Hilbert.

Soit $𝒲$ un espace fonctionnel qui est un $𝔇$ -module. Le $ℂ$ -espace vectoriel des solutions du système défini par M dans $𝒲^{k}$ s'identifie à

𝔅_{𝒲} = {H o m}_{𝔇} (M, 𝒲)

.

(voir l'article Module injectif).

Variété caractéristique

La variété caractéristique associée au $𝔇$ -module M est par définition l'ensemble algébrique V associé au module ${c o k e r}_{ℂ [ζ]} (∙ R (ζ))$ où $ζ = (ζ_{1}, ..., ζ_{n})$ . Cet ensemble coïncide avec l'ensemble des $z \in ℂ^{n}$ pour lesquels ${r a n g}_{ℂ} R (z) < k$ . La notion de variété caractéristique rend notamment possible la classification suivante des systèmes différentiels : le système est dit

déterminé si $d i m V < n$ (où $d i m V$ est la dimension de V: voir l'article Décomposition primaire) ;
surdéterminé si $d i m V < n - 1$ ;
sous-déterminé si $d i m V = n$ , i.e. $V = ℂ^{n}$ .

Le cas d'un système sous-déterminé est écarté dans le reste de ce paragraphe. Généralisons les notations de l'introduction ci-dessus, en posant $N = ℂ {[ζ]}^{1 \times q} R (ζ) \subset ℂ {[ζ]}^{1 \times k}$ . Soit

N = ⋂_{ρ = 1}^{μ} Q_{σ}

la décomposition primaire de N, $𝔭_{σ} = \sqrt{Q_{σ}}$ l'idéal premier appartenant à $Q_{σ}$ et $V_{σ} = 𝒵 (𝔭_{σ})$ la variété algébrique associée à $𝔭_{σ}$ . On a de nouveau

V = ⋃_{1 \leq σ \leq μ} V_{σ}

.

Le lemme de normalisation de Noether entraîne qu'il existe un entier ${n_{σ^{'}}}^{'}, 0 \leq {n_{σ^{'}}}^{'} \leq n - 1$ , tel que (i) $𝔭_{σ} \cap ℂ [{ζ_{σ^{'}}}^{'}] = 0$ , où ${ζ_{σ^{'}}}^{'} = (ζ_{1}, ..., ζ_{{n_{σ}}^{'}})$ , et (ii) $ℂ [ζ] / 𝔭_{σ}$ est un $ℂ [{ζ_{σ^{'}}}^{'}]$ -module de type fini. Soit $K_{σ}$ le corps des fractions de l'anneau intègre $ℂ [ζ] / 𝔭_{σ}$ et $e_{σ} = {d i m}_{ℂ ({ζ_{σ^{'}}}^{'})} K_{σ}$ .

Ce nombre $e_{σ}$ est la multiplicité de la variété algébrique $V_{σ}$ , c'est-à-dire le nombre de points de $V_{σ} \cap A_{σ}$ où $A_{σ}$ est une variété affine de $ℂ^{n}$ de dimension $n - {n_{σ^{'}}}^{'}$ , en position générale^[12].

Opérateurs noethériens et solutions exponentielles-polynômes

Le $ℂ [{ζ_{σ^{'}}}^{'}]$ -module $ℂ {[ζ]}^{1 \times k} / Q_{σ}$ est de type fini. Soit $r_{σ}$ son rang, i.e.

r_{σ} = d i m_{ℂ ({ζ_{σ^{'}}}^{'})} (ℂ ({ζ_{σ^{'}}}^{'}) \otimes_{ℂ [{ζ_{σ^{'}}}^{'}]} (ℂ {[ζ]}^{1 \times k} / Q_{σ}))

.

On montre que $ρ_{σ} = r_{σ} / e_{σ}$ est un entier^[12]. Pour tout $σ \in {1, ..., μ}$ , il existe des opérateurs noethériens, dits attachés au $ℂ [ζ]$ -module $Q_{σ}$ , et notés

ℬ_{σ, l} (ζ, \frac{\partial}{\partial {ζ_{σ^{″}}}^{″}}) \in ℂ {[ζ, \frac{\partial}{\partial ζ^{″}}]}^{1 \times k}

(

l = 1, ..., ρ_{σ}

)

où ${ζ_{σ^{″}}}^{″} = (ζ_{{n_{σ^{'}}}^{'} + 1}, ..., ζ_{n})$ , ayant la propriété caractéristique suivante :

f (ζ) \in ℂ {[ζ]}^{1 \times k}

et

ℬ_{σ, l} (ζ, \frac{\partial}{\partial ζ^{″}}) f (ζ) \in 𝔭_{σ} (l = 1, ..., ρ_{σ}) ⟺ f (ζ) \in Q_{σ}

où $𝐚 𝐛 = \sum_{1 \leq i \leq k} a_{i} b_{i}$ lorsque $𝐚, {𝐛 \in ℂ}^{1 \times k}$ .

Dans la suite, $ℂ [ζ, ζ^{″}]$ est plongé dans $ℂ [ζ, x]$ où $x = (x_{1}, ..., x_{n})$ et on peut donc écrire $ℬ_{σ, l} = ℬ_{σ, l} (ζ, x)$ . Soit

𝒲_{0} = ⨁_{ζ \in ℂ^{n}} ℂ [x] e^{i ⟨ x, ζ ⟩}

l'espace des combinaisons linéaires d'exponentielles-polynômes sur $ℝ^{n}$ . On a le résultat suivant^[13] :

Théorème — Les fonctions $u : x \mapsto ℬ_{σ, l}^{T} (ζ, x) e^{i ⟨ x, ζ ⟩}, ζ \in V_{σ}, l = 1, ..., ρ_{σ}, σ = 1, ..., μ$ , sont des solutions du système différentiel dans $𝒲_{0}^{k}$ .

Exemple

Considérons l'exemple suivant, dû à Palamodov^[4], et détaillé par Hörmander^[13] et Björk^[12] :

R (D) = [\begin{matrix} D_{2}^{2} & D_{3}^{2} & D_{2} - D_{1} D_{3} \end{matrix}]

d'où $R (ζ) = [\begin{matrix} ζ_{2}^{2} & ζ_{3}^{2} & ζ_{2} - ζ_{1} ζ_{3} \end{matrix}]$ .

On vérifie que $N = ℂ [ζ] R (ζ)$ est un idéal primaire Q ; on peut donc dans ce qui suit omettre l'indice $σ$ puisqu'il ne prend que la valeur 1. La variété caractéristique V s'obtient en écrivant ${r a n g}_{ℂ} R (z) < k$ , soit encore $R (z) = 0$ , d'où $z_{2} = z_{3} = 0$ ; il s'agit donc de l'axe $z_{1}$ , et sa multiplicité est $e = 1$ . On vérifie aussi que $𝔭 = \sqrt{Q}$ est l'idéal $ζ_{2} ℂ [ζ] + ζ_{3} ℂ [ζ]$ ; cet idéal est écrit pour plus de simplicité $[ζ_{2}, ζ_{3}]$ . Le quotient $ℂ [ζ] / Q$ est engendré par les images canoniques ${\bar{ζ}}_{2}$ et ${\bar{ζ}}_{3}$ (ce qu'on écrira $ℂ [ζ] / Q = [{\bar{ζ}}_{2}, {\bar{ζ}}_{3}]$ ), on a $ζ^{'} = ζ_{1}$ , et le rang r de $ℂ [ζ] / Q$ sur $ℂ [ζ_{1}] / Q$ est égal à 2. Par conséquent, $ρ = r / e = 2$ . On peut choisir comme opérateurs noethériens^[14] $ℬ_{1} (ζ, \frac{\partial}{\partial ζ^{″}}) = 1$ et $ℬ_{2} (ζ, \frac{\partial}{\partial ζ^{″}}) = ζ_{1} \frac{\partial}{\partial ζ_{2}} + \frac{\partial}{\partial ζ_{3}}$ avec $ζ^{″} = (ζ_{2}, ζ_{3})$ . En effet, on vérifie que

{\begin{matrix} 1. f (ζ) \in [ς_{2}, ς_{3}] \\ ζ_{1} \frac{\partial f}{\partial ζ_{2}} + \frac{\partial f}{\partial ζ_{3}} \in [ζ_{2}, ζ_{3}] \end{matrix} ⟺ f (ζ) \in [ζ_{2}^{2}, ζ_{3}^{2}, ζ_{2} - ζ_{1} ζ_{3}]

.

Les solutions exponentielles-polynômes du système différentiel forment donc le $ℂ$ -espace vectoriel engendré par $u : x \mapsto u (x)$ où

u (x) = e^{i x_{1} ζ_{1}} + (ζ_{2} x_{2} + x_{3}) e^{i x_{1} ζ_{1}}

comme on le vérifie facilement a posteriori. On notera que $ℬ_{2} (ζ, \frac{\partial}{\partial ζ^{″}})$ dépend de $ζ$ et cette dépendance est inévitable dans cet exemple. Une méthode systématique pour déterminer des opérateurs noethériens associés à un module primaire a été obtenue par Oberst^[15].

Principe fondamental

Soit $K \subset ℝ^{n}$ un compact convexe. Nous caractérisons ici les solutions dans $C^{ν} (K)$ , l'espace des (germes de) fonctions $ν$ fois continûment différentiables dans un voisinage ouvert de K^[13]. La fonction support de K est

H_{K} (ξ) = sup_{x \in K} ⟨ x, ξ ⟩

.

Soit

ν = sup_{1 \leq σ \leq μ} {n - {n_{σ^{'}}}^{'}}

.

Théorème — Soit

u (x) = \sum_{σ = 1}^{μ} \sum_{l = 1}^{ρ_{σ}} \int_{V_{σ}} ℬ_{σ, l}^{T} (ζ, x) e^{i ⟨ x, ζ ⟩} d μ_{σ, l} (ζ)

où les $μ_{σ, l}$ sont des mesures complexes, de support est inclus dans $V_{σ}$ . Supposons

\int_{V_{σ}} {(1 + | ζ |)}^{q} \exp {H_{K} (- ℑ (ζ))} d | μ_{σ, l} (ζ) | < \infty

où l'entier q est supérieur ou égal au degré de $ℬ_{σ, l}$ en $ζ$ . Il existe un entier $δ \geq 0$ tel que si $u \in C^{ν + δ} (K)^{k}$ est solution du système différentiel, alors l'intégrale apparaissant dans l'expression de $u (x)$ ci-dessus, ainsi que ses dérivées jusqu'à l'ordre $ν$ , est convergente absolument et uniformément (par rapport à x). Réciproquement, cette expression définit une solution du système différentiel dans $C^{ν} (K)^{k}$ .

D'autres conditions fournissent les solutions dans des espaces de distributions^[4] ou d'hyperfonctions^[16].

On suppose dans tout ce qui suit que l'anneau $𝔇$ est muni de la topologie discrète, ce qui en fait un anneau topologique.

Définition - Principe fondamental^[17] — Soit $𝒲$ un $𝔇$ -module topologique qui contient l'espace vectoriel $𝒲_{0}$ des combinaisons linéaires d'exponentielles-polynômes (éventuellement restreintes à un ouvert non vide $Ω$ de $ℝ^{n}$ ). On dit que cet espace $𝒲$ qu'il vérifie le principe fondamental si pour toute matrice $R (D) \in 𝔇^{q \times k}$ (quels que soient les entiers q est k), l'adhérence dans $𝒲^{k}$ de ${k e r}_{𝒲_{0}} (R (D) ∙)$ est égale à ${k e r}_{𝒲} (R (D) ∙)$ et ${i m}_{𝒲} (R (D) ∙)$ est fermée dans $𝒲^{q}$ .

Le résultat suivant est clair :

Lemme — L'espace $𝒲_{0}$ des combinaisons linéaires d'exponentielles-polynômes restreintes à un ouvert connexe non vide $Ω$ de $ℝ^{n}$ , muni de la topologie discrète, vérifie le principe fondamental.

On a d'autre part le résultat suivant^[5]^,^[4]^,^[7] :

Théorème —

Soit $Ω$ un ouvert convexe de $ℝ^{n}$ . L'espace $ℰ (Ω)$ des fonctions indéfiniment dérivables sur $Ω$ (muni de sa topologie habituelle d'espace de Fréchet), l'espace $𝒟^{'} (Ω)$ des distributions sur $Ω$ (muni de sa topologie habituelle^[18]) et l'espace $𝒟^{' F} (Ω)$ des distributions d'ordre fini sur $Ω$ (muni de la topologie induite par celle de $𝒟^{'} (Ω)$ )^[19] vérifient le principe fondamental.
Soit $Ω$ un ouvert connexe de $ℝ^{n}$ . Pour que $ℰ (Ω)$ ou $𝒟^{'} (Ω)$ vérifient le principe fondamental, il est nécessaire que $Ω$ soit convexe.
L'espace $𝒪 (ℂ^{n})$ des fonctions entières, muni de la topologie de la convergence uniforme sur tout compact (qui en fait un espace de Fréchet-Schwartz), et l'espace $𝒪 (ℂ^{n}; e x p)$ des fonctions analytiques à croissance au plus exponentielle sur $ℂ^{n}$ , isomorphe au dual $𝒪 (ℂ^{n})^{'}$ via la transformée de Fourier-Laplace, vérifient le principe fondamental.

L'espace $ℬ (Ω)$ des hyperfonctions sur un ouvert convexe $Ω$ de $ℝ^{n}$ n'est pas un espace vectoriel topologique, néanmoins une représentation intégrale telle que ci-dessus existe pour une hyperfonction $u (x)$ , les intégrales devant être prises au sens des hyperfonctions^[16] (ce résultat est dû à Kaneto).

Systèmes différentiels non homogènes

Position du problème

Considérons maintenant le système multidimensionnel d'équation

R_{1} (D) u = f

où l'opérateur D est défini comme plus haut ; $𝔇$ désigne de nouveau l'anneau des opérateurs différentiels et $R_{1} (D) \in 𝔇^{q_{1} \times k_{1}}$ . Le second membre v appartient à $𝒲^{q_{1}}$ où $𝒲$ un espace fonctionnel qui est un $𝔇$ -module. La question qui se pose est de savoir si ce système admet des solutions $u \in 𝒲^{k_{1}}$ .

Condition de compatibilité

Puisque l'anneau $𝔇$ est noethérien, il existe une matrice $R_{2} (D) \in 𝔇^{q_{2} \times k_{2}}$ , avec $k_{2} = q_{1}$ , pour laquelle la suite

𝔇^{1 \times q_{2}} \overset{∙ R_{2} (D)}{⟶} 𝔇^{1 \times q_{1}} \overset{∙ R_{1} (D)}{⟶} 𝔇^{1 \times k_{1}}

est exacte, c'est-à-dire ${k e r}_{𝔇} (∙ R_{1} (D)) = {i m}_{𝔇} (∙ R_{2} (D))$ .

En effet, ${k e r}_{𝔇} (∙ R_{1} (D)) \subset 𝔇^{1 \times q_{1}}$ est de type fini, et il suffit donc de choisir une matrice $R_{2} (D)$ dont les lignes forment un ensemble générateur de ${k e r}_{𝔇} (∙ R_{1} (D))$ (ce raisonnement resterait valable si $𝔇$ était seulement un anneau cohérent).

Puisque $R_{2} (D) R_{1} (D) = 0$ , pour que le système ci-dessus ait une solution, il faut évidemment que la condition de compatibilité

R_{2} (D) f = 0

soit satisfaite. La question qui se pose est de savoir si cette condition de compatibilité, qui est nécessaire, est suffisante pour que le système différentiel admette une solution, c'est-à-dire si l'on a

{i m}_{𝒲} (R_{1} (D) ∙) = {k e r}_{𝒲} (R_{2} (D) ∙)

.

Principe fondamental, injectivité et platitude

Théorème — Supposons que $𝒲$ vérifie le principe fondamental. Alors la suite

𝒲^{k_{1}} \overset{R_{1} (D) ∙}{⟶} 𝒲^{q_{1}} \overset{R_{2} (D) ∙}{⟶} 𝒲^{q_{2}}

est exacte.

Démonstration

Cette démonstration reprend, en la détaillant et en la complétant, celle de Palamodov^[20]. Par commodité, la formulation ci-dessous utilise l'opérateur $\partial = \partial / \partial x$ plutôt que D. La discussion qui précède montre qu'on a toujours

{i m}_{𝒲} (R_{1} (\partial) ∙) \subset {k e r}_{𝒲} (R_{2} (\partial) ∙)

.

Il suffit donc de montrer que, si $𝒲$ vérifie le principe fondamental,

{k e r}_{𝒲_{0}} (R_{2} (\partial) ∙) \subset {i m}_{𝒲} (R_{1} (\partial) ∙)

.

En effet, le principe fondamental dit que ${i m}_{𝒲} (R_{1} (\partial) ∙)$ est un sous-espace fermé de $𝒲^{k}$ et que l'adhérence dans $𝒲^{k}$ de ${k e r}_{𝒲_{0}} (R_{2} (\partial) ∙)$ est égale à ${k e r}_{𝒲} (R_{2} (\partial) ∙)$ . Il suffit donc de montrer que

{k e r}_{𝒲_{0}} (R_{2} (\partial) ∙) = {i m}_{𝒲_{0}} (R_{1} (\partial) ∙)

autrement dit que la suite

𝒲_{0}^{k_{1}} \overset{R_{1} (\partial) ∙}{⟶} 𝒲_{0}^{q_{1}} \overset{R_{2} (\partial) ∙}{⟶} 𝒲_{0}^{q_{2}}

est exacte. Il suffit que pour tout $z \in ℂ^{n}$ la suite

𝒲_{0, z}^{k_{1}} \overset{R_{1} (\partial) ∙}{⟶} 𝒲_{0, z}^{q_{1}} \overset{R_{2} (\partial) ∙}{⟶} 𝒲_{0, z}^{q_{2}}

soit exacte, où $𝒲_{0, z} = ℂ [x] e^{i ⟨ x, z ⟩}$ . On se ramène au cas où $z = 0$ par une translation appropriée des matrices $R_{1} (ζ)$ et $R_{2} (ζ)$ , et $𝒲_{0, 0} = ℂ [x]$ . Soit $𝐒 = ℂ [[ξ]]$ l'espace des séries formelles en $ξ$ . Muni de la topologie de convergence simple des coefficients, $𝐒$ est un espace de Fréchet^[21]. Soit la forme bilinéaire $(∙, ∙) : ℂ [x] \times ℂ [[ξ]] \to ℂ$ définie pour

f = \sum_{f i n i e} \frac{f_{j}}{j!} x^{j} \in ℂ [x], ϕ = \sum_{j} ϕ_{j} ξ^{j} \in ℂ [[ξ]]

par la relation

(f, ϕ) = \sum_{j} f_{j} ϕ_{j}

.

Cette forme bilinéaire est séparante, i.e. si $(f, ϕ) = 0$ pour tout $ϕ \in ℂ [[ξ]]$ alors $f = 0$ , et si $(f, ϕ) = 0$ pour tout $f \in ℂ [x]$ alors $ϕ = 0$ . Elle met donc les espaces vectoriels $ℂ [x]$ et $ℂ [[ξ]]$ en dualité séparante^[22]. On montre facilement que toute forme linéaire continue sur $𝐒$ est de la forme $(f, -)$ pour un $f \in ℂ [x]$ , par conséquent $𝐏 = ℂ [x]$ s'identifie au dual de l'espace de Fréchet $𝐒$ ^[21] ; par ailleurs $𝐏$ est limite inductive stricte des espaces de dimension finie $𝐏_{m}$ formés des polynômes de degré inférieur ou égal à m. L'opérateur $ξ^{j} ∙ : 𝐒 \to 𝐒$ (multiplication par $ξ^{j})$ est linéaire et continu, et

(\partial^{j} f, ϕ) = (f, ξ^{j} ϕ)

i.e. la multiplication par $ξ^{j}$ est le transposé de l'opérateur $\partial^{j}$ .

Or la suite

ℂ {[ξ]}^{1 \times q_{2}} \overset{∙ R_{2} (ξ)}{⟶} ℂ {[ξ]}^{1 \times q_{1}} \overset{∙ R_{1} (ξ)}{⟶} ℂ {[ξ]}^{1 \times k_{1}}

est exacte. Puisque $ℂ [[ξ]]$ est le complété de $ℂ [ξ]$ pour la topologie $(ξ)$ -adique (où $(ξ)$ désigne l'idéal engendré par $(ξ)$ ), $ℂ [[ξ]]$ est un $ℂ [ξ]$ -module plat. Par conséquent, la suite

ℂ {[[ξ]]}^{1 \times q_{2}} \overset{∙ R_{2} (ξ)}{⟶} ℂ {[[ξ]]}^{1 \times q_{1}} \overset{∙ R_{1} (ξ)}{⟶} ℂ {[[ξ]]}^{1 \times k_{1}}

est exacte. Par dualité^[22],

\overline{{i m}_{𝐏} (R_{1} (\partial) ∙)} = \ker_{𝐏} (R_{2} (\partial) ∙)

et il reste donc à montrer que $V = {i m}_{𝐏} (R_{1} (\partial) ∙)$ est un sous-espace vectoriel fermé de $E = 𝐏^{q_{1}}$ . Or, E est limite inductive stricte de la suite strictement croissante des espaces de dimension finie $E_{m} = 𝐏_{m}^{q_{1}}$ . Soit $(x_{i})$ une suite généralisée de V convergeant dans E vers un point x. Il existe un entier m tel que ${x_{i}} \subset E_{m}$ et $(x_{i})$ converge vers x dans $E_{m}$ ^[23]. Puisque $E_{m}$ est de dimension finie, $V \cap E_{m}$ est fermé dans $E_{m}$ , par conséquent x appartient à $V \cap E_{m}$ , d'où il suit que V est fermé dans E. On en déduit que la suite

ℂ {[x]}^{k_{1}} \overset{R_{1} (\partial) ∙}{⟶} ℂ {[x]}^{q_{1}} \overset{R_{2} (\partial) ∙}{⟶} ℂ {[x]}^{q_{2}}

est exacte, ce qu'il fallait démontrer.

Corollaire — Tout opérateur $R (D) \in 𝔇$ admet une solution fondamentale (ou « fonction de Green ») qui est une distribution d'ordre fini^[9].

Démonstration

La suite

0 ⟶ 𝔇 \overset{∙ R (D)}{⟶} 𝔇

est exacte. Par conséquent, avec $𝒲 = 𝒟^{' F} (ℝ^{n})$ , la suite

𝒲 \overset{R (D) ∙}{⟶} 𝒲 ⟶ 0

est exacte, et il existe donc $u \in 𝒟^{' F} (ℝ^{n})$ telle que $R (D) u = δ$ . Le raisonnement et le résultat restent valides si l'on remplace $𝒟^{' F} (ℝ^{n})$ par $𝒟^{' F} (Ω)$ où $Ω$ est un voisinage ouvert convexe de 0 dans $ℝ^{n}$ .

Oberst^[24]^,^[25] a montré que l'espace $𝒲_{0}$ des combinaisons linéaires d'exponentielles-polynômes est le $𝔇$ -module cogénérateur canonique.

Corollaire — Si l'espace fonctionnel $𝒲$ vérifie le principe fondamental, c'est un $𝔇$ -module cogénérateur injectif. Si de plus $𝒲$ est un espace de Fréchet ou le dual d'un espace de Fréchet réflexif, son dual $𝒲^{'}$ est un $𝔇$ -module plat.

Démonstration

Le théorème ci-dessus prouve que le $𝔇$ -module $𝒲$ est injectif (voir l'article Module injectif) et puisqu'il contient $𝒲_{0}$ il est cogénérateur. Si $𝒲$ est un espace de Fréchet ou le dual d'un espace de Fréchet réflexif, son dual est un $𝔇$ -module plat^[26].)

En outre, le module des hyperfonctions sur un ouvert convexe de $ℝ^{n}$ est un cogénérateur injectif (d'après un résultat dû à Komatsu^[27]). Pour que $ℰ (Ω)$ soit un $𝔇$ -module divisible, l'ouvert $Ω$ étant connexe, il est nécessaire (et suffisant) que $Ω$ soit convexe (résultat dû à Malgrange^[6]).

En liaison avec le corollaire ci-dessus, on obtient par dualité le résultat suivant^[4] :

Corollaire — Soit $Ω$ un ouvert convexe non vide de $ℝ^{n}$ ; les $𝔇$ -modules $𝒟 (Ω)$ ^[28] et $ℰ^{'} (Ω)$ sont plats. De même, les $𝔇$ -modules $𝒪 (ℂ^{n})$ et $𝒪 (ℂ^{n}; e x p)$ sont plats.

On notera qu'un $𝔇$ -module injectif ne vérifie pas nécessairement le principe fondamental au sens précisé ci-dessus. Par exemple, l'espace $𝒮^{'} (ℝ^{n})$ des distributions tempérées sur $ℝ^{n}$ est un $𝔇$ -module injectif^[29], mais ne contient pas les exponentielles-polynômes, et n'est donc pas cogénérateur. (Néanmoins, son dual $𝒮 (ℝ^{n})$ , à savoir l'espace de Schwartz des fonctions déclinantes, est un $𝔇$ -module plat^[6], ce qu'on peut conclure aussi d'un résultat général sur la dualité entre injectivité et platitude^[26].)

Notes et références

Notes

↑ Avec une erreur, heureusement sans conséquence majeure, relevée et corrigée par Palamodov.
↑ Ehrenpreis 1960
↑ Ehrenpreis 1963
1 2 3 4 5 6 7 Palamodov 1970
1 2 Malgrange 1961-1962
1 2 3 4 Malgrange 1962-1964
1 2 Ehrenpreis 2006
↑ Ehrenpreis 1954
1 2 Malgrange 1956
↑ Dieudonné
↑ Cette écriture peut paraître redondante et exagérément compliquée, avec notamment la dépendance de $ℬ_{σ, l}$ par rapport à $ζ$ , mais elle est indispensable en vue de la génération effectuée plus loin et qui est le but principal de cet article ; cette dépendance est alors polynômiale, et son omission est l'erreur initiale d'Ehrenpreis déjà mentionnée.
1 2 3 Björk 1979
1 2 3 Hörmander 1990
↑ Ce choix n'est pas unique.
↑ Oberst 1999
1 2 Oshima 1974
↑ L'énoncé d'Ehrenpreis est un peu différent.
↑ Schwartz 1966
↑ Une distribution est d'ordre $\leq m$ si, et seulement si elle est égale à une somme finie de dérivées d'ordre $\leq m$ de mesures de Radon.
↑ Palamodov 1970, Prop. 3, pp. 297-298.
1 2 Treves 2007
1 2 Bourbaki 2006
↑ En raisonnant par l'absurde, et en procédant comme dans Bourbaki 2006, p. III.5, dém. de la prop. 6 (avec une suite généralisée au lieu d'une suite).
↑ Oberst 1990
↑ Oberst 1995
1 2 Bourlès 2011
↑ Komatsu 1968
↑ Bien que $𝒟 (Ω)$ ne soit ni un espace de Fréchet, ni le dual d'un espace de Fréchet.
↑ Malgrange 1959-1960

Références

(en) Jan-Erik Björk, Rings of Differential Operators, North Holland, 1979, 375 p. (ISBN 0-444-85292-1, lire en ligne)
N. Bourbaki, Espaces vectoriels topologiques, Springer, 2006, 364 p. (ISBN 3-540-34497-7)
(en) Henri Bourlès, « Injectivity and flatness of semitopological modules », ArXiv 1107.1639v3,‎ 2011 (lire en ligne)
Jean Dieudonné, Calcul infinitésimal [détail des éditions]
(en) Leon Ehrenpreis, « Solution of some problems of division I », Amer. J. Math., vol. 76, n^o 4,‎ 1954, p. 883-890 (lire en ligne)
(en) Leon Ehrenpreis, « A fundamental principle for systems of differential equations with constant coefficients and some of its applications », Proc. Int. Symp. on linear systems, Jérusalem,‎ 1960
(en) Leon Ehrenpreis, « The fundamental principle and some of its applications », Studia Mathematica (Ser. Specjalna),‎ 1963, p. 35-36 (lire en ligne)
(en) Leon Ehrenpreis, Fourier Analysis in Several Variables, Dover, 2006, 528 p. (ISBN 0-486-44975-0, lire en ligne) (Première édition : Wiley & Sons, 1970)
(en) Lars Hörmander, Introduction to Complex Analysis in Several Variables, Amsterdam/New York/Oxford, North Holland, 1990, 268 p. (ISBN 0-444-88446-7, lire en ligne)
(en) Hikosaburo Komatsu, « Resolution by hyperfunctions of sheaves of solutions of differential equations with constant coefficients », Math. Ann., vol. 176,‎ 1968, p. 77-86 (lire en ligne)
Bernard Malgrange, « Existence et approximation des solutions des équations aux dérivées partielles et des équations de convolution », Ann. Inst. Fourier, vol. 6,‎ 1956, p. 271-355 (lire en ligne)
Bernard Malgrange, « Division des distributions. IV : Applications », Séminaire Schwartz, vol. 4, n^o 25,‎ 1959-1960, p. 1-5 (lire en ligne)
Bernard Malgrange, « Sur les systèmes différentiels à coefficients constants », Séminaire Jean Leray, n^o 7,‎ 1961-1962, p. 1-14 (lire en ligne)
Bernard Malgrange, « Systèmes différentiels à coefficients constants », Séminaire Bourbaki, n^o 246,‎ 1962-1964, p. 79-89 (lire en ligne)
(en) Ulrich Oberst, « Multidimensional Constant Linear Systems », Acta Applicandae Mathematicae, vol. 20,‎ 1990, p. 1-175 (lire en ligne)
(en) Ulrich Oberst, « Variations on the Fundamental Principle for Linear Systems of Partial Differential and Difference Equations with Constant Coefficients », Applicable Algebra in Engineering, Communication and Computing, vol. 6, n^os 4/5,‎ 1995, p. 211-243 (lire en ligne)
(en) Ulrich Oberst, « The construction of Noetherian Operators », J. of Algebra, vol. 222,‎ 1999, p. 595-620 (lire en ligne)
(en) Toshio Oshima, « A Proof of Ehrenpreis' Fundamental Principle in Hyperfunctions », Proc. Japan Acad., vol. 50,‎ 1974, p. 16-18 (lire en ligne)
(en) Victor P. Palamodov, Linear Differential Operators with Constant Coefficients, Springer-Verlag, 1970, 443 p. (ISBN 3-642-46221-9, lire en ligne)
Laurent Schwartz, Théorie des distributions, Paris, Hermann, 1966, 418 p. (ISBN 2-7056-5551-4)
(en) François Treves, Topological Vector Spaces, Distributions and Kernels, Dover Publications, 2007, 565 p. (ISBN 978-0-486-45352-1 et 0-486-45352-9, lire en ligne)

Articles connexes

Portail de l'analyse

Portail de l’algèbre

[1] Avec une erreur, heureusement sans conséquence majeure, relevée et corrigée par Palamodov.

[2] Ehrenpreis 1960

[3] Ehrenpreis 1963

[Palamodov-4] 1 2 3 4 5 6 7 Palamodov 1970

[Malgrange-Leray-5] 1 2 Malgrange 1961-1962

[Malgrange-Bourbaki-6] 1 2 3 4 Malgrange 1962-1964

[Ehrenpreis-7] 1 2 Ehrenpreis 2006

[8] Ehrenpreis 1954

[Malgrange-existence-9] 1 2 Malgrange 1956

[10] Dieudonné

[11] Cette écriture peut paraître redondante et exagérément compliquée, avec notamment la dépendance de $ℬ_{σ, l}$ par rapport à $ζ$ , mais elle est indispensable en vue de la génération effectuée plus loin et qui est le but principal de cet article ; cette dépendance est alors polynômiale, et son omission est l'erreur initiale d'Ehrenpreis déjà mentionnée.

[Björk-12] 1 2 3 Björk 1979

[Hörmander-13] 1 2 3 Hörmander 1990

[14] Ce choix n'est pas unique.

[15] Oberst 1999

[Oshima-16] 1 2 Oshima 1974

[17] L'énoncé d'Ehrenpreis est un peu différent.

[18] Schwartz 1966

[19] Une distribution est d'ordre $\leq m$ si, et seulement si elle est égale à une somme finie de dérivées d'ordre $\leq m$ de mesures de Radon.

[20] Palamodov 1970, Prop. 3, pp. 297-298.

[Treves-21] 1 2 Treves 2007

[Bourbaki-22] 1 2 Bourbaki 2006

[23] En raisonnant par l'absurde, et en procédant comme dans Bourbaki 2006, p. III.5, dém. de la prop. 6 (avec une suite généralisée au lieu d'une suite).

[Oberst-24] Oberst 1990

[25] Oberst 1995

[Bourles-26] 1 2 Bourlès 2011

[27] Komatsu 1968

[28] Bien que $𝒟 (Ω)$ ne soit ni un espace de Fréchet, ni le dual d'un espace de Fréchet.

[29] Malgrange 1959-1960

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