Wikipédia

Paradoxe de la corde autour de la Terre

solution contre-intuitive d'une énigme mathématique

En mathématiques récréatives, le paradoxe de la corde autour de la Terre ou paradoxe de la corde tendue autour de la Terre[1] résulte de la solution contre-intuitive d'une énigme mathématique.

Pour chaque bande circulaire (en jaune) cernée par deux cercles de points, la longueur ajoutée à la circonférence (points bleus) dépend uniquement du rayon supplémentaire (trait rouge) et non de la circonférence d'origine (qui est proportionnelle au nombre de points gris).

Sous la première forme de cette énigme, une corde est enroulée étroitement autour de l'équateur d'une Terre parfaitement sphérique. Si l'on élève la corde à 1 mètre du sol, tout le long de l'équateur, de combien s'allongera-t-elle ?

Sous une deuxième forme, on ajoute 1 mètre à la ficelle d'origine, puis on réarrange la ficelle rallongée pour qu'elle soit à une hauteur uniforme au-dessus de l'équateur. La question qui se pose alors est de savoir si l'espace entre la ficelle et la Terre permettra le passage d'une voiture, d'un chat ou d'une lame de couteau fine.

Solution

modifier

Dans la première formulation, la corde doit être soulevée de 1 mètre vis-à-vis l'équateur terrestre[2], qui mesure environ 40 000 km[3]. Vu cette grande distance, on pourrait s'attendre à avoir besoin de plusieurs kilomètres de corde supplémentaires. Puisque la circonférence est donnée par C=2πr, la réponse est donnée par 2π(r+1)−2πr=2π mètres, soit environ 6,3 mètres[4].

Dans la seconde formulation, considérant que 1 mètre est presque négligeable par rapport aux 40 000 km de circonférence, la première réaction pourrait être que la nouvelle position de la corde ne sera pas différente de sa position initiale au ras de la surface. Avec la formule C=2πr et en convertissant les kilomètres en mètres, nous calculons la valeur du rayon : 40000001−40000000=2πr, soit 1=2πr, d'où r=1÷(2π)≈0,1592. Tout objet ou animal dont la hauteur est inférieure ou égale à 15,9 cm passera sous la corde.

La taille de la sphère ou du cercle autour duquel la corde est enroulée est sans importance ; elle peut aller de la taille d'un atome à celle de la Voie lactée[1]. Le résultat dépend uniquement de l'élévation appliquée. De plus, comme dans le problème de la pièce qui roule (en), la forme de la corde n'est pas nécessairement circulaire : on ajoute π fois le décalage même lorsqu'il s'agit d'un polygone simple ou d'une courbe fermée qui ne se recoupe pas. Si la forme est complexe, il faut ajouter π fois le décalage multiplié par la valeur absolue de son nombre de tours[5].

Analogie visuelle utilisant un carré.

Le diagramme à la droite donne une analogie visuelle à l'aide d'un carré : quelle que soit la taille du carré, le périmètre ajouté est la somme des quatre arcs bleus, un cercle ayant le même rayon que le décalage.

Plus formellement, soit la circonférence de la Terre (en) (c), son rayon (r), le rayon ajouté (Δr) et la variation de longueur de la corde (Δc). Comme un cercle de rayon r a une circonférence de 2πr, l'allongement de la corde sera égal à la nouvelle circonférence (2π(r+1)) moins l'ancienne circonférence (2πr) :

Δc=2π(r+1)−2πr=2π(r+1−r)=2π

Applications pratiques

modifier

{{{annotations}}}

Photo montrant le décalage entre les lignes de départ d'une piste d'athlétisme.

Dans le domaine sportif, cette observation signifie qu'une piste d'athlétisme présente le même décalage entre les lignes de départ sur chaque couloir, égal à π fois la largeur du couloir, peu importe la circonférence du couloir intérieur (qu'elle soit le standard de 400 mètres ou la taille d'une galaxie).

Dans le domaine aéronautique, puisque les avions volent à haute altitude pour économiser du carburant grâce à une moindre résistance de l'air, la formule montre qu'une augmentation d'altitude (Δh) allonge un vol le long d'un grand cercle complet de 2πΔh. Par exemple, chaque tranche de 1 000 pieds (0,3 km) supplémentaires ajoute 2 × π × 1 000 ≈ 6 283 pieds (1,92 km) (environ 1 mille nautique) autour de la Terre. En unités SI, chaque kilomètre d'altitude augmente la distance de 15,7 cm par kilomètre parcouru. Le gain d'efficacité compense largement la distance ajoutée, qui est négligeable[6].

Notes et références

modifier
  1. 1 2 Gérard Villemin, « Cercle et son périmètre »,
  2. ↑ André Warusfel, Les Nombres et leurs mystères, Paris, Éditions du Seuil (no S21), (ISBN 2-02-005479-5), p. 157
  3. ↑ (en) Sigurd Humerfelt, « How WGS 84 defines Earth », (consulter la 10e rangée du tableau)
  4. ↑ (en) Reinhard M. Grassmann, « The string girdling Earth problem and how it relates to tendon displacement », sur OpenProject,
  5. ↑ (en) James Roy Newman, The World of Mathematics, vol. 4, Courier Dover Publications, (ISBN 0-486-41152-4, lire en ligne), p. 2436, p. 2436
  6. ↑ (en) « Why do planes fly at high altitude meaning its a further distance? », sur Australian Research & Space Exploration,

Articles connexes

modifier
Ce document provient de « https://fr.wikipedia.org/w/index.php?title=Paradoxe_de_la_corde_autour_de_la_Terre&oldid=235530466 ».