Puissance quatrième parfaite

En arithmétique et en algèbre, une puissance quatrième parfaite est l'élévation à la puissance quatre d'un entier. C'est donc le carré d'un carré parfait.

La suite des puissances parfaites, définie par $u_{n}=n^{4}$, est désignée comme suite A000583 de l'OEIS. Les 17 premiers termes en sont :

$n$	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16
$n^{4}$	0	1	16	81	256	625	1296	2401	4096	6591	10000	14641	20736	28561	38416	50625	65536

En tant que nombre figuré, une puissance quatrième parfaite, est un nombre 4-hypercubique.

Propriétés

Chiffre des unités

Le chiffre des unités d'une puissance quatrième parfaite (en système décimal) ne peut être que 0, 1, 5 ou 6.

Démonstration

Un entier naturel $n$ est congru modulo 10 à un entier $u\in [0;9]$, et $n^{4}$ est alors congru à $u^{4}$ modulo 10. Or les 10 première puissances quatrièmes indiquées ci-dessus : 0, 1, 16, 81, 256, 625, 1296, 2401, 4096, 6561 se terminent toutes par 0, 1, 5, ou 6, d'où le résultat.

Par ailleurs, hors le cas de 0⁴, toutes les puissances quatrièmes parfaites dont le chiffre des unités est 0, se terminent par la séquence 0000.

Toutes les puissances quatrièmes parfaites dont le chiffre des unités est 5, se terminent par la séquence 0625.

Démonstration

Si le chiffre des unités est 0, c'est que $n=10k$ et donc $n^{4}=10000k^{4}$ se termine par 0000.

Si le chiffre des unité est 5, $n=5+10k$, donc $n^{4}=625+5000k+15000k^{2}+20000k^{3}+10000k^{4}=625+10000(2k^{3}+k^{4})+1000\times 5(k(1+3k))$.

Or $k(1+3k)$ est toujours pair, donc $n^{4}$ est bien égal à 625 plus un multiple de 10000, ce que nous voulions prouver.

Décomposition d'un entier en somme de puissances quatrièmes

Le problème de Waring consiste à déterminer pour chaque exposant $k$, le plus petit entier $s$ tel que tout entier positif ou nul puisse s'écrire comme la somme de $s$ puissances k-ièmes d'entiers positifs ou nuls. Ce majorant est noté $g(k)$.

Au moment de formuler son problème, Waring conjecture que $g(k)\geqslant 19$, sans pouvoir prouver l'égalité. En 1859, il est démontré que $g(k)\leqslant 53$ en utilisant l'identité polynomiale de Liouville. Cet encadrement est descendu à $g(k)\leqslant 21$, puis en 1986, Balasubramanian et al. démontrent que $g(k)=19$.

Tout entier naturel est donc la somme d'au plus 19 puissances quatrièmes. Par ailleurs il est prouvé en 1939 par Davenport que tout entier supérieur à 13792 est la somme d'au plus 16 puissances quatrièmes.

Décomposition d'une puissance quatrième en somme de puissances quatrièmes

Le dernier théorème de Fermat affirme qu'une puissance quatrième non nulle ne peut pas être la somme de deux autres puissances quatrièmes non nulles (c'est le cas n = 4).

Euler a conjecturé qu'une puissance quatrième non nulle ne peut pas s’écrire comme somme de trois puissances quatrièmes non nulles, mais 200 ans plus tard, en 1986, cette conjecture est réfutée par Elkies avec le contre-exemple :

20615673⁴ = 18796760⁴ + 15365639⁴ + 2682440⁴.

Elkies a montré par ailleurs qu'il existe une infinité d'autres contre-exemples pour l'exposant 4 ; en voici quelques uns:

2813001⁴ = 2767624⁴ + 1390400⁴ + 673865⁴ (Allan MacLeod)

8707481⁴ = 8332208⁴ + 5507880⁴ + 1705575⁴ (D.J. Bernstein)

12197457⁴ = 11289040⁴ + 8282543⁴ + 5870000⁴ (D.J. Bernstein)

16003017⁴ = 14173720⁴ + 12552200⁴ + 4479031⁴ (D.J. Bernstein)

16430513⁴ = 16281009⁴ + 7028600⁴ + 3642840⁴ (D.J. Bernstein)

422481⁴ = 414560⁴ + 217519⁴ + 95800⁴ (Roger Frye, 1988)

638523249⁴ = 630662624⁴ + 275156240⁴ + 219076465⁴ (Allan MacLeod, 1998)

En analyse

La somme des inverses des puissances quatrièmes non nulles, ainsi que la somme alternée se calculent :$\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{4}}}=\zeta (4)={\frac {\pi ^{4}}{90}}$ et $\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n+1}}{n^{4}}}={\frac {7\pi ^{4}}{720}}$.

On a aussi le produit infini : $\prod _{n\geqslant 2}\left(1-{\frac {1}{n^{4}}}\right)={\frac {\sinh \pi }{4\pi }}$.

Références

• (en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Fourth power » (voir la liste des auteurs).

Voir aussi

Articles connexes

• Carré parfait
• Cube parfait
• Puissance cinquième parfaite
• Puissance parfaite
• Nombre 4-polytopique

Liens externes

• (en) Eric W. Weisstein, « Biquadratic Number », sur MathWorld