Segment circulaire

En géométrie, un segment circulaire, ou segment de disque, ou encore onglet circulaire, est une partie d'un disque intuitivement définie comme un domaine qui est « coupé » du reste du disque par une corde (intersection du disque avec une droite sécante). Le segment circulaire constitue donc la partie entre une corde et l'arc correspondant.

Un segment circulaire est coloré en vert.

Soient (voir figure) :

• $R$ le rayon du cercle ;
• $\theta \leqslant \pi$ l'angle en radians du secteur circulaire ;
• $s$ la longueur de l'arc ;
• $c$ la longueur de la corde ;
• $h$ la hauteur du segment ;
• $d$ la hauteur de la portion triangulaire.

Alors :

• la longueur de l'arc est $s=R\theta$ ;
• la longueur de la corde est $c=2R\sin(\theta /2)=2d\tan(\theta /2)=2{\sqrt {R^{2}-d^{2}}}=2{\sqrt {2hR-h^{2}}}$  ;
• la hauteur de la portion triangulaire est $d=R\cos(\theta /2)={\frac {c}{2}}\cot(\theta /2)={\frac {1}{2}}{\sqrt {4R^{2}-c^{2}}}$ ;
• la hauteur (ou flèche) est $h=R-d=R\left(1-\cos(\theta /2)\right)$ ;
• l'aire est $A={\frac {R^{2}}{2}}\left(\theta -\sin \theta \right)$.

Démonstration de la formule de l'aire

L'aire totale de la portion de disque vaut $S={\frac {\theta }{2}}R^{2}$. Elle peut également s'exprimer comme la somme de deux aires : celle, $A$, du segment circulaire (en vert) et celle, $A_{1}$, du triangle constituant l'autre partie. On a donc :

$A=S-A_{1}$.

L'aire du triangle vaut :

$A_{1}={\frac {1}{2}}\times {\textrm {base}}\times {\textrm {hauteur}}={\frac {1}{2}}\times c\times d={\frac {1}{2}}\times 2R\sin(\theta /2)\times R\cos(\theta /2)={\frac {R^{2}}{2}}\times 2\sin(\theta /2)\cos(\theta /2)={\frac {R^{2}}{2}}\sin {\theta }$,

du fait des formules de l'angle double.

Finalement, on trouve : $A=S-A_{1}={\frac {\theta }{2}}R^{2}-{\frac {R^{2}}{2}}\sin {\theta }={\frac {R^{2}}{2}}(\theta -\sin {\theta })$.

Voir aussi

• Corde (géométrie)
• Lentille (géométrie), réunion de deux segments circulaires de même corde
• Citron (géométrie), obtenu par rotation d'un segment circulaire autour de sa corde
• Formulaire de géométrie classique
• Onglet sphérique

Liens externes

• Notices dans des dictionnaires ou encyclopédies généralistes :

  • Gran Enciclopèdia Catalana
  • Store norske leksikon

• (en) Eric W. Weisstein, « Circular Segment », sur MathWorld