Arc tangente

En mathématiques, l’arc tangente d'un nombre réel est la valeur d'un angle orienté dont la tangente vaut ce nombre.

Fonction arc tangente

Représentation graphique de la fonction arc tangente.

Notation	$\arctan(x)$
Réciproque	$\tan(x)$ sur $\left]-{\frac {\pi }{2}},{\frac {\pi }{2}}\right[$
Dérivée	${\frac {1}{1+x^{2}}}$
Primitives	$x\,\arctan x-{\frac {1}{2}}\ln \left(1+x^{2}\right)+C$

Principales caractéristiques

Ensemble de définition	$\mathbb {R}$
Ensemble image	$\left]-{\frac {\pi }{2}},{\frac {\pi }{2}}\right[$
Parité	impaire

Valeurs particulières

Valeur en zéro	0
Limite en +∞	${\frac {\pi }{2}}$
Limite en −∞	$-{\frac {\pi }{2}}$

Particularités

Asymptotes	$y={\frac {\pi }{2}}$ en $+\infty$ $y=-{\frac {\pi }{2}}$ en $-\infty$

La fonction qui à tout nombre réel associe la valeur de son arc tangente en radians est la réciproque de la restriction de la fonction trigonométrique tangente à l'intervalle $\left]-{\frac {\pi }{2}},{\frac {\pi }{2}}\right[$. Elle est notée arctan ou Arctan , mais aussi Atan ou arctg en français et atan ou tan⁻¹ en anglais (attention de bien écrire ${\frac {1}{\tan x}}=(\tan x)^{-1}$ et non $\tan ^{-1}(x)$).

Pour tout réel x :

$y=\arctan x\iff \tan y=x{\text{ et }}y\in \left]-{\frac {\pi }{2}},{\frac {\pi }{2}}\right[$.

Dans un repère cartésien orthonormé du plan, la courbe représentative de la fonction arc tangente est obtenue à partir de la courbe représentative de la restriction de la fonction tangente à l'intervalle $\left]-{\frac {\pi }{2}},{\frac {\pi }{2}}\right[$ par une réflexion d'axe la droite d'équation y = x (puisqu'elle en est la fonction réciproque).

Cette fonction réelle se prolonge au plan complexe en une fonction holomorphe sur $\mathbb {C} \setminus \left(]-\infty ,-1]{\rm {i}}\cup [1,+\infty [{\rm {i}}\right)$.

Parité

La fonction arctan est impaire, c'est-à-dire que (pour tout réel x) $\arctan(-x)=-\arctan x$.

Dérivée

La fonction arctan est dérivable (voir à dérivée d'une fonction réciproque) et vérifie : $\arctan '(x)={\frac {1}{1+x^{2}}}$.

Développement en série de Taylor

Le développement en série de Taylor en 0 de la fonction arc tangente est : $\sum _{k=0}^{\infty }(-1)^{k}{\frac {x^{2k+1}}{2k+1}}=x-{\frac {1}{3}}x^{3}+{\frac {1}{5}}x^{5}-{\frac {1}{7}}x^{7}+\cdots$ .

Bien que fonction arc tangente soit définie pour tout réel, cette série entière converge vers arctan uniquement pour $|x|\leqslant 1$. On peut donc énoncer :

$\forall x\in [-1,1]\quad \arctan x=\sum _{k=0}^{\infty }(-1)^{k}{\frac {x^{2k+1}}{2k+1}}=x-{\frac {1}{3}}x^{3}+{\frac {1}{5}}x^{5}-{\frac {1}{7}}x^{7}+\cdots$.

Démonstration

La série entière

$\sum _{k=0}^{\infty }(-1)^{k}{\frac {x^{2k+1}}{2k+1}}$

est nulle en 0, son rayon de convergence vaut 1, et sa dérivée (sur l'intervalle $]-1,1[$est égale à la série géométrique

$\sum _{k=0}^{\infty }(-x^{2})^{k}={\frac {1}{1+x^{2}}}=\arctan '(x)$.

Elle coïncide donc sur cet intervalle avec la fonction arctan. De plus, d'après la démonstration du test de Dirichlet (par sommation par parties), cette série entière converge uniformément sur l'intervalle fermé $[-1,1]$.

La fonction arctan peut être utilisée pour calculer des approximations de π ; la formule la plus simple, appelée formule de Leibniz, est le cas x = 1 du développement en série ci-dessus :

${\frac {\pi }{4}}=1-{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{5}}-{\frac {1}{7}}+\ldots$.

Équation fonctionnelle

On peut déduire arctan(1/x) de arctan x et inversement, par les équations fonctionnelles suivantes :

$\forall x\in \mathbb {R} _{+}^{*}\quad \arctan {\frac {1}{x}}+\arctan x={\frac {\pi }{2}}$ ;

$\forall x\in \mathbb {R} _{-}^{*}\quad \arctan {\frac {1}{x}}+\arctan x=-{\frac {\pi }{2}}$.

Démonstrations

Démontrons la première équation (la seconde s'en déduit par imparité, ou se démontre de même).

• Une première méthode est de vérifier que la dérivée est nulle.

On a en effet :

$\arctan 'x={\frac {1}{1+x^{2}}}$

et

$\left(\arctan {\frac {1}{x}}\right)'={\frac {-1}{x^{2}}}~{\frac {1}{1+{\frac {1}{x^{2}}}}}={\frac {-1}{1+x^{2}}}$

donc

$\left(\arctan {\frac {1}{x}}+\arctan x\right)'=0$.

On en déduit que arctan(1/x) + arctan x est constante sur ]0, +∞[, et l'on trouve facilement la valeur de cette constante en calculant par exemple la valeur prise en x = 1.

• Une deuxième méthode est de remarquer que pour tout x > 0, si θ désigne l'arctangente de x alors

${\frac {1}{x}}={\frac {1}{\tan \theta }}=\tan \left({\frac {\pi }{2}}-\theta \right)\qquad {\text{et}}\qquad 0<{\frac {\pi }{2}}-\theta <{\frac {\pi }{2}},\quad {\text{d'où}}$

$\arctan {\frac {1}{x}}={\frac {\pi }{2}}-\theta ={\frac {\pi }{2}}-\arctan x$.

• Une troisième méthode est de déduire cette formule de la formule remarquable ci-dessous en faisant tendre y vers 1/x par valeurs inférieures.

Fonction réciproque

Par définition, la fonction arc tangente est la fonction réciproque de la restriction de la fonction tangente à l'intervalle $\left]-{\frac {\pi }{2}},{\frac {\pi }{2}}\right[$ : $\forall x\in \mathbb {R} \quad y=\arctan x\iff \tan y=x{\text{ et }}y\in \left]-{\frac {\pi }{2}},{\frac {\pi }{2}}\right[$.

Ainsi, pour tout réel x, tan(arctan x) = x. Mais l'équation arctan(tan y) = y n'est vérifiée que pour y compris entre $-{\frac {\pi }{2}}$ et ${\frac {\pi }{2}}$.

Intégration

Primitive

La primitive de la fonction arc tangente qui s'annule en 0 s'obtient grâce à une intégration par parties :

$\int _{0}^{x}\arctan t\;\mathrm {d} t=x\,\arctan x-{\frac {1}{2}}\ln \left(1+x^{2}\right)$.

Utilisation de la fonction arc tangente

La fonction arc tangente joue un rôle important dans l'intégration des expressions de la forme

${\frac {1}{ax^{2}+bx+c}}$

Si le discriminant D = b² – 4ac est positif ou nul, l'intégration est possible en revenant à une fraction partielle. Si le discriminant est strictement négatif, on peut faire la substitution par

$u={\frac {2ax+b}{\sqrt {|D|}}}$

qui donne pour l'expression à intégrer

${\frac {4a}{|D|}}~{\frac {1}{1+u^{2}}}.$

L'intégrale est alors

${\frac {2}{\sqrt {|D|}}}\arctan {\frac {2ax+b}{\sqrt {|D|}}}$.

Formule remarquable

Si xy ≠ 1, alors :

$\arctan x+\arctan y=\arctan {\frac {x+y}{1-xy}}+k\pi$

où

$k={\begin{cases}0&{\text{si }}xy<1,\\1&{\text{si }}xy>1{\text{ avec }}x{\text{ (et }}y{\text{) }}>0,\\-1&{\text{si }}xy>1{\text{ avec }}x{\text{ (et }}y{\text{) }}<0.\end{cases}}$

D'où, si $|x|\neq 1$, alors :

$2\arctan x=\arctan {\frac {2x}{1-x^{2}}}+k\pi$

où

$k={\begin{cases}0&{\text{si }}|x|<1,\\1&{\text{si }}x>1,\\-1&{\text{si }}x<-1.\end{cases}}$

De même, pour $y=1$, on peut trouver une formule impliquant l'involution $x\mapsto {\frac {1-x}{1+x}}$:

$\arctan x+\arctan \left({\frac {1-x}{1+x}}\right)={\frac {\pi }{4}}-k\pi$

avec

$k={\begin{cases}0&{\text{si }}x>-1,\\1&{\text{si }}x<-1.\end{cases}}$

Quatre fonctions sigmoïdes (formes canoniques mises à l'échelle par rapport aux valeurs asymptotiques et à la pente à l'origine). La courbe en bleu représente la fonction arc tangente.

Autres utilisations

La forme en S de cette fonction fait qu'elle fait partie des fonctions dites sigmoïdes^{[citation nécessaire]}. Par rapport à la fonction logistique de Verhulst et la fonction erf, elle est celle qui est la plus lisse, c'est-à-dire celle qui est la plus longue à rejoindre ses asymptotes.

Extension aux nombres complexes

Comme, pour $u$ complexe différent de $\pi /2+k\pi ,k\in \mathbb {Z}$, la fonction tangente complexe vérifie $\tan u={\frac {{\rm {e}}^{2{\rm {iu}}}-1}{{\rm {e}}^{2{\rm {i}}u}+1}}$, la relation $\tan u=z$ équivaut à ${\rm {e}}^{2{\rm {i}}u}={\frac {1+{\rm {i}}z}{1-{\rm {i}}z}}$. On définit donc, pour $z$ complexe différent de ${\rm {i{\text{ et }}-{\rm {i}}}}$ la fonction complexe multivaluée arc tangente par :

${\rm {arctan}}\ z={\frac {1}{2{\rm {i}}}}{\ln }{\frac {1+{\rm {i}}z}{1-{\rm {i}}z}}$,

fonction définie à $k\pi$ près, la fonction logarithme népérien complexe étant définie à $2{\rm {i}}k\pi$ près.

La détermination principale de la fonction arc tangente complexe est alors définie pour $z$ dans $\mathbb {C}$ privé des deux demi-droites ]–∞, –1]i et [1, +∞[i de l'axe imaginaire pur par

${\rm {Arctan}}\ z={\frac {1}{2{\rm {i}}}}{\rm {L}}{\frac {1+{\rm {i}}z}{1-{\rm {i}}z}}$,

où ${\rm {L}}$ est la détermination principale du logarithme népérien.

Cette définition concorde avec celle de la fonction $\arctan$ définie sur les réels.

Démonstration

Pour $x$ réel, la définition ci-dessus donne ${\rm {{Arctan}\ x={\frac {1}{2{\rm {i}}}}{\rm {L}}{\frac {1+{\rm {i}}x}{1-{\rm {i}}x}}={\frac {1}{2{\rm {i}}}}{\rm {L}}{\frac {(1+{\rm {i}}x)^{2}}{1+x^{2}}}={\frac {1}{\rm {i}}}{\rm {L}}{\frac {1+{\rm {i}}x}{\sqrt {1+x^{2}}}}={\frac {1}{\rm {i}}}{\rm {i}}{\text{ Arg}}(1+{\rm {i}}x)={\text{ Arg}}(1+{\rm {i}}x)}}$ qui est bien égal à $\arctan x$.

Comme la fonction tangente complexe définit une bijection de $\left]-{\frac {\pi }{2}},{\frac {\pi }{2}}\right[+{\rm {i}}~\mathbb {R}$ dans $\mathbb {C}$ privé des deux demi-droites ]–∞, –1]i et [1, +∞[i de l'axe imaginaire pur, prolongeant la fonction tangente réelle, la détermination principale de la fonction arc tangente complexe vérifie  :$\forall z\in \mathbb {C} \setminus {\big (}{\rm {i}}\left(]-\infty ,-1]\cup [1,+\infty [\right){\big )}\quad u={\text{Arctan}}z\iff \tan u=z{\text{ et }}u\in \left]-{\frac {\pi }{2}},{\frac {\pi }{2}}\right[+{\rm {i}}~\mathbb {R}$. Le développement en série entière, valable pour $|z|\leqslant 1,z\neq {\text{i}},-{\text{i}}$ est : ${\text{Arctan }}z=\sum _{k=0}^{\infty }(-1)^{k}{\frac {z^{2k+1}}{2k+1}}$.

De plus, par construction, cette détermination principale est reliée à la fonction argument tangente hyperbolique

$\forall z\in \mathbb {C} \setminus \left({\rm {i}}\left(]-\infty ,-1]\cup [1,+\infty [\right)\right)\quad {\rm {Arctan}}z={\frac {1}{\rm {i}}}\operatorname {Argtanh} ({\rm {i}}z)$.

Voir aussi Fonction hypergéométrique#Cas particuliers.

Notes et références

(de) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en allemand intitulé « Arkustangens und Arkuskotangens » (voir la liste des auteurs).

Voir aussi

Articles connexes

• Atan2
• Fonction circulaire réciproque
• L'arc tangente de tout rationnel non nul est irrationnel.
• Définition de la fonction arc tangente sur les complexes

Lien externe

(en) Eric W. Weisstein, « Inverse Tangent », sur MathWorld