Produit restreint

En mathématiques, le produit restreint est une construction de la théorie des groupes topologiques.

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Soit $I$ un ensemble ; $S$ un sous-ensemble fini de $I$ . Si $G_{i}$ est la donnée d'un groupe localement compact pour chaque $i \in I$ , et $K_{i} \subset G_{i}$ un sous-groupe compact ouvert pour chaque $i \in I ∖ S$ , alors le produit restreint

\prod_{i}^{'} G_{i}

est le sous-ensemble du produit de $G_{i}$ composé de tous les éléments $(g_{i})_{i \in I}$ tel que $g_{i} \in K_{i}$ pour tous sauf un nombre fini $i \in I ∖ S$ .

On munit ce groupe de la topologie dont une base d'ensembles ouverts sont de la forme

\prod_{i} A_{i},

où $A_{i}$ est ouvert dans $G_{i}$ et $A_{i} = K_{i}$ pour tous sauf un nombre fini $i$ .

On peut facilement montrer que le produit restreint est lui-même un groupe localement compact. L'exemple le plus connu de cette construction est celui de l'anneau adélique d'un corps global.

Références

A. Fröhlich et J. W. Cassels, Algebraic number theory, Boston, MA, Academic Press, 1967 (ISBN 978-0-12-163251-9).
Jürgen Neukirch, Algebraic Number Theory, vol. 322, Berlin, Springer-Verlag, 1999 (ISBN 978-3-540-65399-8, MR 1697859, zbMATH 0956.11021).

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