Formule de Leibniz pour π

En mathématiques, la formule de Leibniz pour π, nommée d'après Gottfried Wilhelm Leibniz, établit l'égalité avec une série alternée :$${\frac {\pi }{4}}=1-{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{5}}-{\frac {1}{7}}+{\frac {1}{9}}-\cdots =\sum _{k=0}^{+\infty }{\frac {(-1)^{k}}{2k+1}},$$

On l'appelle parfois la série de Madhava-Leibniz,car elle a été découverte pour la première fois par le mathématicien indien Madhava de Sangamagrama ou ses disciples aux XIV^e et XV^e siècles (voir série de Madhava), puis redécouverte indépendamment par James Gregory en 1671 et Leibniz en 1673 . La série de Taylor de la fonction arc tangente, souvent appelée série de Gregory, est $$\arctan x=x-{\frac {x^{3}}{3}}+{\frac {x^{5}}{5}}-{\frac {x^{7}}{7}}+\cdots =\sum _{k=0}^{+\infty }{\frac {(-1)^{k}x^{2k+1}}{2k+1}}.$$

La formule de Leibniz est le cas particulier arctan 1 = π/4.

Il s'agit également de la série L de Dirichlet du caractère de Dirichlet non principal du module 4 évalué à s = 1, et donc la valeur β(1) de la fonction bêta de Dirichlet.

Preuves

Preuve 1

On utilise l'égalité : $${\begin{aligned}{\frac {\pi }{4}}&=\arctan 1\\&=\int _{0}^{1}{\frac {1}{1+x^{2}}}\,\mathrm {d} x\\[8pt]&=\int _{0}^{1}{\frac {x^{2}+1-x^{2}}{1+x^{2}}}\,\mathrm {d} x=\int _{0}^{1}\left(1-{\frac {x^{2}}{1+x^{2}}}\right)\,\mathrm {d} x\\[8pt]&=\int _{0}^{1}\left(1-{\frac {x^{2}(1+x^{2})-x^{4}}{1+x^{2}}}\right)\,\mathrm {d} x=\int _{0}^{1}\left(1-x^{2}+{\frac {x^{4}}{1+x^{2}}}\right)\,\mathrm {d} x\\[8pt]&=\int _{0}^{1}\left(\sum _{k=0}^{n}(-1)^{k}x^{2k}+{\frac {(-1)^{n+1}\,x^{2n+2}}{1+x^{2}}}\right)\,\mathrm {d} x\\[8pt]&=\left(\sum _{k=0}^{n}{\frac {(-1)^{k}}{2k+1}}\right)+(-1)^{n+1}\left(\int _{0}^{1}{\frac {x^{2n+2}}{1+x^{2}}}\,\mathrm {d} x\right)\end{aligned}}$$

En ne considérant que l'intégrale du dernier terme, on a : $$0\leq \int _{0}^{1}{\frac {x^{2n+2}}{1+x^{2}}}\,\mathrm {d} x\leq \int _{0}^{1}x^{2n+2}\,\mathrm {d} x={\frac {1}{2n+3}}\ {\underset {n\rightarrow \infty }{\longrightarrow }}\ 0.$$

Par conséquent, d'après le théorème des gendarmes, lorsque n → ∞, il reste la série de Leibniz : $${\frac {\pi }{4}}=\sum _{k=0}^{+\infty }{\frac {(-1)^{k}}{2k+1}}$$

Preuve 2

On considère la suite d'intégrales : $$I_{n}=\int _{0}^{\frac {\pi }{4}}\tan ^{n}\theta \,\mathrm {d} \theta$$

Alors, pour tout entier strictement positif : $${\begin{aligned}I_{4n}&=\int _{0}^{\frac {\pi }{4}}\tan ^{4n}\theta \,\mathrm {d} \theta \\&=\int _{0}^{\frac {\pi }{4}}\tan ^{4n-2}\theta \tan ^{2}t\,\mathrm {d} \theta \\&=\int _{0}^{\frac {\pi }{4}}\tan ^{4n-2}\theta (\sec ^{2}\theta -1)\,\mathrm {d} \theta \\&=\int _{0}^{\frac {\pi }{4}}\tan ^{4n-2}\theta \sec ^{2}\theta \,\mathrm {d} \theta -\int _{0}^{\frac {\pi }{4}}\tan ^{4n-2}\theta \,\mathrm {d} \theta \\&{\overset {t=\tan \theta }{=}}\int _{0}^{1}t^{4n-2}\,\mathrm {d} t-I_{4n-2}\\&={\frac {1}{4n-1}}-I_{4n-2}\\&={\frac {1}{4n-1}}-{\frac {1}{4n-3}}+I_{4n-4}\end{aligned}}$$

En appliquant par récurrence la formule, on obtient finalement : $${\begin{aligned}I_{4n}&=\sum _{k=2}^{n}\left(I_{4k}-I_{4k-4}\right)+I_{4}\\&=\sum _{k=2}^{n}\left({\frac {1}{4k-1}}-{\frac {1}{4k-3}}\right)+{\frac {1}{3}}-\int _{0}^{\frac {\pi }{4}}\tan ^{2}\theta \,\mathrm {d} \theta \\&=\sum _{k=2}^{n}\left({\frac {1}{4k-1}}-{\frac {1}{4k-3}}\right)+{\frac {1}{3}}-[\tan \theta -\theta ]_{0}^{\frac {\pi }{4}}\\&=\sum _{k=2}^{n}\left({\frac {1}{4k-1}}-{\frac {1}{4k-3}}\right)+{\frac {1}{3}}-1+{\frac {\pi }{4}}\\&=\sum _{k=1}^{n}\left({\frac {1}{4k-1}}-{\frac {1}{4k-3}}\right)+{\frac {\pi }{4}}\end{aligned}}$$ Or, par majoration, on a $$I_{n}\ {\underset {n\rightarrow \infty }{\longrightarrow }}\ 0.$$ Ce qui permet de conclure.

Preuve 3

On pose$$f(z)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{2n+1}}z^{2n+1}.$$

Lorsque |z| < 1, la série $\sum _{k=0}^{\infty }(-1)^{k}z^{2k}$ converge uniformément, donc on en déduit$$\arctan z=\int _{0}^{z}{\frac {1}{1+t^{2}}}\mathrm {d} t=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{2n+1}}z^{2n+1}=f(z)\quad {\text{ pour }}|z|<1.$$

Par conséquent, si f(z) tend vers f(1) de sorte qu'elle soit continue et converge uniformément, la preuve est complète, où la série $\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{2n+1}}$ converge par le test de Leibniz, et f(z) approche également f(1) à l'intérieur de l'angle de Stolz, donc d'après le théorème d'Abel, l'égalité est vraie.

Convergence

La formule de Leibniz (□) comparées à d'autres formules de calcul pour π, comme la formule de Viète (×), le produit de Wallis (*)

La formule de Leibniz converge extrêmement lentement, présentant même une convergence sous-linéaire. Calculer π à 10 décimales exactes par sommation directe de la série nécessite précisément cinq milliards de termes, car 4/2k + 1 < 10⁻¹⁰ pour k > 2 × 10¹⁰ − 1/2 (on peut utiliser le borne de Calabrese). Pour avoir 4 décimales correctes (erreur de 0,00005) il faut calculer 5000 termes. Il existe de meilleurs bornes que celles de Calabrese ou Johnsonbaugh.

Cependant, la formule de Leibniz peut être utilisée pour calculer π avec une grande précision (plusieurs centaines de décimales) grâce à diverses techniques d'accélération de la convergence. Par exemple, la transformation de Shanks, la transformation d'Euler ou la transformation de Van Wijngaarden, qui sont des méthodes générales pour les séries alternées, s'appliquent efficacement aux sommes partielles de la série de Leibniz. De plus, la combinaison des termes deux à deux donne une série non alternée à la convergence accélérée : $${\begin{aligned}{\frac {\pi }{4}}&=\sum _{n=0}^{\infty }\left({\frac {1}{4n+1}}-{\frac {1}{4n+3}}\right)\\[6px]&=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {2}{(4n+1)(4n+3)}}&&={\frac {2}{1\cdot 3}}+{\frac {2}{5\cdot 7}}+{\frac {2}{9\cdot 11}}+{\frac {2}{13\cdot 15}}\cdots \\[6px]&=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {2}{(4n+2)^{2}-1}}&&={\frac {2}{2^{2}-1}}+{\frac {2}{6^{2}-1}}+{\frac {2}{10^{2}-1}}+{\frac {2}{14^{2}-1}}\cdots \end{aligned}}$$

Cette série peut être calculée avec une grande précision à partir d'un petit nombre de termes grâce à l'extrapolation de Richardson ou à la formule d'Euler-Maclaurin. Elle peut également être transformée en une intégrale au moyen de la formule d'Abel-Plana et évaluée par des techniques d' intégration numérique.

Comportement inhabituel

Si la série est tronquée au bon moment, le développement décimal de l'approximation coïncidera avec celui de π pour un nombre beaucoup plus important de chiffres, à l'exception de chiffres isolés ou de groupes de chiffres. Par exemple, en prenant cinq millions de termes, on obtient : $$3,14159\,2{\underline {4}}535\,89793\,23846\,{\underline {4}}6433\,83279\,502{\underline {7}}8\,41971\,69399\,3{\underline {873}}0\,58\dots$$

où seuls les chiffres soulignés sont erronés. Les erreurs peuvent en fait être prédites ; elles sont générées par les nombres d'Euler E_n selon la formule asymptotique $${\frac {\pi }{2}}-2\sum _{k=1}^{\frac {N}{2}}{\frac {(-1)^{k-1}}{2k-1}}\sim \sum _{m=0}^{\infty }{\frac {E_{2m}}{N^{2m+1}}}$$

où N est un entier divisible par 4. Si N est une puissance de dix, chaque terme de la somme de droite devient une fraction décimale finie. Cette formule est un cas particulier de la formule de sommation d'Euler-Boole pour les séries alternées, fournissant un autre exemple de technique d'accélération de la convergence applicable aux séries de Leibniz. En 1992, Jonathan Borwein et Mark Limber ont utilisé les mille premiers nombres d'Euler pour calculer π à 5263 décimales près à l'aide de la formule de Leibniz.

Produit d'Euler

La formule de Leibniz peut être interprétée comme une série de Dirichlet en utilisant le caractère de Dirichlet non principal unique modulo 4. Comme pour les autres séries de Dirichlet, cela permet de convertir la somme infinie en un produit infini dont chaque terme correspond à un nombre premier. Un tel produit est appelé produit eulérien. Il est :

$${\begin{aligned}{\frac {\pi }{4}}&=\left(\prod _{p\,\equiv \,1\ ({\text{mod}}\ 4)}{\frac {p}{p-1}}\right)\left(\prod _{p\,\equiv \,3\ ({\text{mod}}\ 4)}{\frac {p}{p+1}}\right)\\[7mu]&={\frac {3}{4}}\cdot {\frac {5}{4}}\cdot {\frac {7}{8}}\cdot {\frac {11}{12}}\cdot {\frac {13}{12}}\cdot {\frac {17}{16}}\cdot {\frac {19}{20}}\cdot {\frac {23}{24}}\cdot {\frac {29}{28}}\cdots \end{aligned}}$$

Dans ce produit, chaque terme est un rapport particulier, dans lequel chaque numérateur est un nombre premier impair et chaque dénominateur est le multiple de 4 le plus proche du numérateur. Le produit est conditionnellement convergent ; ses termes doivent être pris par ordre croissant p.

Voir aussi

• Liste de formules impliquant π
• Formule de Viète

Références

(en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Leibniz formula for π » (voir la liste des auteurs).