Série alternée

En mathématiques, et plus particulièrement en analyse, une série alternée est un cas particulier de série à termes réels, dont la forme particulière permet d'avoir des résultats de convergence notables. Une série à termes réels est dite alternée si ses termes sont de signes alternés, c'est-à-dire si elle est de la forme :

$\pm \sum _{n\geqslant 0}(-1)^{n}a_{n}$

où les $a_{n}$ sont des nombres réels positifs ou nuls.

Le principal critère de convergence concernant les séries alternées permet de montrer que certaines séries alternées non absolument convergentes sont convergentes, notamment la série harmonique alternée :

$1-1/2+1/3-1/4+1/5-1/6+\dots$

De tels exemples appartiennent à la famille des séries semi-convergentes. Dans ce cas, un théorème de Riemann assure que l'on peut toujours réordonner les termes de la série pour la faire converger vers n'importe quel réel, et même diverger.

Définitions

Suite alternée

Une suite de nombres réels $(u_{n})_{n\geqslant 0}$ est dite alternée si :

$\forall n\in \mathbb {N} \quad u_{n}=(-1)^{n}|u_{n}|$

ou si

$\forall n\in \mathbb {N} \quad u_{n}=(-1)^{n+1}|u_{n}|$.

Lorsque la suite est à valeurs non nulles, cette définition équivaut à :

$\forall n\in \mathbb {N} \quad u_{n}u_{n+1}<0$.

Série alternée

Une série réelle $\textstyle \sum u_{n}$ est dite alternée si la suite $(u_{n})$ l'est.

Plus directement : une série alternée est une série de réels $\textstyle \sum u_{n}$ telle que $(-1)^{n}u_{n}$ soit de signe constant, c'est-à-dire telle que tous les termes d'indice pair sont positifs ou nuls et les termes d'indice impair négatifs ou nuls , ou l'inverse.

Exemples

• Un exemple classique de série alternée est la série harmonique alternée

$\sum _{n\geqslant 0}{\frac {(-1)^{n}}{n+1}}$

qui converge vers $\ln 2$. On peut noter que cette série ne converge pas absolument car la série harmonique diverge.

• Un exemple du même type est

$\sum _{n\geqslant 0}{\frac {(-1)^{n}}{2n+1}}$

qui converge vers ${\frac {\pi }{4}}$ (formule de Leibniz).

Critère de convergence des séries alternées

Il existe un critère de convergence spécifique aux séries alternées. Ce critère porte parfois le nom de règle de Leibniz, le mathématicien et philosophe Gottfried Wilhelm Leibniz en ayant fourni la première démonstration.

Ce critère s'accompagne d'un résultat de majoration pour la valeur absolue du reste de la série, qui permet par exemple d'effectuer l'étude du signe de la somme de la série, ou d'écrire un algorithme de calcul approché de cette somme.

Énoncé

Soit $\textstyle \sum u_{n}$ une série alternée telle que :

• $\forall n\in \mathbb {N} ,\quad \left|u_{n+1}\right|\leqslant \left|u_{n}\right|$ (les termes généraux décroissent en valeur absolue) ;
• $u_{n}\to 0$ (le terme général tend vers 0),

alors la série $\textstyle \sum u_{n}$ est convergente et la somme de cette série est toujours encadrée par les sommes partielles successives.

De plus, sous ces hypothèses, chaque reste $R_{n}$ défini par

$R_{n}=\sum _{k=n+1}^{+\infty }u_{k}$

est tel que :

• sa valeur absolue majorée par celle de son premier terme : $|R_{n}|\leqslant |u_{n+1}|$ ;
• est du signe de son premier terme : $R_{n}u_{n+1}\geqslant 0$.

Remarque. Si la suite $\left(\left|u_{n}\right|\right)$ n'est décroissante qu'à partir d'un certain rang $n_{0}$, on conserve la convergence de la série, mais les autres conclusions du théorème ne restent valables que pour $n\geqslant n_{0}$.

Démonstration

C'est un cas particulier du test de Dirichlet, lequel se démontre à l'aide de la transformation d'Abel. Donnons-en cependant une démonstration spécifique.

Pour prouver le critère, on note $S_{n}$ la somme partielle d'ordre $n$ de la série. Les hypothèses faites sur les termes généraux donnent successivement, si par exemple les $(-1)^{n}u_{n}$ sont tous positifs :

$0\leqslant S_{0}\qquad 0\leqslant S_{1}\leqslant S_{0}\qquad 0\leqslant S_{1}\leqslant S_{2}\leqslant S_{0}$

et, plus généralement

$0\leqslant S_{1}\leqslant S_{3}\leqslant \dots \leqslant S_{2n+1}\leqslant S_{2n+3}\leqslant \dots \leqslant S_{2n+2}\leqslant S_{2n}\leqslant \dots \leqslant S_{2}\leqslant S_{0}$.

Ainsi, les suites $(S_{2n})$ et $(S_{2n+1})$ sont l'une décroissante, l'autre croissante. Leur différence tend, par hypothèse, vers 0 (les hypothèses sur la série sont en fait équivalentes à l'adjacence de $(S_{2n})$ et $(S_{2n+1})$). Le théorème des suites adjacentes s'applique et montre que ces deux suites convergent vers une limite commune, autrement dit : que la suite $(S_{n})$ des sommes partielles de la série converge.

Notons $S$ sa limite. D'après les inégalités précédentes, $R_{n}=S-S_{n}$ est du signe de $(-1)^{n+1}$ donc de $u_{n+1}$, et $|S-S_{n}|\leqslant |S_{n+1}-S_{n}|=|u_{n+1}|$.

Exemples

• La série harmonique alternée est la série de terme général$u_{n}={\frac {(-1)^{n}}{n}}.$Elle vérifie toutes les hypothèses du théorème, ce qui montre la convergence de la série, alors qu'elle n'est pas absolument convergente.
• Plus généralement, les séries de Riemann alternées sont l'analogue des séries de Riemann, mais avec une alternance en signe. Elles ont un terme général de la forme$u_{n}={\frac {(-1)^{n}}{n^{\alpha }}}$avec un exposant réel $\alpha$.
  • si $\alpha \leqslant 0$, le terme général ne tend pas vers 0 et la série diverge grossièrement
  • si $\alpha >0$, les hypothèses du critère sont vérifiées, et la série converge.
    Ainsi la série de terme général $\textstyle {\frac {(-1)^{n}}{\sqrt {n}}}$ est convergente, bien qu'elle ne soit pas absolument convergente.
• Un exemple de série alternée à laquelle le critère ne s'applique pas car la suite des valeurs absolues du terme général n'est pas décroissante : la série dont le terme général vaut $\textstyle {\frac {1+3(-1)^{n}}{4n}}$, c'est-à-dire 1/n pour $n$ pair et –1/2n pour $n$ impair. Elle n'est d'ailleurs pas convergente, bien que son terme général tende vers 0.

Applications du critère

Détermination de la nature d'une série

Une des hypothèses de la règle de Leibniz, la décroissance, peut être de vérification délicate. Pour de nombreux exemples concrets, il est rare d'appliquer la règle de Leibniz directement. Il arrive souvent qu'elle serve à traiter les premiers termes du développement asymptotique du terme général d'une série numérique.

Par exemple, considérons la série de terme général ${\frac {(-1)^{n}}{n-n^{1/2}}}$ (pour $n\geqslant 2$). Converge-t-elle ?

${\frac {(-1)^{n}}{n-n^{1/2}}}={\frac {(-1)^{n}}{n}}+O\left({\frac {1}{n^{3/2}}}\right).$

Le critère de Leibniz s'applique au premier terme. Le second terme est le terme général d'une série absolument convergente. Donc, la série converge. Notons qu'un simple équivalent n'aurait pas suffi : on a besoin d'une estimation précise du reste, parfois de pousser le développement asymptotique à plusieurs ordres. Sur cet exemple, cependant, une simple étude de variations de la fonction $x\mapsto x-{\sqrt {x}}$ aurait permis d'appliquer directement le critère.

Algorithme de calcul approché de la somme

Si la règle de Leibniz s'applique, le fait de disposer d'une majoration du reste permet de produire un algorithme de calcul approché de la somme de la série. En effet, dès lors que le majorant du reste $\left|u_{n+1}\right|$ est lui-même majoré par ε, on peut affirmer que la suite des sommes partielles est une valeur approchée de la somme de la série à ε près.

L'algorithme pourra donc s'écrire

• Valeur d'entrée : la précision souhaitée $\varepsilon$
• Initialisations $S\leftarrow u_{0},n\leftarrow 0$
• Tant que $\left|u_{n+1}\right|\geqslant \varepsilon$, ajouter un terme : $S\leftarrow S+u_{n+1}$ et ajouter 1 à n.
• Valeur de sortie S

Sur des exemples tels que la série harmonique alternée $\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{n}}$, la convergence est fort lente puisque la majoration du reste conduit à calculer plus de $1/\varepsilon$ termes pour atteindre une précision de $\varepsilon$.

Exemples de calculs de somme de séries alternées

Séries géométriques alternées

• $1-{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{4}}-{\frac {1}{8}}+\cdots ={\frac {2}{3}}$
• $\sum _{n=0}^{+\infty }{\frac {(-1)^{n}}{a^{n}}}={\frac {a}{a+1}}$ pour $a>1$ (pour $a=1$, voir ci-dessous)
• $\sum _{n=0}^{+\infty }{\frac {n(-1)^{n-1}}{a^{n}}}={\frac {a}{(a+1)^{2}}}$ pour $a>1$ (pour $a=1$, voir ci-dessous)

Séries de Riemann alternées

• $\sum _{n=0}^{+\infty }{\frac {(-1)^{n}}{n+1}}=\ln(2)$ (série harmonique alternée ou série semi-harmonique)
• $\sum _{n=0}^{+\infty }{\frac {(-1)^{n}}{(n+1)^{2}}}={\frac {\pi ^{2}}{12}}$
• $\sum _{n=0}^{+\infty }{\frac {(-1)^{n}}{(n+1)^{4}}}={\frac {7\pi ^{4}}{720}}$
• $\sum _{n=0}^{+\infty }{\frac {(-1)^{n}}{(n+1)^{\alpha }}}=\left(1-{\frac {1}{2^{\alpha -1}}}\right)\zeta (\alpha )$ pour $\alpha >1$ où $\zeta$ est la fonction zêta de Riemann (fonction êta de Dirichlet)

Séries bêta de Dirichlet

• $\sum _{n=0}^{+\infty }{\frac {(-1)^{n}}{2n+1}}={\frac {\pi }{4}}$ (formule de Leibniz pour π )
• $\sum _{n=0}^{+\infty }{\frac {(-1)^{n}}{(2n+1)^{2}}}=K$, constante de Catalan
• $\sum _{n=0}^{+\infty }{\frac {(-1)^{n}}{(2n+1)^{3}}}={\frac {\pi ^{3}}{32}}$
• $\sum _{n=0}^{+\infty }{\frac {(-1)^{n}}{(2n+1)^{2k+1}}}={\frac {E_{k}}{2(2k)!}}\left({\frac {\pi }{2}}\right)^{2k+1}$ où les $E_{k}$ sont des nombres d'Euler
• $\sum _{n=0}^{+\infty }{\frac {(-1)^{n}}{(2n+1)^{\alpha }}}=\beta (\alpha )$ pour $\alpha >1$ (fonction bêta de Dirichlet)

Série alternée des inverses des nombres premiers

• $\sum _{n=1}^{+\infty }{\frac {(-1)^{n}}{p_{n}}}\approx 0,2696$ ;  A078437

Séries divergentes

Divers procédés permettent d'attribuer une valeur à la somme de certaines séries alternées divergentes :

• $\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}={\frac {1}{2}}$ (série de Grandi)
• $\sum _{n=0}^{\infty }n(-1)^{n-1}={\frac {1}{4}}$ (série alternée des entiers)
• $\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}n!=\int _{0}^{\infty }{\frac {\operatorname {e} ^{-x}}{1+x}}\,{\rm {d}}x=-{\rm {e}}\cdot \mathrm {Ei} (-1)\approx 0{,}596$ (série alternée des factorielles)

Notes et références

• Cet article est partiellement ou en totalité issu de l'article intitulé « Critère de convergence des séries alternées » (voir la liste des auteurs).

Articles connexes

• Test de condensation de Cauchy
• Test de convergence