Problème du rond de serviette

En géométrie, le problème du rond de serviette consiste à déterminer le volume de la partie restante (en forme de rond de serviette) d'une boule (sphérique) de laquelle on a retiré une section cylindrique d'axe passant par son centre. Le problème demande de calculer le volume d'un «anneau sphérique » d'une certaine hauteur et a pour résultat contre-intuitif que pour des hauteurs égales, les volumes de ces anneaux sont égaux et ce, quelle que soit la taille de la boule initiale.

Si un trou d'une hauteur $h$ est creusé directement à travers le centre d'une boule, le volume de la bande restante ne dépend pas de la taille de la boule. Ainsi, pour une boule plus grande, la bande sera plus mince, mais plus longue.

Animation présentant la création de « ronds de serviette » de même hauteur à partir de boules différentes.

Historique

Une version de ce problème est posée au XVII^e siècle dans les mathématiques japonaises par Seki Kōwa. D'après Smith et Mikami 1914, Seki appelait le solide un « anneau-arc (arc-ring, kokan ou kokwan en japonais).

Démonstrations

Démonstration de l'indépendance du volume cherché par rapport au rayon de la boule

Schéma illustrant les différents paramètres.

On se donne un cylindre dont l'axe passe par le centre d'une boule de rayon $r$. On note $h$ la hauteur (distance parallèle à l'axe) de la partie du cylindre située à l'intérieur de la boule. Le rond de serviette, ou «anneau sphérique » est la partie de la boule située en dehors du cylindre.

D'après le théorème de Pythagore, le rayon du cylindre est :

${\sqrt {r^{2}-\left({\frac {h}{2}}\right)^{2}}},\qquad \qquad (1)$

le rayon d'une coupe transversale horizontale de la boule à une ordonnée $y$ au-dessus de l'« équateur » de la boule est :

${\sqrt {R^{2}-y^{2}}}.\qquad \qquad (2)$

La section transversale de l'anneau sphérique par le plan d'ordonnée $y$ est la couronne circulaire déterminée par le grand cercle dont le rayon est donné en (2) et le petit cercle dont le rayon est donné en (1). L'aire de cette couronne est donc égale à l'aire du grand cercle moins celle du petit cercle :

${\begin{aligned}&{}\quad \pi ({\text{grand rayon}})^{2}-\pi ({\text{petit rayon}})^{2}\\&=\pi \left({\sqrt {r^{2}-y^{2}}}\right)^{2}-\pi \left({\sqrt {r^{2}-\left({\frac {h}{2}}\right)^{2}\,{}}}\,\right)^{2}=\pi \left(\left({\frac {h}{2}}\right)^{2}-y^{2}\right).\end{aligned}}$

On remarque que $R$ n'apparaît plus dans l'expression. L'aire de la coupe transverse à l'ordonnée $y$ ne dépend donc pas de $r$, tant que $y\leqslant {\frac {h}{2}}\leqslant r$.

Le volume de l'anneau sphérique est :

$\int _{-h/2}^{h/2}({\text{aire de la coupe à l'ordonnée }}y)\,dy,$

et il est donc lui aussi indépendant de $r$.

Ce volume est donc égal à celui du cas limite où $h=2R$ donnant un anneau sphérique égal à la boule entière.

Le volume de l'anneau sphérique est donc ::

${\frac {4}{3}}\pi \left({\frac {h}{2}}\right)^{3}={\frac {\pi h^{3}}{6}}.$

Ceci est une application de la méthode des indivisibles.

Démonstration par calcul direct du volume cherché connaissant le volume d'une calotte sphérique

Le volume cherché $V_{a}$ est égal au volume de la boule $V_{b}$ moins le volume $V_{cy}$ du tronc de cylindre de hauteur $h$, moins deux fois le volume $V_{ca}$ d'une calotte sphérique de hauteur $r-h/2$.

Or $V_{b}={\frac {4}{3}}\pi r^{3}$, $V_{cy}=\pi (r^{2}-h^{2}/4)h$, et $V_{ca}={\frac {\pi }{6}}\left(r-{\frac {h}{2}}\right)\left(3\left(r^{2}-{\frac {h^{2}}{4}}\right)+\left(r-{\frac {h}{2}}\right)^{2}\right)$.

Tous calculs faits, on obtient de nouveau $V_{a}=V_{b}-V_{cy}-2V_{ca}={\frac {\pi }{6}}h^{3}$.

Notes et références

• (en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Napkin ring problem » (voir la liste des auteurs).

Voir aussi

Bibliographie

• (en) Keith Devlin, « The Napkin Ring Problem » [archive du 11 août 2011], Mathematical Association of America, 2008
• (en) Keith Devlin, « Lockhart's Lament » [archive du 11 août 2011], Mathematical Association of America, 2008
• (en) Martin Gardner, My best mathematical and logic puzzles, Dover Publications, 1994, « Hole in the Sphere », p. 8
• (en) Samuel I. Jones, Mathematical Wrinkles for Teachers and Private Learners, Norwood, MA, J. B. Cushing Co., 1912 Problem 132 asks for the volume of a sphere with a cylindrical hole drilled through it, but does not note the invariance of the problem under changes of radius.
• (en) Mark Levi, The Mathematical Mechanic : Using Physical Reasoning to Solve Problems, Princeton University Press, 2009, 102–104 p. (ISBN 978-0-691-14020-9, lire en ligne), « 6.3 How Much Gold Is in a Wedding Ring? ». Levi argues that the volume depends only on the height of the hole based on the fact that the ring can be swept out by a half-disk with the height as its diameter.
• (en) L. Lines, Solid geometry : With Chapters on Space-lattices, Sphere-packs and Crystals, Dover, 1965. Reprint of 1935 edition. A problem on page 101 describes the shape formed by a sphere with a cylinder removed as a "napkin ring" and asks for a proof that the volume is the same as that of a sphere with diameter equal to the length of the hole.
• (en) George Pólya, Mathematics and Plausible Reasoning, Vol. I: Induction and Analogy in Mathematics, Princeton University Press, 1990, 191–192 p.. Reprint of 1954 edition.
• (en) David E. Smith et Yoshio Mikami, A History of Japanese Mathematics, Open Court Publishing Company, 1914, 121–123 p. (lire en ligne). Republished by Dover, 2004, (ISBN 0-486-43482-6). Smith and Mikami discuss the napkin ring problem in the context of two manuscripts of Seki on the mensuration of solids, Kyuseki and Kyuketsu Hengyo So.

Articles connexes

• Calcul intégral visuel
• Paradoxe de la corde autour de la Terre
• Formulaire de géométrie classique

Liens externes

• (en) Eric W. Weisstein, « Spherical Ring », sur MathWorld
• (en) [vidéo] « The Napkin Ring Problem », sur YouTube