« Théorème de Cauchy-Lipschitz » : différence entre les versions

{{Démonstration|<!--http://www.math.u-psud.fr/~ramond/docs/m318/cours10.pdf-->On reprend la preuve du théorème de Cauchy-Lipschitz, en prenant cette fois pour ''F '' l'espace des applications continues sur un segment arbitraire [''t''{{ind|0}} – ''T''{{ind|–}},&nbsp;''t''{{ind|0}} + ''T''{{ind|+}}] de ''I'', à valeurs dans ''E''. Si, pour tout ''t ''de ce segment, ''f''(''t'', ∙) est ''K''-lipschitzienne alors, en notant Φ la fonctionnelle définie sur ''F ''par la même formule que précédemment, on vérifie sans peine que sa ''p''-ième itérée Φ{{exp|''p''}} est ''K{{exp|p}}''max(''T''{{ind|–}},&nbsp;''T''{{ind|+}}){{exp|''p''}}/''p''!-lipschitzienne. La série correspondante étant convergente, le [[Application contractante#Corollaire pour une application dont une itérée est contractante|théorème du point fixe modifiépour une application dont une itérée est contractante]] s'applique et fournit un point fixe pour Φ. La solution maximale du problème de Cauchy étant par conséquent définie sur tout segment de ''I'', elle est globale.