Secteur circulaire

Un secteur circulaire ou secteur de disque, est l'une des deux parties d'un disque délimitées par deux rayons et un arc de cercle, autrement dit l'intersection d'un secteur angulaire de sommet le centre du disque avec le disque. La partie de plus petite aire est appelée "secteur mineur", celle de plus grande aire, "secteur majeur", (égalité des aires lorsque les deux rayons forment un diamètre).

Un secteur circulaire est coloré en vert.

Aire

Soient $\theta =2\alpha \in [0,2\pi ]$ l'angle en radians du secteur et $r$ le rayon du disque. La superficie totale d'un disque est π r². La superficie du secteur circulaire peut être obtenue en multipliant la superficie du disque par le rapport entre l'angle et 2π (car l'aire d'un secteur est proportionnelle à son angle et un secteur d'angle 2π est le disque tout entier) :

$A=\pi r^{2}\cdot {\frac {\theta }{2\pi }}={\frac {\theta }{2}}r^{2}=\alpha r^{2}.$

Par un raisonnement analogue, la longueur L de l'arc de cercle est donnée par la formule suivante :

$L=2\pi r\cdot {\frac {\theta }{2\pi }}=\theta r$.

Si $\theta ^{\circ }$ représente l'angle en degrés, on obtient :

$A=\pi r^{2}\cdot {\frac {\theta ^{\circ }}{360}}$, $L=\pi r\cdot {\frac {\theta ^{\circ }}{180}}.$

On a donc $A={\frac {Lr}{2}}$.

Périmètre

La longueur $p$ du périmètre d'un secteur circulaire, somme de la longueur d'arc et des deux rayons, est donc donnée par la formule suivante :

$p=2r+L=r\cdot \left(2+\pi \cdot {\frac {\theta ^{\circ }}{180}}\right)$

Centre de gravité

Secteur circulaire avec son centre de gravité.

Le centre de gravité d'un secteur angulaire homogène est situé sur l'axe de symétrie du secteur et à une distance du sommet égale aux deux tiers de la distance entre le centre et le centre de gravité de l'arc de cercle correspondant. En sachant que le centre de gravité d'un arc de cercle est à une distance du centre égale à longueur de la corde AB/longueur de l'arc AB×r, on obtient les formules :

${\begin{aligned}OG&={\frac {2}{3}}{\frac {AB}{\overset {\ {\displaystyle \frown }}{AB}}}\cdot r&\\&={\frac {2}{3}}{\frac {\sin \alpha }{\alpha }}\cdot r\end{aligned}}$ où $\alpha ={\frac {\theta }{2}}$.

Par exemple, le centre de gravité d'un demi-disque est situé à une distance $OG={\frac {4}{3\pi }}R\approx 0,4244R$ du centre (voir la suite A232715 de l'OEIS).

Voir aussi

• Segment circulaire
• Secteur sphérique
• Secteur hyperbolique