Sommation d'Euler-Boole

En mathématiques, la méthode de sommation d'Euler-Boole est une méthode analogue à celle d'Euler-Maclaurin adaptée aux séries alternées. Le concept doit son appellation aux mathématiciens Leonhard Euler et George Boole. Boole a publié cette méthode de sommation en utilisant les polynômes d'Euler, mais la méthode elle-même était probablement déjà connue d'Euler.

Présentation de la méthode

Les polynômes d'Euler sont définis par la série génératrice :$\displaystyle {\frac {2e^{xt}}{e^{t}+1}}=\sum _{n=0}^{\infty }E_{n}(x){\frac {t^{n}}{n!}}.$Les fonctions d'Euler périodiques suivantes modifient ces polynômes par un changement de signe suivant la parité de la partie entière de $x$ :

$\displaystyle {\widetilde {E}}_{n}(x+1)=-{\widetilde {E}}_{n}(x){\text{ et }}{\widetilde {E}}_{n}(x)=E_{n}(x){\text{ pour }}0<x<1.$

La formule sommatoire d'Euler-Boole pour les séries alternées s'écrit alors :

${\begin{aligned}\displaystyle \sum _{i=n}^{N}(-1)^{i}f(i+h)={}&{\frac {1}{2}}\sum _{j=0}^{k-1}{\frac {E_{j}(h)}{j!}}\left((-1)^{N}f^{(j)}(N+1)+(-1)^{n}f^{(j)}(n)\right)\\&{}+{\frac {1}{2(k-1)!}}\int _{n}^{N+1}f^{(k)}(x){\widetilde {E}}_{k-1}(h-x)\,dx,\end{aligned}}$

où $n,k,N\in \mathbb {N} ,k>0,n\leqslant N,h\in [0,1]$ $f$ de classe $C^{k}$ sur $[n,N+1]$ ; $f^{(j)}$ est la dérivée $j$-ième de $f$ .

La formule est peu utilisée telle quelle, due à sa complexité relative et sa faible convergence (l'approximation est faible si $\int |f^{(4)}|$ converge lentement vers 0 ou ne converge pas.

Références

• (en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Euler–Boole summation » (voir la liste des auteurs).

Voir aussi

• Formule d'Euler-Maclaurin