« Racine carrée de deux » : différence entre les versions
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m →Preuves d'irrationalité : +1 |
→Preuves d'irrationalité : détail de la preuve par les congruences + lien symbole de Legendre seulement dans la parenthèse |
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Ligne 135 :
===Par le [[Lemme d'Euclide|lemme de Gauss]]===
Avec le même choix encore, ''q'' est [[premier
===Par le [[théorème fondamental de l'arithmétique]]===
Ligne 141 :
===Par les [[Congruence sur les entiers|congruences]]===
Avec ''p'' et ''q'' premiers entre eux comme plus haut, donc non tous deux [[divisible]]s par 3, on déduit de ''p''{{2}} = 2''q''{{2}} que ''q'' possède un [[inverse modulaire|inverse ''r'' modulo 3]], et 2 est le [[Résidu quadratique|carré modulo 3]] de ''pr''. Cela est impossible car modulo 3, les seuls carrés sont 0{{2}} = 0 et (±1){{2}} = 1. (On peut, dans ce raisonnement, remplacer 3 par n'importe quel [[nombre premier]] ''p'' [[Symbole de Legendre|tel que 2 n'est pas un carré modulo ''p'']], c'est-à-dire ''p'' > 2 et congru à 3 ou 5 modulo 8).
== Histoire ==
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