Reptuile
Un reptuile (ou rep-tuile), ou autopavé[1],[2], est une forme géométrique plane polygonale, qui possède la particularité d'être reproductible, à une échelle supérieure ou inférieure, par juxtaposition ou découpe d'un certain nombre de copies de lui-même ; ceci, donc, indéfiniment. La notion de reptuile peut être également étendue aux formes fractales.
Le nom a été créé en anglais par Solomon W. Golomb en 1962 sous la forme rep-tile ou reptile (pouvant se traduire par "tuile replicante") ; la traduction française par "reptile" fait disparaitre le jeu de mots, d'où l'adaptation française en rep-tuile ou reptuile.
Ordre
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Le reptuile est dit d'ordre 2 quand il possède une reproduction par deux éléments. Les triangles rectangles isocèles et les parallélogrammes dont les mesures des côtés sont dans le rapport 1 à la racine carrée de 2 satisfont à cette condition. Ce sont les seuls reptuiles polygonaux d'ordre 2 mais il existe également 4 types de reptuiles fractals d'ordre 2 [3].
Il existe peu de reptuiles d'ordre 3. Le triangle rectangle d'angles 30°, 60°, 90° en est un.
Tous les triangles et tous les parallélogrammes sont reproductibles d'ordre 4.
Certains triangles ou parallélogrammes peuvent avoir deux ordres de réplication, par exemple 4 et 7 qui se combinent ensuite (4,7,8,14,16,28,32 etc.).
Le sphinx est le seul pentagone reptuile d'ordre 4. Il existe des reptuiles en figure croisée comme le poisson d'ordre 9. On remarquera que de nombreuses constructions reptuiles sont elles-mêmes constituées d'éléments intermédiaires de forme géométrique simple mais ne répondant pas à la définition reptuile.
Des polygones plus complexes sont d'ordre 7 comme la figure dérivée de la courbe de Gosper
Il a été remarqué que tous les reptuiles d'ordre 4 connus sont aussi des reptuiles d'ordre 9. Mais on ne sait pas si ce résultat est général (rien n'a été démontré).
Jeu
modifierLes reptuiles peuvent être utilisés comme puzzles ou la construction de pavages décoratifs.
Fractales reptuiles
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Les fractales obtenues comme attracteur de système de fonctions itérées sont, lorsque les fonctions sont des similitudes, réunion de copies d'elles-même. s'il n'y a pas de chevauchement, ce sont alors des reptuiles d'ordre le nombre de fonctions de l'IFS.
Exemples
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Terpapillon, reptuile d'ordre 3[4].
Variante de lîle de Minkowski, reptuile d'ordre 4[4].
Ile de Gosper, reptuile d'ordre 7[4].
Flocon de Koch, reptuile d'ordre 7[5].
Papillon de nuit, décomposable en une infinité de copies de lui-même[6].
Notes et références
modifier- ↑ « Autopavés », sur mathafou.free.fr (consulté le ).
- ↑ Jean-Paul Delahaye, « Paver des pavés », Pour la Science, no 306, (lire en ligne)
- ↑ On 2-Reptiles in the Plane, Sze-Man Ngai, Víctor F. Sirvent, J. J. P. Veerman, Yang Wang
- 1 2 3 4 (it) Giorgio Pietrocola, « Mostra di rep-3, rep-5, rep-7 frattali che si fanno in tre, cinque e perfino in sette per la loro prole », sur Maecla (Tartapelago), (consulté le )
- ↑ Jean-Paul Delahaye, « Flocons et dragons : des fractales pour paver le plan », Pour la science, no 577, , p. 72-77 (lire en ligne
) - 1 2 (it) Giorgio Pietrocola, « Confronto tra falene e siamesi, due frattali dalle straordinarie proprietà », sur Maecla (Tartapelago), (consulté le )
Bibliographie
modifier- (en) Gardner, M. "Rep-Tiles." Ch. 5 in The Colossal Book of Mathematics: Classic Puzzles, Paradoxes, and Problems. New York: W. W. Norton, pp. 46–58, 2001.
