Produit tensoriel de deux modules

Le produit tensoriel de deux modules est une construction en théorie des modules qui, à deux modules sur un même anneau commutatif unifère A, assigne un module. Le produit tensoriel est très important dans les domaines de l'analyse fonctionnelle^[1], de la topologie algébrique et de la géométrie algébrique. Le produit tensoriel permet en outre de ramener l'étude d'applications bilinéaires ou multilinéaires à des applications linéaires.

Introduction - applications bilinéaires

Lorsque M, N et F sont trois A-modules, on appelle application bilinéaire une application f : M × N → F, telle que :

f est linéaire à gauche, c'est-à-dire que $\forall \alpha ,\beta \in A,\forall x,y\in M,\forall z\in N,f(\alpha x+\beta y,z)=\alpha f(x,z)+\beta f(y,z)$ .
f est linéaire à droite, c'est-à-dire que $\forall \alpha ,\beta \in A,\forall x\in M,\forall y,z\in N,f(x,\alpha y+\beta z)=\alpha f(x,y)+\beta f(x,z)$ .

Pour ramener l'étude des applications bilinéaires à celle des applications linéaires, on se propose de définir un module M⊗N et une application bilinéaire $\varphi :M\times N\to M\otimes N$ tels que toute application bilinéaire $f:M\times N\to F$ se factorise de manière unique à droite par $\varphi$ , c'est-à-dire qu'il existe une et une seule application linéaire $g:M\otimes N\to F$ telle que $f=g\circ \varphi$ .

On va prouver qu'un tel couple $(M\otimes N,\varphi )$ existe et est unique à un isomorphisme près.

Définition

Soient M et N deux A-modules. L'espace C = A^{(M × N)} est le A-module des combinaisons linéaires formelles (à coefficients dans A) d'éléments de M × N. Un tel espace peut également être défini de manière équivalente comme le A-module des applications de M × N dans A nulles partout sauf sur un nombre fini d'éléments. C est un A-module libre dont $(e_{(x,y)})_{(x,y)\in M\times N}$ est la base canonique, en ayant défini $e_{(x,y)}$ comme la combinaison linéaire formelle ayant pour seul coefficient non nul le coefficient devant $(x,y)$ , où ce coefficient est le neutre multiplicatif de A, autrement dit $e_{(x,y)}(x,y)=1$ et $e_{(x,y)}(u,v)=0$ pour $(u,v)\not =(x,y)$ .

On souhaite que les éléments de la forme

$e_{(x+y,z)}-e_{(x,z)}-e_{(y,z)}$
$e_{(x,y+z)}-e_{(x,y)}-e_{(x,z)}$
$e_{(\alpha x,y)}-\alpha e_{(x,y)}$
$e_{(x,\alpha y)}-\alpha e_{(x,y)}$

soient identifiés comme nuls. On appelle donc D le sous-module de C engendré par les éléments de la forme précédente. On appelle produit tensoriel de M et N, et l'on note M⊗_AN le module quotient C/D. Il est important de préciser l'anneau des scalaires A dans la notation du produit tensoriel. Néanmoins, si la situation est assez claire, on peut se permettre de ne pas trop surcharger les notations. On note $x\otimes y$ la classe de $e_{(x,y)}$ dans M⊗_AN.

Réponse au problème de l'introduction

La construction du produit tensoriel permet d'affirmer que $(x,y)\mapsto x\otimes y$ est une application bilinéaire, que l'on note $\varphi :M\times N\to M\otimes _{A}N$ .

Montrons que ce module résout bien le problème des applications bilinéaires posé en introduction. Pour cela, donnons-nous une application bilinéaire $f:M\times N\to F$ . Comme le module C est libre, définir une application linéaire de C dans F revient à choisir l'image des éléments de la base canonique de C. On définit ainsi l'application ${\overline {f}}$ par :

\forall (x,y)\in M\times N,{\overline {f}}(e_{(x,y)})=f(x,y)

Mais, le fait que f soit bilinéaire implique que :

${\overline {f}}(e_{(x+y,z)}-e_{(x,z)}-e_{(y,z)})=0$
${\overline {f}}(e_{(x,y+z)}-e_{(x,y)}-e_{(x,z)})=0$
${\overline {f}}(e_{(\alpha x,y)}-\alpha e_{(x,y)})=0$
${\overline {f}}(e_{(x,\alpha y)}-\alpha e_{(x,y)})=0$

Donc le sous-module D est inclus dans le noyau de ${\overline {f}}$ . On déduit par passage au quotient qu'il existe une application $g:M\otimes _{A}N=C/D\to F$ telle que :

f(x,y)=g(x\otimes y)=(g\circ \varphi )(x,y)

De plus g est unique car les éléments de la forme $x\otimes y$ engendrent $M\otimes _{A}N$ .

Montrons finalement que $M\otimes _{A}N$ est unique à un isomorphisme près, c'est-à-dire que s'il existe un module H tel que :

Il existe une application bilinéaire $\varphi ':M\times N\to H$ .
Si f : M × N → F est une application bilinéaire, il existe une unique application linéaire g : H → F telle que $f=g\circ \varphi '$ .

alors H est isomorphe à $M\otimes _{A}N$ .

Si tel est le cas, comme $\varphi :M\times N\to M\otimes _{A}N$ est bilinéaire, il existe une application $u_{1}:H\to M\otimes _{A}N$ telle que $\varphi =u_{1}\circ \varphi '$ . De même, comme $\varphi ':M\times N\to H$ est bilinéaire, il existe une application $u_{2}:M\otimes _{A}N\to H$ telle que $\varphi '=u_{2}\circ \varphi$ . Donc $\varphi =u_{1}\circ u_{2}\circ \varphi$ et comme $id$ est aussi une application linéaire de $M\otimes _{A}N$ dans $M\otimes _{A}N$ vérifiant $\varphi =id\circ \varphi$ , on déduit d'après la propriété d'unicité que $u_{1}\circ u_{2}=id$ . De même $u_{2}\circ u_{1}=id$ . Donc $M\otimes _{A}N$ et $H$ sont des A-modules isomorphes.

Remarque : dans le module quotient M⊗N, l'image de M×N par $\varphi$ est un cône.

Cas de deux modules libres

Si les deux A-modules M et N sont libres (par exemple si l'anneau commutatif A est un corps et M, N deux espaces vectoriels sur ce corps) alors leur produit tensoriel est libre : si (m_i)_i et (n_j)_j sont des bases respectives de M et N, une base de M⊗_AN est (m_i⊗n_j)_(i,j).

En particulier, le produit tensoriel de deux espaces vectoriels M et N a pour dimension dim(M)×dim(N).

Par exemple, le complexifié (en) d'un espace vectoriel réel E (cas particulier d'extension des scalaires), qui est par définition l'espace vectoriel complexe ℂ⊗_ℝE, a, vu comme espace vectoriel réel, une dimension double de celle de E : tout vecteur de ℂ⊗_ℝE est somme d'un produit tensoriel de 1 par un vecteur de E et de $i$ par un autre vecteur de E et si (e_j)_j est une base de E (sur ℝ), alors une base sur ℝ de ℂ⊗_ℝE est formée des 1⊗e_j et des $i$ ⊗e_j (tandis qu'une base sur ℂ de ℂ⊗_ℝE est (1⊗e_j)_j).

Généralisation à un produit fini de modules

Ce qui a été fait précédemment se généralise sans peine aux applications multilinéaires. Soit $E 1, \dots , E n$ des A-modules. On considère le module produit $E = E 1 \times\dots\times E n$ . Une application $f : E \to F$ est dite n-linéaire si

Quels que soient l'indice i et les n – 1 éléments

x_{k}\in E_{k}(k\neq i)

, l'application partielle

x_{i}\mapsto f(x_{1},\dots ,x_{i-1},x_{i},x_{i+1},\dots ,x_{n})

est linéaire.

Il existe un A-module que l'on note $\bigotimes _{i=1}^{n}E_{i}$ et une application n-linéaire $\varphi :(x_{1},\dots ,x_{n})\mapsto x_{1}\otimes x_{2}\otimes \cdots \otimes x_{n}$ de E dans $\bigotimes _{i=1}^{n}E_{i}$ telle que pour toute application n-linéaire de E dans un module d'arrivée F, il existe une unique application linéaire $g:\bigotimes _{i=1}^{n}E_{i}\to F$ telle que $f=g\circ \varphi$ .

En fait, le produit tensoriel de deux modules est associatif au sens suivant : si E, F, G sont trois A-modules, alors les modules (E⊗_AF)⊗_AG, E⊗_A(F⊗_AG) et E⊗_AF⊗_AG sont isomorphes.

Langage des catégories

Pour des A-modules $E 1, \dots , E n$ fixés, les applications multilinéaires $\ E_{1}\times \cdots \times E_{n}\rightarrow F$ , où F parcourt les A-modules, sont les objets d'une catégorie, un morphisme de l'objet $\ f:E_{1}\times \cdots \times E_{n}\rightarrow F$ vers l'objet $\ g:E_{1}\times \cdots \times E_{n}\rightarrow G$ étant une application linéaire h de F dans G telle que $\ g=h\circ f$ . Dans le langage des catégories, la propriété énoncée ci-dessus de l'application $\varphi :(x_{1},\dots ,x_{n})\mapsto x_{1}\otimes x_{2}\otimes \cdots \otimes x_{n}$ de $\ E_{1}\times \cdots \times E_{n}$ dans $\bigotimes _{i=1}^{n}E_{i}$ , à savoir que pour toute application n-linéaire de $\ E_{1}\times \cdots \times E_{n}$ dans un module d'arrivée F, il existe une unique application linéaire $g:\bigotimes _{i=1}^{n}E_{i}\to F$ telle que $f=g\circ \varphi$ , revient à dire que $\varphi$ est un objet initial de la catégorie en question^[2], ou encore : que le foncteur covariant qui à tout module F associe le module des applications multilinéaires $E_{1}\times \ldots \times E_{n}\to F$ est représenté par $\bigotimes _{i=1}^{n}E_{i}$ ^[3].

Par ailleurs, pour un A-module N, fixé, la donnée d'une application bilinéaire de M × N dans F est équivalente à celle d'une application linéaire de M dans le module Hom(N, F) des applications linéaires de N dans F, si bien que le foncteur – ⊗N est adjoint à gauche du foncteur Hom(N, –), c'est-à-dire qu'on a un isomorphisme naturel :

\mathrm {Hom} (M\otimes N,F)\simeq \mathrm {Hom} (M,\mathrm {Hom} (N,F)).

Notes et références

↑ Par exemple: Alexander Grothendieck, La théorie de Fredholm, Bulletin de la S. M. F., tome 84 (1956), p. 319-384.
↑ Serge Lang, Algèbre [détail des éditions], 3^e éd., Paris, Dunod, 2004, p. 618-620.
↑ Régine et Adrien Douady, Algèbre et théories galoisiennes [détail des éditions]; p.156-157

Articles connexes

Portail des mathématiques

[1] Par exemple: Alexander Grothendieck, La théorie de Fredholm, Bulletin de la S. M. F., tome 84 (1956), p. 319-384.

[2] Serge Lang, Algèbre [détail des éditions], 3^e éd., Paris, Dunod, 2004, p. 618-620.

[3] Régine et Adrien Douady, Algèbre et théories galoisiennes [détail des éditions]; p.156-157

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