Quadrique projective
En mathématiques, plus précisément en géométrie, une quadrique projective ou hyperquadrique[1] est une partie d'un espace projectif associée à une forme quadratique sur l'espace vectoriel dont cet espace projectif provient.
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Généralités
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Considérons par exemple la forme quadratique . Ici, l'espace vectoriel considéré est l'espace vectoriel réel , l'espace projectif associé est , le plan projectif réel. On note alors , la projection canonique. La quadrique projective associée à est par définition [2].
Une hyperquadrique est donc l'image d'un cône isotrope privé de l'origine[1]. C'est l'ensemble des droites génératrices du cône.
L'étude des coniques projectives conduit par exemple au théorème de Pascal[2].
Points réguliers et propriétés remarquables
modifierConjugaison par rapport à une quadrique
modifierSoit un espace vectoriel réel, une forme quadratique de forme bilinéaire symétrique non dégénérée sur associée , l'hyperquadrique associée. On dit que deux points et sont conjugués par rapport à l' hyperquadrique si .
Soit . L'ensemble des points conjugués de par rapport à s'appelle la polaire ou l'hyperplan polaire de par rapport à .
Hyperplan tangent
modifierGroupe d'une quadrique
modifierNotes et références
modifier- 1 2 Alfred Doneddu, Compléments de géométrie algébrique, tome 3 du cours de mathématiques supérieures et spéciales, Paris, Dunod, , 348 p., p. 210-
- 1 2 Michèle Audin, Géométrie, EDP Sciences, (ISBN 2-86883-883-9), p. 239-
