Produit tensoriel de deux applications linéaires

Le produit tensoriel de deux applications linéaires est une construction qui à deux applications linéaires entre A-modules, u de E₁ dans F₁ et v de E₂ dans F₂, associe une application linéaire u⊗v entre produits tensoriels, de E₁⊗_AE₂ dans F₁⊗_AF₂.

Définition

On suppose dans cette partie que l'anneau A est commutatif. Avec les notations de l'introduction, l'application

$E_{1} \times E_{2} \to F_{1} \otimes_{A} F_{2}, (x, y) \mapsto u (x) \otimes v (y)$

est A-bilinéaire. D'après la propriété universelle du produit tensoriel, il existe une unique application linéaire $φ (u, v) : E_{1} \otimes_{A} E_{2} \to F_{1} \otimes_{A} F_{2}$ telle que

$\forall (x, y) \in E_{1} \otimes_{A} E_{2}, φ (u, v) (x \otimes y) = u (x) \otimes v (y) .$

De plus, l'application $φ$ de l'espace ${H o m}_{A} (E_{1}, F_{1}) \times {H o m}_{A} (E_{2}, F_{2})$ dans le module ${H o m}_{A} (E_{1} \otimes_{A} E_{2}, F_{1} \otimes_{A} F_{2})$ est bilinéaire ; il existe donc une application linéaire canonique

ψ : {H o m}_{A} (E_{1}, F_{1}) \otimes_{A} {H o m}_{A} (E_{2}, F_{2}) \to {H o m}_{A} (E_{1} \otimes_{A} E_{2}, F_{1} \otimes_{A} F_{2})

telle que

$φ (u, v) = ψ (u \otimes v)$ pour toutes applications A-linéaires $u : E_{1} \to F_{1}$ , $v : E_{2} \to F_{2}$ .

L'application $φ (u, v)$ de $E_{1} \otimes_{A} E_{2}$ dans $F_{1} \otimes_{A} F_{2}$ s'appelle le produit tensoriel de u et v, et il se note dans la pratique u⊗v. Attention, cette notation est abusive, car elle peut désigner deux objets de nature différente :

l'élément du produit tensoriel ${H o m}_{A} (E_{1}, F_{1}) \otimes_{A} {H o m}_{A} (E_{2}, F_{2})$ (qui n'est pas une application linéaire),
son image par ψ dans ${H o m}_{A} (E_{1} \otimes_{A} E_{2}, F_{1} \otimes_{A} F_{2})$ (l'application A-linéaire $φ (u, v)$ ).

D'autant plus que ψ n'est pas toujours un isomorphisme, si bien qu'il est impossible d'identifier les deux « u⊗v ».

Néanmoins, lorsque E₁ et E₂ sont des modules libres de rang fini (par exemple des espaces vectoriels de dimension finie), ψ est un isomorphisme, et cela a bien un sens de confondre les deux notations u⊗v. En particulier, ψ fournit, sous cette hypothèse, des isomorphismes canoniques de E₁*⊗_AE₂* dans (E₁⊗_AE₂)* et de E₁*⊗_AF₂ dans Hom_A(E₁, F₂).

Démonstration du dernier résultat

Tout A-module libre de rang p est isomorphe (via le choix d'une base) à A^p, et pour tout A-module F, Hom_A(A^p, F) est (canoniquement) isomorphe à A^p⊗_AF. Il suffit donc de vérifier que pour tous entiers m et n, l'application canonique suivante, correspondant à ψ via ces identifications, est un isomorphisme :

(A^{m} \otimes_{A} F_{1}) \otimes_{A} (A^{n} \otimes_{A} F_{2}) \to {H o m}_{A} (A^{m} \otimes_{A} A^{n}, F_{1} \otimes_{A} F_{2}) .

Par associativité et commutativité de ⊗_A et par l'isomorphisme entre A^m⊗_AAⁿ et A^mn, il s'agit simplement d'un troisième cas

A^{m n} \otimes_{A} (F_{1} \otimes_{A} F_{2}) \to {H o m}_{A} (A^{m n}, F_{1} \otimes_{A} F_{2})

de l'isomorphisme canonique invoqué au début.

Propriétés

Si $E_{1}, E_{2}, F_{1}, F_{2}, G_{1}, G_{2}$ sont six modules, et si on se donne des applications linéaires $u_{i} : E_{i} \to F_{i}$ , $v_{i} : F_{i} \to G_{i}$ , alors $(v_{1} \circ u_{1}) \otimes (v_{2} \circ u_{2}) = (v_{1} \otimes v_{2}) \circ (u_{1} \otimes u_{2}) .$
Si $u_{i}$ est un isomorphisme de $E_{i}$ sur $F_{i}$ et $v_{i}$ est l'isomorphisme réciproque, alors $u_{1} \otimes u_{2}$ est inversible et son inverse est $v_{1} \otimes v_{2}$ .

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