Segment circulaire

En géométrie, un segment circulaire, ou segment de disque, ou encore onglet circulaire, est une partie d'un disque intuitivement définie comme un domaine qui est « coupé » du reste du disque par une corde (intersection du disque avec une droite sécante). Le segment circulaire constitue donc la partie entre une corde et l'arc correspondant.

Mesures associées

Soient (voir figure) :

$R$ le rayon du cercle ;
$\theta =2\alpha \leqslant 2\pi$ l'angle en radians du secteur circulaire ;
$s$ la longueur de l'arc ;
$c$ la longueur de la corde ;
$h$ la hauteur du segment, appelée la flèche ;
$d=R-h$ la "hauteur" de la portion triangulaire ( $d$ négative pour $\theta >\pi$ ).

Alors :

la longueur de l'arc est $s=R\theta$ ;
la longueur de la corde est $c=2R\sin \alpha =2d\tan \alpha =2{\sqrt {R^{2}-d^{2}}}=2{\sqrt {h(2R-h)}}$ ;
la hauteur de la portion triangulaire est $d=R\cos \alpha ={\frac {c}{2}}\cot \alpha =\pm {\frac {1}{2}}{\sqrt {4R^{2}-c^{2}}}$ ;
la hauteur (ou flèche) est $h=R-d=R\left(1-\cos \alpha \right)$ ;
l'aire est $S_{s}={\frac {R^{2}}{2}}\left(\theta -\sin \theta \right)$ .

Démonstration de la formule de l'aire

L'aire totale de la portion de disque (le secteur circulaire)vaut $S={\frac {\theta }{2}}R^{2}$ . Elle peut également s'exprimer comme la somme de deux aires : celle, $S_{s}$ , du segment circulaire (en vert) et celle, $S_{t}$ , du triangle constituant l'autre partie. On a donc :

S_{s}=S-S_{t}

.

L'aire du triangle vaut :

S_{t}={\frac {1}{2}}\times {\textrm {base}}\times {\textrm {hauteur}}={\frac {1}{2}}\times c\times d={\frac {1}{2}}\times 2R\sin(\theta /2)\times R\cos(\theta /2)={\frac {R^{2}}{2}}\times 2\sin(\theta /2)\cos(\theta /2)={\frac {R^{2}}{2}}\sin {\theta }

,

du fait des formules de l'angle double.

Finalement, on trouve : $S_{s}=S-S_{t}={\frac {\theta }{2}}R^{2}-{\frac {R^{2}}{2}}\sin {\theta }={\frac {R^{2}}{2}}(\theta -\sin {\theta })$ .

Le centre de gravité $G_{s}$ se trouve sur l'axe de symétrie et vérifie $OG_{s}={\frac {2}{3}}R{\frac {\sin ^{3}\alpha }{\alpha -\sin \alpha \cos \alpha }}={\frac {c^{3}}{12S_{s}}}$ ^[1].

Démonstration, connaissant le centre de gravité $G$ du secteur circulaire associé.

On a $OG={\frac {2}{3}}R{\frac {\sin \alpha }{\alpha }}$ ; or $G$ est le barycentre de $(G_{t},S_{t})$ et de $(G_{s},S_{s})$ où $G_{t}$ est le centre de gravité du triangle, et $S_{t}$ son aire.

Donc $OG_{s}={\frac {S\,OG-S_{t}\,OG_{t}}{S-S_{t}}}={\frac {\alpha OG-\sin \alpha \cos \alpha OG_{t}}{\alpha -\sin \alpha \cos \alpha }}={\frac {2}{3}}R{\frac {\sin \alpha -\sin \alpha \cos ^{2}\alpha }{\alpha -\sin \alpha \cos \alpha }}={\frac {2}{3}}R{\frac {\sin ^{3}\alpha }{\alpha -\sin \alpha \cos \alpha }}$ .