« Anneau quotient » : différence entre les versions
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==Définition==
Soit ''A'' un [[anneau unitaire|anneau]]. L'addition et la multiplication de ''A'' sont [[Relation d'équivalence#Structure quotient|compatibles]] avec une [[relation d'équivalence]] sur ''A'' si (et seulement si) celle-ci est de la forme : ''x'' ~ ''y'' ⇔ ''x – y'' ∈ ''I'', pour un certain [[idéal bilatère]] ''I'' de ''A''<ref name="Bourbaki100101">{{Ouvrage|auteur=[[N. Bourbaki]]|titre=[[Éléments de mathématique]], Algèbre, chapitres 1 à 3|page=I-100 et I-101}}.</ref>.
On peut alors munir l'ensemble quotient ''A''/''I'' de [[Relation d'équivalence#Structure quotient|l'addition et de la multiplication quotients de celles de ''A'']]<ref name="Bourbaki100101"/> :
:<math>(x+I)+(y+I) = (x+y)+I,\quad(x+I)\times (y+I) = (x\cdot y)+I.</math>
Ceci munit ''A''/''I'' d'une structure d'anneau<ref name="Bourbaki100101"/>, appelé l'anneau quotient de ''A'' par ''I'' (son groupe additif est le [[groupe quotient]] de (''A'', +) par ''I'').
La [[Relation d'équivalence#Surjection canonique|surjection canonique]] ''π'' : ''A'' → ''A''/''I'' est alors un [[morphisme d'anneaux]], de [[Noyau (algèbre)|noyau]] ''I''.
==Exemples==
*Pour ''I = A,'' ''A / A'' est l'[[anneau trivial]]<ref name="Bourbaki100101"/>
*Si ''A'' = '''Z''' (l'anneau des [[entiers]]) et ''I = n'' '''Z''' pour un certain entier ''n'', l'anneau quotient ''A / I'' est<ref name="Bourbaki106">N. Bourbaki, ''op. cit.'', {{p.|I-106}}.</ref> l'[[Anneau Z/nZ|anneau '''Z''' / ''n'' '''Z''']]. Cette structure est le fondement de l'[[arithmétique modulaire]].
* Pour ''A''='''R'''[''X''], anneau des [[polynôme formel|polynômes]] à coefficients réels et ''I'' l'[[idéal principal]] engendré par ''X''<sup>2</sup>+1, ''A / I'' est un anneau [[isomorphisme d'anneaux|isomorphe]] à '''C''', le [[corps commutatif|corps]] des [[nombre complexe|nombres complexes]]<ref name=Paugam154>{{Ouvrage | langue = | prénom1 = | nom1 = | auteur = Annette Paugam | titre = Agrégation de mathématiques. Questions délicates en algèbre et en géométrie | sous-titre = | éditeur = Dunod | lieu = | année = | pages totales = | isbn = 978-2-10-051378-9 | passage =154}}.</ref>.
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