Relation de dispersion

Cet article est une ébauche concernant la physique théorique.

En physique théorique, une relation de dispersion est une relation entre la pulsation $ω$ et le vecteur d'onde $\vec{k}$ d'une onde monochromatique.

Par extension, la dualité onde-corpuscule de la physique quantique conduit à l'introduction de relation de dispersion pour une particule, comme relation entre son énergie $E$ et sa quantité de mouvement $\vec{p}$ .

Exemples

Onde monochromatique de célérité c dans un milieu non dispersif

Un milieu non dispersif est caractérisé par un indice $n$ indépendant de la pulsation. La relation de dispersion s'écrit $ω = \frac{c}{n} ‖ \vec{𝐤} ‖ .$ avec $\vec{𝐤}$ le vecteur d'onde. La vitesse de phase est alors constante, $V_{φ} = \frac{ω}{‖ \vec{𝐤} ‖} = \frac{c}{n}$ , et est égale à la vitesse de groupe : $V_{g} = \frac{d}{d ‖ \vec{𝐤} ‖} ω = \frac{c}{n} .$

Onde monochromatique de célérité c dans un milieu dispersif

Dans un milieu dispersif, l'indice optique $n$ dépend de la pulsation $ω$ . La relation de dispersion devient $ω = \frac{c}{n (ω)} ‖ \vec{𝐤} ‖$ avec $\vec{𝐤}$ le vecteur d'onde. La vitesse de phase dépend alors explicitement de la pulsation, soit : $V_{φ} = \frac{ω}{‖ \vec{𝐤} ‖} = \frac{c}{n (ω)}$ La vitesse de groupe n'est en général plus égale à la vitesse de phase, mais lui est reliée par la relation de Rayleigh : $V_{g} = \frac{d}{d ‖ \vec{𝐤} ‖} ω = \frac{d}{d ‖ \vec{𝐤} ‖} (‖ \vec{𝐤} ‖ V_{φ}) = V_{φ} + ‖ \vec{𝐤} ‖ \frac{d}{d ‖ \vec{𝐤} ‖} V_{φ}$

Particule non relativiste de masse m

En notant : $p = | | \vec{p} | |$ , la relation de dispersion s'écrit :

E = \frac{p^{2}}{2 m}

Particule relativiste de masse m

La relation d'Einstein^[1]^,^[2]^,^[3] est la relation de dispersion relativiste^[4]^,^[5] obtenue à partir du carré la norme du quadrivecteur énergie-quantité de mouvement^[6].

Elle est donnée par :

E^{2} = p^{2} c^{2} + m^{2} c^{4}

,

d'où, pour une particule de masse $m$ non nulle :

E = \sqrt{p^{2} c^{2} + m^{2} c^{4}}

Particule relativiste de masse nulle

E = p c

Notes et références

↑ Gourgoulhon 2010, § 9.1.2, p. 277.
↑ Semay et Silvestre-Brac 2021, § 9.3, p. 173.
↑ Vafa 2021, § 1.7, p. 14.
↑ Cohen-Tannoudji, Dupont-Roc et Grynberg 2001, complément A_IV.1, p. 411.
↑ Karevski 2022, § 3.2.2, p. 212.
↑ Taillet, Villain et Febvre 2018, s.v. quadrivecteur énergie-quantité de mouvement, p. 609, col. 2.

Voir aussi

Bibliographie

[Cohen-Tannoudji, Dupont-Roc et Grynberg 2001] Claude Cohen-Tannoudji, Jacques Dupont-Roc et Gilbert Grynberg, Photons et atomes : introduction à l'électrodynamique quantique, Les Ulis et Paris, EDP Sciences et CNRS, coll. « Savoirs actuels / physique », juillet 2001, 2^e éd. (1^re éd. janvier 1987), 1 vol., XVI-473 p., 15,5 × 23 cm (ISBN 2-86883-535-X et 2-222-03966-5, EAN 9782868835352, OCLC 48459911, BNF 37714466, DOI 10.1051/978-2-7598-0135-0, SUDOC 007051026, présentation en ligne, lire en ligne).
[Gourgoulhon 2010] Éric Gourgoulhon (préf. Thibault Damour), Relativité restreinte : des particules à l'astrophysique, Les Ulis et Paris, EDP Sciences et CNRS, coll. « Savoirs actuels / physique », mai 2010 (réimpr. mars 2011), 1^re éd., 1 vol., XXVI-776 p., 15,5 × 23 cm (ISBN 978-2-7598-0067-4 et 978-2-271-07018-0, EAN 9782759800674, OCLC 690639994, BNF 41411713, DOI 10.1051/978-2-7598-0923-3, SUDOC 14466514X, présentation en ligne, lire en ligne).
[Karevski 2022] Dragi Karevski, Physique quantique des champs et des transitions de phase, Paris, Ellipses, coll. « Références sciences », 15 février 2022, 1^re éd., 1 vol., 684 p., 19 × 24 cm (ISBN 978-2-340-06407-2, EAN 9782340064072, OCLC 1302196841, BNF 46970143, SUDOC 260823066, présentation en ligne, lire en ligne).
[Semay et Silvestre-Brac 2021] Claude Semay et Bernard Silvestre-Brac, Relativité restreinte : bases et application, Malakoff, Dunod, coll. « Sciences sup », novembre 2021, 4^e éd. (1^re éd. octobre 2005), 1 vol., X-309 p., 17 × 24 cm (ISBN 978-2-10-082836-4, EAN 9782100828364, OCLC 1286364270, BNF 46915115, SUDOC 258655097, présentation en ligne, lire en ligne).
[Taillet, Villain et Febvre 2018] Richard Taillet, Loïc Villain et Pascal Febvre, Dictionnaire de physique, Louvain-la-Neuve, De Boeck Supérieur, hors coll., janvier 2018, 4^e éd. (1^re éd. mai 2008), 1 vol., X-956 p., 17 × 24 cm (ISBN 978-2-8073-0744-5, EAN 9782807307445, OCLC 1022951339, BNF 45646901, SUDOC 224228161, présentation en ligne, lire en ligne).
[Vafa 2021] Cumrun Vafa (trad. de l'anglais par Michel Le Bellac, préf. Étienne Klein), L'Univers décrypté par les énigmes [« Puzzles to unravel the Universe »], Les Ulis, EDP Sciences, coll. « Une introduction à », octobre 2021, 1^re éd., 1 vol., XVI-218 p., 16 × 24 cm (ISBN 978-2-7598-2594-3, EAN 9782759825943, OCLC 1282197253, BNF 46879352, SUDOC 258258314, présentation en ligne, lire en ligne).

Articles connexes

Portail de la physique

[Gourgoulhon2010277<span_class="nowrap"><abbr_class="abbr_"_title="paragraphe(s)"_>§</abbr>&nbsp;9.1.2</span>-1] Gourgoulhon 2010, § 9.1.2, p. 277.

[SemaySilvestre-Brac2021173<span_class="nowrap"><abbr_class="abbr_"_title="paragraphe(s)"_>§</abbr>&nbsp;9.3</span>-2] Semay et Silvestre-Brac 2021, § 9.3, p. 173.

[Vafa202114<span_class="nowrap"><abbr_class="abbr_"_title="paragraphe(s)"_>§</abbr>&nbsp;1.7</span>-3] Vafa 2021, § 1.7, p. 14.

[Cohen-TannoudjiDupont-RocGrynberg2001411complément_A<sub><abbr_class="abbr_"_title="4"_><span_class="romain"_style="text-transform:uppercase">IV</span></abbr></sub>.1-4] Cohen-Tannoudji, Dupont-Roc et Grynberg 2001, complément A_IV.1, p. 411.

[Karevski2022212<span_class="nowrap"><abbr_class="abbr_"_title="paragraphe(s)"_>§</abbr>&nbsp;3.2.2</span>-5] Karevski 2022, § 3.2.2, p. 212.

[TailletVillainFebvre2018609,_<span_class="nowrap"><abbr_class="abbr_"_title="colonne(s)"_>col.</abbr>&nbsp;2</span>''<abbr_class="abbr_"_title="sub_verbo_(«_à_l'article_»)"_>s.v.</abbr>''_quadrivecteur_énergie-quantité_de_mouvement-6] Taillet, Villain et Febvre 2018, s.v. quadrivecteur énergie-quantité de mouvement, p. 609, col. 2.

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