« Variété (géométrie) » : différence entre les versions
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On attribue traditionnellement à [[Leonhard Euler|Euler]] la découverte en 1752 d'une propriété des [[polyèdre]]s convexes<ref>La paternité pourrait en être cependant attribuée à Descartes, voir l'article [[théorème de Descartes-Euler]]</ref>. En notant respectivement ''S'', ''A'' et ''F'' les nombres de sommets, arêtes et faces, il démontre l'identité ''S – A + F ''= 2, identité connue aujourd'hui sous le nom de [[théorème de Descartes-Euler|relation d'Euler]]. Le résultat est d'autant plus surprenant qu'il ne fait intervenir ni les [[longueur]]s, ni les [[Aire (géométrie)|aire]]s. Il est en fait encore valable pour les nombres de sommets, faces et arêtes d'une [[triangulation]] de la sphère. C'est le premier exemple de calcul de la [[caractéristique d'Euler]] d'une surface.
En 1813, [[Simon Antoine Jean L'Huilier|L'Huilier]] remarque que la formule d'Euler est modifiée pour un polyèdre non-convexe, par exemple ayant la forme d'un solide avec des trous (comme le [[tore]], qui a un trou). Elle devient {{nobr|1=''S – A + F ''= 2 – 2''g'',}} en notant ''g'' le nombre de trous<ref>{{article|auteur=[[Simon Antoine Jean L'Huilier|M. Lhuilier]]|titre=Mémoire sur la polyédrométrie […]|journal=[[Annales de Gergonne]]|volume=3|année=1812-1813|pages=169–189|url=http://www.numdam.org/numdam-bin/fitem?id=AMPA_1812-1813__3__169_0}}</ref>. C'est là le premier calcul d'un [[invariant]] topologique permettant de classer les [[surface (géométrie)|surface]]s de l'espace. Cependant, le point de vue reste extrinsèque car les trous sont vus de l'extérieur. Comment une fourmi marchant sur une chambre à air peut-elle se représenter le trou ?
L'un des plus grands mathématiciens de son temps, [[Carl Friedrich Gauss]], en s'intéressant à la géométrie des surfaces, établit un « résultat remarquable » (le [[theorema egregium]]) : {{début citation}}la [[courbure de Gauss]] d'une surface de l'espace ne dépend pas de la façon dont celle-ci est plongée dans l'espace ambiant<ref>[[Carl Friedrich Gauss|C.F. Gauss]], ''Disquisitiones generales circa superficies curvas'', 1827</ref>.{{fin citation}}
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