Série de Riemann

En mathématiques, et plus précisément en analyse, une série de Riemann est une série de nombres réels ou de nombres complexes de la forme :

$\sum _{n\geqslant 1}{\frac {1}{n^{s}}}=1+{\frac {1}{2^{s}}}+{\frac {1}{3^{s}}}+\cdots +{\frac {1}{n^{s}}}+\cdots$

où $s$ est un nombre réel ou un nombre complexe. Elles sont nommées en l'honneur du mathématicien Bernhard Riemann. Elles sont souvent utilisées comme séries de référence : la nature d'une série est souvent déterminée en la comparant à une série de Riemann et en utilisant les théorèmes de comparaison.

La série harmonique en est un cas particulier, pour $s=1$ :

$\sum _{n\geqslant 1}{\frac {1}{n}}=1+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}+\cdots +{\frac {1}{n}}+\cdots$

Convergence et fonction zêta de Riemann

On démontre, par comparaison avec l'intégrale généralisée $\textstyle \int _{1}^{+\infty }{\frac {1}{t^{s}}}\,\mathrm {d} t$, que la série ci-dessus converge si et seulement si $s>1$ (dans le cas réel), $\operatorname {Re} s>1$ (dans le cas complexe, la convergence étant alors absolue).

Cela définit alors une fonction holomorphe sur le demi-plan des nombres complexes de partie réelle strictement supérieure à 1 appelée fonction zêta de Riemann, notée $\zeta$ et donnée par

$\zeta (s)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{s}}},\qquad \operatorname {Re} s>1$.

Valeurs particulières

On sait calculer explicitement la somme de la série de Riemann pour les entiers pairs supérieurs ou égaux à 2. En notant $p$ un entier naturel non nul on a :

$\zeta (2p)=\sum _{n=1}^{+\infty }{1 \over n^{2p}}=r_{p}\,\pi ^{2p}$

où $r_{p}$ est un nombre rationnel s'exprimant à l'aide d'un nombre de Bernoulli.

Par exemple :

• $\zeta (2)=\sum _{n=1}^{+\infty }{\frac {1}{n^{2}}}={\frac {\pi ^{2}}{6}}$ (problème de Bâle) ;
• $\zeta (4)=\sum _{n=1}^{+\infty }{\frac {1}{n^{4}}}={\frac {\pi ^{4}}{90}}$ ;
• $\zeta (6)=\sum _{n=1}^{+\infty }{\frac {1}{n^{6}}}={\frac {\pi ^{6}}{945}}$.

En revanche, on ne connait pas de formule explicite concernant les valeurs prises pour $s$ entier impair. En 1978, Roger Apéry démontre que $\zeta (3)$ (constante d'Apéry) est un nombre irrationnel.

Généralisations

• Les séries de Bertrand de la forme $\sum _{n}{\frac {1}{n^{\alpha }(\ln n)^{\beta }}}$ ;
• les séries de Dirichlet de la forme $\sum {\frac {a_{n}}{n^{\alpha }}}$ ;
• Les séries de Riemann multiples, de la forme $\sum _{n_{1},\cdots ,n_{k}>0}{\frac {1}{(n_{1}^{2}+n_{2}^{2}+\ldots +n_{k}^{2})^{\alpha /2}}}$.

Voir aussi

• Histoire de la fonction zêta de Riemann
• Test de condensation de Cauchy
• Fonction êta de Dirichlet donnée par la série alternée $\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n-1}}{n^{\alpha }}}$