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« Formule de Faulhaber » : différence entre les versions

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Orodoth (discuter | contributions)
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Correction d'une erreur mineure (dans les formules du début, n est dans N* puisque la somme commence à 1)
Anne Bauval (discuter | contributions)
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m non
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En [[mathématiques]], la '''formule de Faulhaber''', nommée en l'honneur de [[Johann Faulhaber]], exprime la somme
 
<center><math>\sum_{k=1}^n\le k\le n}k^p = 1^p + 2^p + 3^p + \cdots + n^p \qquad \left(\mbox{avec } n \in \mathbb{N}^*,\quad p \in \mathbb{N} \right)</math></center>
 
comme une [[fonction polynomiale]] de ''n'' de degré (''p''&nbsp;+&nbsp;1<ref>Nulle en ''n'' = 0 (cf. « [[Somme vide]] ») donc produit de ''n'' par une fonction polynomiale de degré ''p''.</ref>, les coefficients impliquant les [[nombre de Bernoulli|nombres de Bernoulli]] : <math>B_2=\textstyle\frac1{6},\quad B_4=\textstyle -\frac1{30},\quad B_6=\textstyle \frac1{42} \ldots</math>
<center><math>\sum_{1\le k=1}^{\le n} k^p =\frac{1}frac1{p+1}\left(n^{p+1}+\frac12(p+1){n^p}+\frac16{ p+1\choose2}{n^{p-1}}-\frac1{30}{p+1\choose4}{n^{p-3}}+\frac1{42}{p+1\choose6}{n^{p-5}}+\ldots\right).</math></center>
Les coefficients <math>\textstyle{p+1 \choose j}</math> qui apparaissent sont les [[coefficient binomial|coefficients binomiaux]] (aussi notés <math>\mathrm{C}_{p+1}^j</math>).
 
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Dans l'article, nous suivrons une convention vue moins souvent, <math>\textstyle B_1 = + \frac{1}{2}</math>, tous les autres nombres de Bernoulli restant comme ci-dessus.
 
La formule de Faulhaber s'écrit (avec <math>p\in\mathbb{N}</math> et <math>n\in\mathbb{N}^*</math>) :
<center><math>\sum_{k=1}^n\le k\le n}k^p = {1 \over p+1} \sum_{j=0}^p {p+1 \choose j} B_j n^{p+1-j}\qquad \left(\mbox{avec } B_1 = \textstyle{1 \over 2} \mbox{ plutôt que }-{1 \over 2}\right).</math></center>
 
Faulhaber ne connaissait pas la formule sous cette forme, qui a été découverte par [[Jacques Bernoulli]]. Il connaissait au moins l'expression dans les 17 premiers cas, et le fait que lorsque l'exposant est impair, alors la somme est une fonction polynomiale de la somme dans le cas particulier où l'exposant est 1. Dans ses calculs, il doit manipuler la factorielle ''n''! jusqu'à 24!, ce qui illustre son remarquable talent de calculateur, qu'il partage avec son correspondant [[Ludolph van Ceulen]]. Il est remarquable surtout par son anticipation des sommes multiples discrètes à une époque où l'analyse balbutie. Il utilise la ''k''-symétrie, et donne aussi certaines généralisations remarquables<ref name="Knuth">{{Article|lang = en|lien auteur = Donald Knuth|first = Donald E.|nom = Knuth|titre = Johann Faulhaber and sums of powers|lien périodique = American Mathematical Society#Publications|revue = Math. Comp.|vol = 61|year = 1993|p. = 277-294|url = http://www.ams.org/journals/mcom/1993-61-203/S0025-5718-1993-1197512-7/S0025-5718-1993-1197512-7.pdf}}.<!--http://arxiv.org/abs/math.CA/9207222 contient une coquille pour la somme des puissances 11-ièmes--></ref>.
 
== Exemples ==
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On peut voir la formule énoncée avec des termes allant de 0 à ''n''&nbsp;-&nbsp;1 plutôt que de 1 à ''n''. Dans ce cas, la ''seule'' chose qui change est que nous prenons ''B''<sub>1</sub>&nbsp;=&nbsp;−1/2 plutôt que +1/2, donc le terme de deuxième plus haut degré dans chaque cas possède un signe moins plutôt qu'un signe plus.
 
<center><math>\sum_{0\le k=0<p}^{n-1} k^p = {1 \over p+1} \sum_{j=0}^p B_j{p+1 \choose j} n^{p+1-j}\qquad \left(\mbox{avec } B_1 =-{1 \over 2}\right)</math></center>
 
La formule est valide y compris pour ''p'' = 0 (avec ''p'' et ''n'' entiers naturels) :
Ce document provient de « https://fr.wikipedia.org/wiki/Formule_de_Faulhaber ».