Représentation de Gelfand

En analyse fonctionnelle, la représentation de Gelfand, nommée en référence à Israel Gelfand, peut être :

• une manière de représenter des algèbres de Banach commutatives sous forme d'algèbres de fonctions continues ;
• le fait que, pour les C*-algèbres commutatives, cette représentation constitue un isomorphisme isométrique.

Dans le premier cas, on peut considérer la représentation de Gelfand comme une généralisation de la transformée de Fourier d'une fonction intégrable. Dans le second cas, le théorème de représentation de Gelfand-Naimark (en) constitue une approche du développement de la théorie spectrale des opérateurs normaux, et généralise la notion de diagonalisation d'une matrice normale.

Remarques historiques

L'une des applications initiales de Gelfand (qui a, par ailleurs, historiquement motivé une grande partie de l'étude des algèbres de Banach) a consisté à proposer une démonstration beaucoup plus courte et plus conceptuelle d'un célèbre lemme de Norbert Wiener caractérisant les éléments des algèbres de groupe localement compact (en) L¹(R) et $\ell ^{1}({\mathbf {Z} })$ dont les translatés engendrent des sous-espaces denses dans ces algèbres respectives.

L'algèbre modèle

Pour tout espace topologique X localement compact et séparé (au sens de Hausdorff), l'espace $C_{0}(X)$ des fonctions continues à valeurs complexes sur X qui s'annulent à l'infini constitue, de manière naturelle, une C*-algèbre commutative :

• La structure d'algèbre sur le corps des nombres complexes est définie par les opérations d'addition et de multiplication effectuées point par point.
• L'involution est donnée par la conjugaison complexe point par point.
• La norme est la norme uniforme sur les fonctions.

Le fait que X soit localement compact et séparé est essentiel, car cela lui confère la propriété d'être un espace complètement régulier (ou espace de Tikhonov). Dans un tel espace, tout sous-ensemble fermé est l'ensemble des zéros communs d'une famille de fonctions continues à valeurs complexes ; cela permet de retrouver la topologie de X à partir de $C_{0}(X)$.

Notons que $C_{0}(X)$ est une algèbre unitaire si et seulement si X est compact ; dans ce cas, $C_{0}(X)$ coïncide avec $C(X)$, l'algèbre de toutes les fonctions continues à valeurs complexes sur X.

Représentation de Gelfand d'une algèbre de Banach commutative

Soit $A$ une algèbre de Banach commutative, définie sur le corps $\mathbb {C}$ des nombres complexes. Un homomorphisme d'algèbres non nul (une forme linéaire multiplicative) $\Phi \colon A\to \mathbb {C}$ est appelé un caractère de $A$ ; l'ensemble de tous les caractères de $A$ est noté $\Phi _{A}$.

On peut démontrer que tout caractère sur $A$ est continu. Par conséquent, $\Phi _{A}$ est un sous-ensemble de l'espace $A^{*}$ des formes linéaires continues sur $A$. De plus, muni de la topologie faible induite, $\Phi _{A}$ est un espace localement compact et séparé (au sens de Hausdorff), propriété découlant du théorème de Banach-Alaoglu. L'espace $\Phi _{A}$ est compact (pour la topologie ainsi définie) si et seulement si l'algèbre $A$ possède un élément unité.

Pour tout $a\in A$, on définit la fonction ${\widehat {a}}:\Phi _{A}\to {\mathbb {C} }$ par ${\widehat {a}}(\phi )=\phi (a)$. La définition de $\Phi _{A}$ et la topologie dont il est muni garantissent que ${\widehat {a}}$ est une fonction continue qui s'annule à l'infini et que l'application $a\mapsto {\widehat {a}}$ définit un homomorphisme d'algèbres de $A$ vers $C_{0}(\Phi _{A})$ qui préserve l'unité et ne fait pas croître la norme. Cet homomorphisme est appelé « représentation de Gelfand de $A$ », et ${\widehat {a}}$ est la « transformée de Gelfand » de l'élément $a$. En général, cette représentation n'est ni injective ni surjective.

Dans le cas où $A$ possède un élément unité, il existe une bijection entre $\Phi _{A}$ et l'ensemble des idéaux maximaux de $A$ (ce résultat repose sur le théorème de Gelfand-Mazur). Par conséquent, le noyau de la représentation de Gelfand $A\to C_{0}(\Phi _{A})$ peut être identifié au radical de Jacobson de $A$. Ainsi, la représentation de Gelfand est injective si et seulement si $A$ est semi-simple (au sens de Jacobson).

Exemples

L'espace de Banach $A=L^{1}(\mathbb {R} )$ est une algèbre de Banach munie du produit de convolution ; il s'agit de l'algèbre de groupe de $\mathbb {R}$. Dans ce cas, $\Phi _{A}$ est homéomorphe à $\mathbb {R}$ et la transformée de Gelfand d'une fonction $f\in L^{1}(\mathbb {R} )$ correspond à la transformée de Fourier ${\tilde {f}}$. De même, pour $A=L^{1}(\mathbb {R} _{+})$ — algèbre associée au groupe multiplicatif des réels — la transformée de Gelfand est la transformée de Mellin.

Pour $A=\ell ^{\infty }$, l'espace de représentation est le compactifié de Stone-Čech $\beta \mathbb {N}$. Plus généralement, si $X$ est un espace séparé complètement régulier, alors l'espace de représentation de l'algèbre de Banach des fonctions continues bornées sur $X$ est le compactifié de Stone-Čech de $X$.

Le cas des C*-algèbres

À titre d'exemple, considérons le cas particulier A = C₀(X). Pour tout x dans X, soit $\varphi _{x}\in A^{*}$ la forme linéaire correspondant à l'évaluation au point x, c'est-à-dire $\varphi _{x}(f)=f(x)$. Alors $\varphi _{x}$ est un caractère de A, et l'on peut démontrer que tous les caractères de A sont de cette forme ; une analyse plus approfondie montre que l'on peut identifier Φ_A à X, non seulement en tant qu'ensembles, mais aussi en tant qu'espaces topologiques. La représentation de Gelfand constitue alors un isomorphisme

$C_{0}(X)\to C_{0}(\Phi _{A})$

Le spectre d'une C*-algèbre commutative

Le spectre ou espace de Gelfand d'une C*-algèbre commutative A, noté Â, est l'ensemble des *-homomorphismes non nuls de A dans le corps des nombres complexes. Les éléments de ce spectre sont appelés caractères sur A. On peut démontrer que tout homomorphisme d'algèbres de A dans les nombres complexes est automatiquement un *-homomorphisme ; cette définition du terme « caractère » coïncide donc avec celle donnée ci-dessus.

En particulier, le spectre d'une C*-algèbre commutative est un espace localement compact et séparé (espace de Hausdorff) : dans le cas unitaire — c'est-à-dire lorsque la C*-algèbre possède un élément unité multiplicatif 1 — tout caractère f est nécessairement unitaire, ce qui signifie que f(1) est égal au nombre complexe 1. Cela exclut l'homomorphisme nul. Ainsi,  est fermé pour la topologie faible-* et le spectre est un espace compact. Dans le cas non unitaire, l'adhérence de  pour la topologie faible-* est  ∪ {0}, où 0 désigne l'homomorphisme nul. Or, retirer un point unique à un espace compact séparé donne un espace localement compact séparé.

Il convient de noter que le terme « spectre » possède plusieurs acceptions. Il désigne également le spectre σ(x) d'un élément x appartenant à une algèbre unitaire (munie d'une unité 1), défini comme l'ensemble des nombres complexes r pour lesquels x − r1 n'est pas inversible dans A. Pour les C*-algèbres unitaires, ces deux notions sont liées de la manière suivante : σ(x) correspond à l'ensemble des nombres complexes f(x) lorsque f parcourt l'espace de Gelfand de A. En combinant cela avec la formule du rayon spectral, on peut montrer que  est un sous-ensemble de la boule unité du dual A* ; il peut donc être muni de la topologie faible-* induite. Il s'agit de la topologie de la convergence simple (ou convergence point par point). Une suite généralisée $\{f_{k}\}_{k}$ d'éléments du spectre de A converge vers f si et seulement si pour tout $x\in A$ le réseau de nombres complexes $\{f_{k}(x)\}_{k}$ converge vers f(x).

Si A est une C*-algèbre séparable, la topologie faible-* est métrisable sur les sous-ensembles bornés. Ainsi, le spectre d'une C*-algèbre commutative séparable A peut être considéré comme un espace métrique. Par conséquent, la topologie peut être caractérisée par la convergence des suites.

De manière équivalente, $\sigma (x)$ est l'image de $\gamma (x)$, où $\gamma$ désigne la représentation de Gelfand.

Énoncé du théorème de Gelfand-Naimark commutatif

Soit A une C*-algèbre commutative et soit X le spectre de A. Soit

$\gamma :A\to C_{0}(X)$

la représentation de Gelfand définie ci-dessus.

Théorème. L'application de Gelfand γ est un *-isomorphisme isométrique de A sur C₀(X).

Le spectre d'une C*-algèbre commutative peut également être considéré comme l'ensemble de tous les idéaux maximaux m de A muni de la topologie de Jacobson (en) (voir les remarques précédentes concernant le cas général des algèbres de Banach commutatives). Pour un tel m, l'algèbre quotient A/m est de dimension 1 (d'après le théorème de Gelfand-Mazur) ; par conséquent, tout élément a de A définit une fonction à valeurs complexes sur X.

Dans le cas des C*-algèbres unitaires (munies d'une unité), l'application spectrale définit un foncteur contravariant allant de la catégorie des C*-algèbres commutatives unitaires — dont les morphismes sont les *-homomorphismes continus préservant l'unité — jusqu'à la catégorie des espaces compacts de Hausdorff — dont les morphismes sont les applications continues. Ce foncteur constitue l'une des composantes d'une équivalence contravariante entre ces deux catégories (son adjoint étant le foncteur qui associe à chaque espace compact de Hausdorff X la C*-algèbre C₀(X)). En particulier, pour deux espaces compacts de Hausdorff X et Y, les C*-algèbres C(X) et C(Y) sont isomorphes si et seulement si X et Y sont homéomorphes.

Le théorème de Gelfand-Naimark « complet » s'applique aux C*-algèbres non commutatives (abstraites) A ; bien qu'il ne soit pas strictement analogue à la représentation de Gelfand, il fournit une représentation concrète de A en tant qu'algèbre d'opérateurs.

Applications

L'une des applications les plus importantes est l'existence d'un calcul fonctionnel continu (en) pour les éléments normaux (en) dans une C*-algèbre A : un élément x est normal si et seulement s'il commute avec son adjoint x*, ou, de manière équivalente, s'il engendre une C*-algèbre commutative C*(x). D'après l'isomorphisme de Gelfand appliqué à C*(x), cette dernière est *-isomorphe à une algèbre de fonctions continues sur un espace localement compact. Cette observation conduit presque immédiatement au résultat suivant :

Théorème. Soit A une C*-algèbre unitaire et x un élément normal de A. Il existe alors un *-morphisme f ↦ f(x) de l'algèbre des fonctions continues sur le spectre σ(x) vers A, tel que :

• il envoie la fonction constante 1 sur l'élément unité de A ;
• il envoie la fonction identité (définie sur le spectre) sur x.

Cela permet d'appliquer des fonctions continues à des opérateurs normaux bornés sur un espace de Hilbert.

Références

Bibliographie

• (en) F. F. Bonsall et J. Duncan, Complete Normed Algebras, Springer-Verlag, 1973 (ISBN 0-387-06386-2)
• (en) J. B. Conway, A Course in Functional Analysis, vol. 96, Springer-Verlag, coll. « Graduate Texts in Mathematics », 1990 (ISBN 0-387-97245-5)
• (en) Norbert Wiener, « Tauberian theorems », Annals of Mathematics, vol. 33, n^o 1,‎ 1932, p. 1&-100 (DOI 10.2307/1968102)

• (en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Gelfand representation » (voir la liste des auteurs).