Répartition biproportionnelle des sièges

La répartition biproportionnelle des sièges (aussi nommée « double proportionnelle ») est une méthode utilisée pour distribuer des sièges de façon proportionnelle selon deux critères. Dit autrement, étant donné deux partitions de l'ensemble des votes, chaque sous-ensemble défini par chaque partition se voit attribuer un nombre de sièges en proportion, tel que le total des sièges cumulés par les sous-ensembles de chaque partition soit égal au total du nombre de sièges à attribuer. Les deux critères peuvent être par exemple les partis et les circonscriptions, les partis et le sexe ou l'ethnicité, ou n'importe quelle autre paire de caractéristiques selon lesquelles les voix peuvent être réparties.

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Cet article ne cite pas suffisamment ses sources (juin 2026).

Principe général

Soit un pays avec plusieurs partis et subdivisés en plusieurs régions. Si le système est bipropotionnel par parti et par région, alors :

à l'échelle du pays :
- chaque parti reçoit un nombre de sièges proportionnel à sa part de voix ;
- chaque région reçoit un nombre de sièges proportionnel à sa part de voix (cette répartition peut aussi avoir lieu selon la population totale de chaque région ou d'autres critères) ;
puis, du mieux que cela puisse se faire étant donnés les totaux pour chaque parti et chaque région :
- les sièges de chaque région sont répartis parmi les partis en proportion du nombre de voix reçues par chaque parti dans la région en question ;
- les sièges de chaque parti sont répartis entre les régions en proportion du nombre de voix reçues dans chaque région par le parti en question.

Origines de la répartition biproportionnelle

Le système proportionnel rend difficile la représentation au Conseil national suisse des petits partis, notamment dans les cantons les moins peuplés ou bien dans les cantons divisés en circonscriptions électorales. La répartition biproportionnelle a donc pour objectif de faire concorder au mieux les pourcentages de voix recueillies par les partis et les mandats qui leur sont attribués (principe de l’égalité des suffrages), sans pour autant supprimer les circonscriptions électorales existantes. Selon ce principe, les partis et les circonscriptions doivent être représentés de façon proportionnelle dans les organes législatifs. En d'autres mots, le caractère biproportionnel s'exprime par le fait que l'on tient compte dans un premier temps d'une répartition proportionnelle des sièges par parti et par circonscription électorale. Puis dans un second temps, la répartition des sièges sera faite proportionnellement au sein de chaque circonscription électorale en fonction du score global des listes électorales^[1].

Cette répartition en deux temps s'appelle « répartition haute » et « répartition basse ». La répartition haute est le fait de dire à combien de sièges a droit une circonscription électorale et aussi le score global de chaque liste proposée. La répartition basse donne à chaque circonscription électorale le nombre d'élus par parti.

Cette méthode, développée par le mathématicien Friedrich Pukelsheim sur mandat de la Direction de la Justice et de l'Intérieur du canton de Zurich^{[réf. nécessaire]}, se fonde sur des travaux de Michel Balinski et Peyton Young^{[réf. nécessaire]} et est utilisée en particulier dans le canton de Zurich, en Suisse.

Procédure

Supposons que la méthode soit à utiliser afin de donner la répartition proportionnelle des sièges par parti et par région.

Chaque parti a une liste dans chaque région. Les électeurs votent pour le parti de leur choix dans leur région.

Les résultats sont calculés en deux étapes :

en premier lieu, la « répartition haute », qui distribue les sièges entre les partis (indépendamment des régions) et entre les régions (indépendamment des partis) ;
en deuxième lieu, la « répartition basse », qui distribue les sièges entre les listes régionales de façon à respecter la répartition haute.

On peut considérer cela comme un ajustement global du pouvoir de vote des électeurs de chaque parti, dans la limite minimale nécessaire pour que les résultats régionaux soient proportionnels par parti.

Répartition haute

Lors de la répartition haute, le nombre de sièges alloués à chaque parti est calculé selon une méthode de la plus forte moyenne (par exemple la méthode de Sainte-Laguë). Cela détermine le nombre de sièges auquel a droit un parti en fonction du nombre de voix qu'il a obtenu (nombre de voix égal à la somme des voix obtenues dans chaque région). De façon analogue, la même méthode de la plus forte moyenne est utilisée afin de déterminer le nombre de sièges auquel a droit chaque région.

Cette répartition donne le résultat final du nombre de sièges auquel chaque parti et chaque région a droit. La répartition basse détermine pour sa part uniquement la répartition des sièges de chaque parti à travers les régions et de chaque région à travers les partis. Dès la fin de la répartition haute, la force de chaque parti et de chaque région dans l'assemblée est donc fixée.

Répartition basse

La répartition basse sert à répartir les sièges entre les listes régionales de chaque parti de telle sorte que le nombre total de sièges de chaque parti et de chaque région reflète le résultat obtenu lors de la répartition haute.

Le résultat est obtenu par un processus itératif. Au départ, pour chaque région, un diviseur régional est choisi en utilisant la méthode de la plus forte moyenne pour les votes alloués à chaque parti dans cette région. Pour chaque parti, le diviseur de parti est initialement fixé à 1.

En pratique, l'objectif du processus itératif est de modifier les diviseurs régionaux et les diviseurs de parti de telle sorte que :

le nombre de sièges de chaque liste régionale soit proportionnel au nombre de voix obtenues par cette liste divisé par à la fois le diviseur régional et le diviseur de parti correspondant, nombre ensuite arrondi par la méthode d'arrondi des plus forts restes utilisée, et que
la somme des sièges de toutes les listes régionales d'un parti donné soit égale au nombre de sièges obtenus par ce parti lors de la répartition haute, et que
la somme des sièges de toutes les listes d'une région soit égale au nombre de sièges obtenus par cette région lors de la répartition haute.

Les deux étapes de correction suivantes sont effectuées à tour de rôle jusqu'à ce que l'objectif soit atteint :

modifier les diviseurs de parti de telle sorte que la répartition au sein de chaque parti soit correcte pour la méthode de la plus forte moyenne choisie ;
modifier les diviseurs régionaux de telle sorte que la répartition au sein de chaque région soit correcte pour la méthode de la plus forte moyenne choisie.

En utilisant la méthode de Sainte-Laguë, il est garanti que ce processus itératif aboutisse au nombre de sièges approprié pour chaque liste régionale.

Exemple

Supposons que :

il y a trois partis, désignés A, B et C,
il y a trois régions, numérotées I, II et III,
il y a 20 sièges à répartir,
la méthode de Sainte-Laguë est utilisée.

Les votes pour les partis régionaux sont les suivants :

Région Parti	I	II	III	Total
A	123	45	815	983
B	912	714	414	2040
C	312	255	215	782
total	1347	1014	1444	3805

Répartition haute

Lors de la répartition haute, le nombre total de sièges de chaque parti et de chaque région est déterminé.

Étant donné qu'il y a 3 805 votants et 20 sièges, il y a 190 votants (valeur arrondie) par siège. Par conséquent, la distribution des sièges par parti est :

Parti	A	B	C
Votes	983	2040	782
Votes/diviseur	5.2	10.7	4.1
Sièges	5	11	4

Et la distribution des sièges par région est :

Région	I	II	III
Votes	1347	1014	1444
Votes/diviseur	7.1	5.3	7.6
Sièges	7	5	8

Répartition basse

Au début, les diviseurs régionaux doivent être déterminés afin de répartir les sièges de chaque région entre les différents partis. Dans les tableaux, pour chaque liste régionale, il y a deux cases : une première, qui indique le nombre de voix, et une seconde, qui indique le nombre de sièges.

Région Parti	I		II		III
A	123	1	45	0	815	5
B	912	4	714	4	414	2
C	312	2	255	1	215	1
total	1347	7	1014	5	1444	8
diviseur régional	205		200		180

Maintenant, le diviseur des partis est initialisé à la valeur 1 et le nombre de sièges de chaque parti est contrôlé, c'est-à-dire comparé au nombre obtenu lors de la répartition haute :

Région Parti	I		II		III		total		diviseur de parti
A	123	1	45	0	815	5	983	6	1
B	912	4	714	4	414	2	2040	10	1
C	312	2	255	1	215	1	782	4	1
total	1347	7	1014	5	1444	8	3805	20
diviseur régional	205		200		180

Étant donné que les partis n'ont pas tous le bon nombre de sièges, une étape de correction doit être faite : pour les partis A et B, les diviseurs doivent être ajustés. Le diviseur de A doit être augmenté tandis que celui de B doit être réduit :

Région Parti	I		II		III		total		diviseur de parti
A	123	1	45	0	815	4	983	5	1.1
B	912	5	714	4	414	2	2040	11	0.95
C	312	2	255	1	215	1	782	4	1
total	1347	8	1014	5	1444	7	3805	20
diviseur régional	205		200		180

Maintenant, les diviseurs des régions I et III doivent être modifiés. Puisque la région I a un siège de trop (8 au lieu de 7 obtenus lors de la répartition haute), son diviseur doit être augmenté, tandis que le diviseur de la région III doit être diminué.

Région Parti	I		II		III		toal		diviseur de parti
A	123	1	45	0	815	4	983	5	1.1
B	912	5	714	4	414	3	2040	12	0.95
C	312	1	255	1	215	1	782	3	1
total	1347	7	1014	5	1444	8	3805	20
diviseur régional	210		200		170

Les diviseurs de parti doivent à nouveau être ajustés :

Région Parti	I		II		III		toal		diviseur de parti
A	123	1	45	0	815	4	983	5	1.1
B	912	4	714	4	414	3	2040	11	0.97
C	312	2	255	1	215	1	782	4	0.98
total	1347	7	1014	5	1444	8	3805	20
diviseur régional	210		200		170

Maintenant, le nombre de sièges de chaque parti et de chaque région est conforme à ce qui avait été déterminé lors de la répartition haute. Le processus itératif est de ce fait terminé. La répartition finale des sièges est donc :

Région Parti	I	II	III	Total
A	1	0	4	5
B	4	4	3	11
C	2	1	1	4
total	7	5	8	20

Répartition biproportionnelle et représentativité

L'intérêt pour la répartition biproportionnelle des sièges dans un parlement est dérivé de la question de la représentativité. En effet, dans un tel système, lors de la répartition des sièges après dépouillement des voix obtenues par chaque liste et candidats, on attend que toutes les voix puissent être prises en compte. Or, dans le système suisse actuel, chaque canton constitue une circonscription électorale unique à laquelle est associée un nombre de sièges à pourvoir au sein du parlement fédéral. La répartition des sièges se fait par liste dans chaque canton. Ainsi, si une liste n'atteint pas le quorum nécessaire, les voix qu'elle apporte ne seront pas prises en compte. Le système actuel bénéficie donc aux listes qui arrivent à atteindre ce quorum et prétérite les listes plus faibles à échelle locale.

Ainsi, si à l'échelle de l'entier du pays, certaines listes pourraient atteindre le seuil de suffisance pour obtenir un siège, ils ne pourront pas l'obtenir du fait qu'ils n'atteignent pas le quorum dans les circonscriptions électorales. Le but de la répartition biproportionnelle est donc de considérer les voix exprimées à l'échelle du pays entier pour ensuite faire la répartition dans les circonscriptions électorales, la condition étant que le parti atteigne le quorum. Ainsi, les listes qui n'ont pas obtenu assez de voix à échelle locale seront quand même comptabilisées à large échelle.

Exemples d'utilisation

La répartition biproportionnelle des sièges est utilisée principalement lors d'élections législatives cantonales : à Zurich depuis 2006, en Argovie et à Schaffhouse depuis 2008, à Nidwald et Zoug depuis 2013, dans le canton de Schwyz depuis 2015, dans le canton du Valais depuis 2016 pour l'élection des membres du Grand Conseil ainsi que leurs suppléants^[2] et dans le canton des Grisons depuis 2022^[3].

Notes et références

(de) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en allemand intitulé « Doppeltproportionales Zuteilungsverfahren » (voir la liste des auteurs).

↑ SRF 2021, « Doppelter Pukelsheim ».
↑ Décret sur le mode d'élection du Grand Conseil du 9 mars 2016, art. 136 al. 1.
↑ [SRF 2021] (de) « Abstimmungen Kanton Graubünden - Graubünden bekommt ein neues Wahlsystem », sur Schweizer Radio und Fernsehen (SRF), 11 juin 2021 (consulté le 20 avril 2022).

Liens externes

(de) Sitzverteilung bei den Gemeinderatswahlen, informations de la ville de Zurich sur la méthode de répartition zurichoise, sur stadt-zuerich.ch
(de)+(en) Berechnung von Anzahlen mit Zuteilungsmethoden im Internet / Calculation of Allocations by Apportionment Methods in the Internet, programme Java de calcul de répartition (biproportionnelle) de sièges, sur math.uni-augsburg.de

Études

(de) Boris Müller, Wahlkreisprobleme, AJP/PJA (de) 10/2014, analyse critique de la réparation biproportionnelle (voir en particulier le point 4), PDF (410 ko), sur chlaw.ch
(de) Friedrich Pukelsheim et Christian Schuhmacher, Doppelproporz bei Parlamentswahlen – ein Rück- und Ausblick, AJP/PJA 12/2011, sur les premières expériences de répartition biproportionnelle, PDF (615 ko), sur math.uni-augsburg.de
(de) Friedrich Pukelsheim et Christian Schuhmacher, Das neue Zürcher Zuteilungsverfahren für Parlamentswahlen, AJP/PJA 5/2004, explication détaillée de la méthode d'un point de vue mathématique et juridique, PDF (285 ko), sur math.uni-augsburg.de
(de) Erneuerungswahl der Mitglieder des Kantonsrates für die Amtsdauer 2007–2011 vom 15. April 2007, Ergebnisse, Publikation (vom 18. April 2007), résultats des élections législatives du canton de Zurich du 15 avril 2007, PDF (p. 584 et suiv.), sur amtsblatt.zh.ch

Arrêts

(de) Stimmrechtsbeschwerde (Erneuerungswahl des Gemeinderates von Zürich für die Amtsdauer 2002 bis 2006), staatsrechtliche Beschwerde gegen den Beschluss des Regierungsrates des Kantons Zürich vom 3. April 2002, arrêt du Tribunal fédéral sur l'ancien système électoral de la ville de Zurich, sur polyreg.ch
(de) Auszug aus dem Urteil der I. öffentlichrechtlichen Abteilung i.S. Grüne Aargau und Mitb. gegen Regierungsrat und Grosser Rat des Kantons Aargau (Staatsrechtliche Beschwerde) vom 27. Oktober 2004, arrêt du Tribunal fédéral sur l'ancien système électoral du canton d'Argovie, sur relevancy.bger.ch

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[SRF2021«_Doppelter_Pukelsheim_»-1] SRF 2021, « Doppelter Pukelsheim ».

[2] Décret sur le mode d'élection du Grand Conseil du 9 mars 2016, art. 136 al. 1.

[3] [SRF 2021] (de) « Abstimmungen Kanton Graubünden - Graubünden bekommt ein neues Wahlsystem », sur Schweizer Radio und Fernsehen (SRF), 11 juin 2021 (consulté le 20 avril 2022).

[1]

[2]

[3]