« Groupe (mathématiques) » : différence entre les versions

| nom auteur=Henri Poincaré

| passage = 30-31}}.</ref>. Un [[groupe de symétrie]] décrit les symétries d'une [[géométrie|forme géométrique]] : il consiste en un ensemble de [[transformation géométrique|transformations géométrique]]s qui laissent l'objet invariant, l'opération consistant à [[composition de fonctions|composer]] de telles transformations, c'est-à-dire à les appliquer l'une après l'autre. De tels groupes de symétrie, en particulier les [[groupes de Lie]] continus, jouent un rôle important dans de nombreuses sciences<ref>{{Citation|Lorsqu'on aborde un chapitre quelconque de la théorie des groupes, [...] l'on ne peut échapper à l'impression d'atteindre un domaine profond et central des mathématiques et de la logique. Cela est si vrai qu'il est impossible de faire ni physique, ni géométrie, sans se servir, de façon plus ou moins consciente, du concept de groupe.}}, {{harvsp Article|auteur=[[Edmond Bauer]]|titre=Introduction à la théorie des groupes et à ses applications en physique quantique|revue=[[Annales Henri Poincaré|Annales de l'IHP]]|vol=4|issue=1|year=1933|p.=1-170|url=http://archive.numdam.org/article/AIHP_1933__4_1_1_0.pdf
}}.</ref>. Les [[groupe général linéaire|groupes généraux linéaires]], par exemple, sont utilisés en [[physique]] fondamentale pour comprendre les lois de la [[relativité restreinte]] et les phénomènes liés à la symétrie des [[molécules]] en [[chimie]].

La motivation originelle de la théorie des groupes fut la recherche des solutions des [[équation polynomiale|équations polynomiales]] de degré supérieur à quatre. Au {{s-|XIX}}, le mathématicien français [[Évariste Galois]], développant des travaux précédents de [[Paolo Ruffini]] et [[Joseph-Louis Lagrange]], donna un critère de résolubilité d'équations polynomiales particulières en termes de [[groupe de symétrie]] de leurs [[Racine d'un polynôme|racines]]<ref name="dahan">{{DahanPeiffer}}.</ref>. Les éléments d'un tel groupe (appelé [[groupe de Galois]]) correspondent à certaines [[permutation]]s des racines. Les idées de Galois furent méconnues par ses contemporains et publiées seulement à titre posthume. Des [[groupe de permutations|groupes de permutations]] plus généraux furent étudiés par [[Augustin Louis Cauchy]]<ref name="dahan"/>. [[Arthur Cayley]], dans un article de 1854, donna la première définition abstraite d'un [[groupe fini]].

Le troisième domaine qui contribua à la théorie des groupes fut la [[théorie des nombres]]. Certaines structures de [[groupe abélien]] ont été implicitement utilisées par [[Carl Friedrich Gauss]] dans ses ''[[Disquisitiones Arithmeticae]]'' (1798)<ref>{{Belhoste1}}.</ref>, et plus explicitement par [[Leopold Kronecker]]. En 1847, [[Ernst Kummer]] mena les premières tentatives de preuve du [[dernier théorème de Fermat]] à leur point culminant en développant une [[Groupe des classes d'idéaux|factorisation des groupes]] en [[nombres premiers]].

Pour comprendre les groupes au-delà des manipulations symboliques présentées ci-dessus, d'autres concepts doivent être employés. Ils suivent tous un principe sous-jacent : pour bénéficier de la structure de groupe, les constructions liées à un groupe doivent être « compatibles » avec sa loi de composition. Cette compatibilité se manifeste de différentes façons. Par exemple, des groupes peuvent être reliés entre eux par des [[fonction (mathématiques)|fonctions]] appelées [[homomorphismeMorphisme de groupegroupes|homomorphismesmorphismes de groupegroupes]], c'est-à-dire des fonctions qui conservent la structure de groupe. La structure des groupes peut aussi être étudiée en les « cassant » en morceaux plus simples, appelés [[sous-groupe]]s ou [[groupe quotient|groupes quotients]]<ref>{{Perrin1}}, ch. 1 : {{citation|L'intérêt des sous-groupes distingués est de permettre le « dévissage » des groupes.}}</ref>. Ce principe de conservation des structures est l'idée centrale de la [[théorie des catégories]], dans laquelle on parle de catégorie des groupes.

Les ''homomorphismesmorphismes de groupes'' sont les fonctions qui préservent la structure de groupe. Une fonction {{nobr|''f'' : ''G'' → ''H''}} entre deux groupes munis respectivement de deux lois • et * est donc un homomorphismemorphisme si et seulement si l'égalité

est vraie pour tous les éléments ''a'' et ''b'' de ''G'', c'est-à-dire que le résultat est le même, que l'on effectue l'opération avant ou après avoir appliqué la fonction ''f''. En effet, cette condition assure que l'image de l'élément neutre du groupe (''G'' ; •) est l'élément neutre de (''H'' ; *)<ref>Voir [[Monoïde#Morphisme de monoïdes|Morphisme de monoïdes]].</ref> et que l'[[Image (mathématiques)|image]] du symétrique ''a''⁻¹ de tout élément ''a'' est le symétrique de l'image de ''a'' (''f''(''a''{{-1}}) = ''f''(''a''){{-1}})<ref>Voir le [[Monoïde#Symétrique d'un élément|§ « Symétrique d'un élément » de l'article sur les monoïdes]].</ref>.

pour tous éléments ''g'' et ''h'' de ''G''. Cette étude est motivée par l'idée que l'application {{nobr|''G'' → ''G'' / ''N''}} qui, à tout élément ''g'' du groupe associe sa classe ''gN'', est un [[homomorphisme#Morphisme de groupegroupes|morphisme de groupes]]. La classe {{nobr|''eN '' {{=}} ''N''}} est l'élément neutre du groupe quotient et le symétrique de ''gN'' est {{nobr|(''gN'')⁻¹ {{=}} (''g''⁻¹)''N''}}.

Les sous-groupes et groupes quotients sont liés par la relation suivante : un sous-ensemble ''H'' de ''G'' peut être vu comme une [[injection (mathématiques)|injection]] {{nobr|''H'' → ''G''}}, c'est-à-dire que chaque élément de ''G'' possède au plus un [[antécédent (mathématiques)|antécédent]] par cette fonction. La notion d'application injective est liée avec celle d'[[surjection|application surjective]] (une application pour laquelle tout élément de l'ensemble d'arrivée admet au moins un antécédent). L'application canonique {{nobr|''G'' → ''G'' / ''N''}} est surjective. Les [[théorèmes d'isomorphisme]] permettent d'exhiber des homomorphismesmorphismes injectifs, surjectifs et bijectifs « naturels » d'un groupe afin de comprendre sa structure.

La théorie des représentations est à la fois une application du concept de groupe et important pour une compréhension plus profonde de ce concept. Elle consiste à étudier un groupe par son action sur d'autres espaces. Une grande catégorie de représentations de groupes est celle des représentations linéaires, lorsque le groupe opère sur un [[espace vectoriel]] comme l'[[espace euclidien]] à trois dimensions. Une représentation d'un groupe ''G'' sur un espace vectoriel réel à ''n'' dimensions est simplement un homomorphismemorphisme de groupes

Une étape intermédiaire est la [[classification des groupes simples finis]]. Un groupe ''G'' non [[groupe trivial|trivial]] est dit [[groupe simple|simple]] si ses seuls [[sous-groupe normal|sous-groupes normaux]] sont son sous-groupe trivial (réduit à l'élément neutre) et le groupe ''G'' lui-même. Le [[théorème de Jordan-Hölder]] désigne les groupes simples comme étant les « briques » utilisées pour construire tous les groupes finis. L'élaboration de la [[liste des groupes finis simples]] fut un résultat majeur de la théorie des groupes contemporaine<ref>Voir par exemple Puig, Lluis, {{pdf}}Article|auteur=Lluis ''[Puig|url=http://archive.numdam.org/article/SB_1981-1982__24__101_0.pdf |titre=La classification des groupes finis simples : bref aperçu et quelques conséquences internes]'', |revue=[[Séminaire Bourbaki, ]]|issue=24, |year=1981-1982}}.</ref>. [[Richard Borcherds]], lauréat de la [[médaille Fields]] en 1998, parvint à prouver les conjectures ''[[monstrous moonshine]]'', une relation surprenante et profonde entre le plus grand [[groupe sporadique]] fini simple (le ''[[groupe Monstre]]'') et certaines [[forme modulaire|formes modulaires]], qui font partie de l'[[analyse complexe]] et de la [[théorie des cordes]], une théorie supposée unifier la description de nombreux phénomènes physiques.

: <math>\int f(x)\,dx{\rm d}x = \int f(x+c)\,dx{\rm d}x</math>

Les groupes de Lie sont d'une importance fondamentale en physique : le [[théorème de Noether (physique)|théorème de Noether]] exprime l'équivalence qui existe entre les [[loi de conservation|lois de conservation]] et l'invariance des [[loi physique|lois physiques]] en ce qui concerne les [[symétrie (physique)|symétries en physique]]. Les [[Rotation plane|rotations]], ainsi que les [[translation (géométrie)|translations]] dans l'[[espace (notion)|espace]] et le [[temps]], sont des symétries de base des lois de la [[mécanique (science)|mécanique]]. Elles peuvent notamment être utilisées pour construire des modèles simples — imposer par exemple un axe de symétrie à une situation conduit généralement à une nette simplification des équations nécessaires à sa description physique. Une autre exemple est la [[transformation de Lorentz]], qui relie les mesures du temps et de la vitesse de deux observateurs en mouvement relatif. Elle peut être déduite par un raisonnement purement théorique sur le groupe des [[transformations de Galilée]] de l'[[espace de Minkowski]]. Ce dernier sert — en l'absence d'une [[gravitation]] significative — à modéliser l'[[espace-temps]] en [[relativité restreinte]]. Le groupe des [[isométrie]]s de l'espace de Minkowski est appelé [[Groupe de Poincaré (transformations)|Groupegroupe de Poincaré]]. De ce fait, celui-ci joue un rôle pivot en relativité restreinte et, par conséquent, pour la [[théorie quantique des champs]].

== AnnexesNotes et références==