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« Logarithme » : différence entre les versions

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{{homophone|Loga-Rythme}}
[[Fichier:Logarithms.svg|thumb|300px|alt=Graphes de fonctions logarithmes.|Fonctions logarithmes : <span style="color:red">en rouge</span> la fonction logarithme de base <span style="color:red">e</span>, <span style="color:green">en vert</span> celle de base <span style="color:green">10</span> et en <span style="color:purple">violet</span> celle de base <span style="color:purple">1,7</span>.]]
[[Fichier:Logarithm plots.png|vignette|Tracés des courbes des fonctions logarithmes en base 2, [[e (nombre)|{{math|e}}]] et 10.]]
 
LeEn [[mathématiques]], un '''logarithme''' est la [[fonction réciproque]] d'une [[exponentiation]], c'est-à-dire que le logarithme de base ''{{Mvar|b''}} d'un [[nombre réel]] strictement positif est la [[puissance d'un nombre|puissance]] à laquelle il faut élever la base ''{{Mvar|b''}} pour obtenir ce nombre. Par exemple, le logarithme de mille en base dix est 3, car 1000 = 10<sup>3</sup>. Le logarithme de ''x'' en base ''b'' est noté log<sub>''b''</sub>(''x''). Ainsi log<sub>10</sub>(1000) = 3.
{{exemple|nom=Exemple|Le logarithme en base dix de 1000 est 3 car 10{{exp|3}} {{=}} 10×10×10 {{=}} 1000.}}
Dans ce cas, le plus simple, le logarithme est le nombre entier qui compte les répétitions de la base multipliée par elle-même. Dans cette opération, multiplier un nombre par la base équivaut à ajouter 1 à son logarithme. L'[[exponentiation]] généralise cette opération de multiplication par soi-même à des puissances intermédiaires entre les entiers, qu'on exprime en nombres réels.
{{exemple|nom=Exemple|Le logarithme en base dix de la racine de 10, notée <math>\sqrt{10}</math>, est 0,5 car
 
<math>\sqrt{10}^2 = \sqrt{10} \times \sqrt{10} = 10</math>, donc
Tout logarithme transforme
<math>(\log_{10}\sqrt{10}) + (\log_{10}\sqrt{10}) = \log_{10}{10} = 1</math>
* un [[multiplication|produit]] en [[addition|somme]] : <math> \log_b(x \cdot y) = \log_b x + \log_b y \,</math>
}}
* un [[division|quotient]] en [[soustraction|différence]] : <math> \log_b\left(\frac{x}{y}\right) = \log_b x - \log_b y \,</math>
* une [[puissance d'un nombre|puissance]] en produit : <math> \log_b(x^p) = p \log_b x. \,</math>
 
Le logarithme de base {{Mvar|b}} du nombre {{Mvar|x}} se note {{math|log{{ind|''b''}} ''x''}}. Si la base est évidente d'après le contexte, ou si elle n'a pas d'importance, on peut écrire simplement {{math|log ''x''}}. Par définition, <math>b^{\log_bx}=x</math>.
[[John Napier]] a développé les logarithmes au début du {{s-|XVII}}. Pendant trois siècles, les [[table de logarithmes|tables de logarithmes]] et les [[Règle à calcul|règles à calculs]] ont été utilisées pour réaliser des calculs, jusqu'à leur remplacement, à la fin du {{s-|XX}}, par des [[calculatrice]]s.
 
[[John Napier]] a développé les logarithmes au début du {{s-|XVII}}. L'utilité du logarithme pour le calcul vient du fait que la fonction logarithme transforme un produit en somme : <math> \log_b(x \cdot y) = \log_b x + \log_b y \,</math>. Pendant trois siècles, la [[table de logarithmes]] et la [[règle à calcul]], fondée sur une échelle logarithmique, ont servi pour le calcul, jusqu'à leur remplacement, à la fin du {{s-|XX}}, par des [[calculatrice]]s.
Trois logarithmes sont remarquables :
* Le [[logarithme népérien]] (ou ''naturel''), qui utilise le [[e (nombre)|nombre e]] comme base, est fondamental en [[analyse mathématique]] car il est la [[fonction réciproque]] de la [[fonction exponentielle]] ;
* Le [[logarithme décimal]], qui utilise la base dix, était le plus communément utilisé pour les calculs ;
* Le [[logarithme binaire]], qui utilise 2 comme base, est utile en informatique théorique et pour certains calculs appliqués.
 
Le logarithme permet en outre de présenter sous une forme concise des relations entre nombres d'[[ordre de grandeur]] très différents.
Une [[échelle logarithmique]] permet de représenter sur un même graphique des nombres dont les [[ordre de grandeur|ordres de grandeurs]] sont très différents. Les logarithmes sont fréquents dans les formules utilisées en sciences, mesurent la [[complexité]] des [[algorithmes]] et des [[fractale]]s et apparaissent dans des formules permettant de compter les [[nombre premier|nombres premiers]]. Ils décrivent les [[intervalle (musique)|intervalles musicaux]] ou certains modèles de [[psychophysique]].
 
Trois fonctions logarithmes sont d'usage courant :
Le [[logarithme complexe]] est la fonction réciproque de l'[[exponentielle complexe]] et généralise ainsi la notion de logarithme aux nombres complexes. Le [[logarithme discret]] généralise les logarithmes aux [[groupe cyclique|groupes cycliques]] et a des applications en [[cryptographie à clé publique]].
* le [[logarithme naturel|logarithme népérien]] (ou ''naturel'') dont la base est le [[e (nombre)|nombre {{math|e}}]], est fondamental en [[analyse mathématique]] car il est la [[primitive]] de la fonction <math>x\mapsto\tfrac1x</math> s’annulant en 1 et la fonction réciproque de la [[fonction exponentielle]] ; il est souvent noté {{math|ln}} sauf en [[informatique]] ou en [[théorie des nombres]] où {{math|log}} sans autre précision signifie en général logarithme népérien ;
* le [[logarithme décimal]], dont la base est 10, reste le plus communément utilisé pour les calculs dans le domaine [[technologie|technologique]] ainsi qu'en chimie pour le calcul de [[Potentiel hydrogène|pH]] ;
* le [[logarithme binaire]], dont la base est 2, est utile en [[informatique théorique]] et pour certains calculs appliqués.
 
Le [[logarithme complexe]] généralise la notion de logarithme aux [[Nombre complexe|nombres complexes]].
== Historique ==
{{article détaillé|histoire des logarithmes et des exponentielles}}
Vers la fin du {{s-|XVI}}, le développement de l'[[astronomie]] et de la navigation d'une part et les calculs bancaires d'intérêts composés d'autre part<ref>Jean-Pierre Friedelmeyer, [http://www.mlfmonde.org/IMG/pdf/105_122_AM61-4.pdf L'invention des logarithmes par Neper et le calcul des logarithmes décimaux par Briggs]</ref>, poussent les mathématiciens à chercher des méthodes de simplifications de calculs et en particulier le remplacement des multiplications par des sommes. Utilisant les tables trigonométriques, les mathématiciens [[Paul Wittich]] (1546—1586) et [[Christophe Clavius]] (dans son traité de Astrolabio<ref>{{en}} [[Encyclopedia Britannica]], [http://www.1902encyclopedia.com/N/NAP/john-napier.html John Napier], note 2</ref>) établissent des correspondances entre produit ou quotient d'une part et somme, différence et division par deux d'autre part, pour des nombres inférieurs à 1 à l'aide de relations [[trigonométrie|trigonométriques]]<ref>{{en}} Julian Havil, Freeman Dyson, Gamma: Exploring Euler's Constant, [http://books.google.fr/books?id=lQX6Oy_SuOgC&pg=PA1&lpg=PA1&dq=logarithm++wittich+clavius&source=bl&ots=GeaQD98YR8&sig=lr3TkWSI9jumdTu7v9KXbXSdLUA&hl=fr&ei=7UVgTIP2Ct3Q4waTkonABw&sa=X&oi=book_result&ct=result&resnum=2&ved=0CBwQ6AEwAQ#v=onepage&q&f=false chap. 1 The Logarithme Cradle], p. 1-2</ref>. Par exemple en posant <math>x =\sin(a) \text{ et } y = \cos(b)</math> on peut formuler :
:<math> x \times y=\sin(a)\times \cos(b)=\frac{\sin(a-b)+\sin(a+b)}{2}.</math>
C'est la méthode dite de ''prosthaphaeresis''<ref>{{en}} Brian Borchers, [http://infohost.nmt.edu/~borchers/prost.pdf Prosthaphaeresis]</ref> qui est avantageusement remplacée quelques années plus tard par les tables logarithmiques.
 
== Motivation ==
[[Simon Stévin]], intendant général de l'armée hollandaise, met au point des tables de calculs d'[[intérêts composés]]. Ce travail est poursuivi par [[Jost Bürgi]] qui publie en 1620, dans son ''Aritmetische und geometrische Progress-tabulen'', une table de correspondance entre <math>n</math> et <math>1{{,}}0001^n</math>. À une somme dans la première colonne correspond ainsi un produit dans la seconde colonne<ref name="pedm">''Petite encyclopédie de mathématiques'' (p 72). Édition Didier (1980)</ref>.
Une [[échelle logarithmique]] permet de représenter sur un même graphique des nombres dont l'[[ordre de grandeur]] est très différent. Les [[Science appliquée|sciences appliquées]] les utilisent fréquemment dans les formules, comme celles qui évaluent la [[complexité]] des [[algorithmes]] ou des [[fractale]]s et celles qui dénombrent les [[nombre premier|nombres premiers]]. Ils décrivent les [[intervalle (musique)|intervalles musicaux]] et selon le modèle de [[Loi de Weber-Fechner|Weber-Fechner]] s'appliquent généralement en [[psychophysique]].
 
Tout logarithme transforme
En 1614, [[John Napier]] (ou Neper) publie son traité ''Mirifici Logarithmorum Canonis Descriptio''. Il ne songe pas qu’il est en train de créer de nouvelles fonctions, mais seulement des [[Connaissance technique#La table ou principe du nombre ordonné|tables de correspondances]] (logos = rapport, relation, arithmeticos = nombre) entre deux séries de valeurs possédant la propriété suivante : à un produit dans une colonne correspond une somme dans une autre. Ces tables de correspondances ont été créées initialement pour simplifier les calculs [[fonction trigonométrique|trigonométriques]] apparaissant dans les calculs [[astronomie|astronomiques]] et seront utilisées quelques années plus tard par [[Johannes Kepler|Kepler]]. La notation Log comme abréviation de logarithme apparaît en 1616 dans une traduction anglaise de l'œuvre de Neper<ref>[http://www.math93.com/symboles.htm Origine et histoire des symboles mathématiques] sur le site math93.com</ref>. En 1619, apparaît une œuvre posthume de Neper ''Mirifici Logarithmorum Canonis Constructio'', où il explique comment construire une [[table de logarithmes]].
* un [[multiplication|produit]] en [[addition|somme]] : <math> \log_b(x \cdot y) = \log_b x + \log_b y \,</math>
* un [[division|quotient]] en [[soustraction|différence]] : <math> \log_b\left(\frac{x}{y}\right) = \log_b x - \log_b y \,</math>
* une puissance en produit : <math> \log_b(x^y) = y \log_b x. \,</math>
 
== Historique ==
{{article détaillé|Histoire des logarithmes et des exponentielles}}
[[Fichier:Mirifici Logarithmorum canonis Descriptio.jpg|vignette|Page de garde du livre de John Napier de 1614 : Mirifici Logarithmorum Canonis Descriptio]]
La présentation de correspondances entre suites arithmétiques et suites géométriques avec l'observation qu'une somme dans une suite correspond à un produit dans l'autre est ancienne et on la voit déjà chez [[Archimède]] ({{-s-|III}}), [[Nicolas Chuquet|Chuquet]] ({{s-|XV}}) et [[Michael Stifel|Stifel]] (début du {{s-|XVI}}) en Europe<ref >{{chapitre|auteur=Odile Kouteynikoff|titre=Invention de nombres : calculs ou résolutions|auteur ouvrage=Commissionn inter-Irem d'Épistémologie et d'histoire des mathématiques|titre ouvrage=Histoire de logarithmes|passage=11-38|éditeur=Ellipses|année=2006}}, p. 11</ref>, [[Ibn Yahyā al-Maghribī al-Samaw'al|al-Samaw'al]]{{sfn|Kouteynoff|2006|p=20}} ({{s-|XII}}) et [[Ibn Hamza al-Maghribi]]<ref>{{Lien web |langue=fr |auteur=Pierre Ageron |titre=Ibn Hamza a-t-il découvert les logarithmes ? Constitution et circulation du discours islamocentré sur l’histoire des mathématiques |url=https://ageron.users.lmno.cnrs.fr/34%20-%20Actes%20-%20Section%20II-1%20-%2016%20Pierre%20Ageron%20-%20339-359#:~:text=Ibn%20Hamza%20s'intéressait%20aux,de%20la%20science%20des%20logarithmes. |format=pdf |site=IREM de Basse-Normandie & Université de Caen}}</ref> (fin du {{s-|XVI}}) dans le monde arabe , mais l'observation est plutôt tournée vers une utilisation algébrique{{sfn|Kouteynikoff|2006|p=11}}.
 
Vers la fin du {{s-|XVI}}, le développement de l'[[astronomie]] et de la [[navigation maritime]] d'une part et les calculs bancaires d'[[intérêts composés]] d'autre part poussent les mathématiciens à chercher des méthodes de simplification de calculs et en particulier le remplacement des multiplications par des sommes<ref>Jean-Pierre Friedelmeyer, [https://lewebpedagogique.com/h4mathsts1/files/2013/12/105_122_AM61-4-1.pdf L'invention des logarithmes par Neper et le calcul des logarithmes décimaux par Briggs].</ref>. L'invention de tables dites logarithmique permettant de faciliter les calculs comportant des produits est l’œuvre de mathématiciens du début du {{s-|XVII}}: [[Jost Bürgi]]<ref name="pedm">''Petite encyclopédie de mathématiques'', [[Didier (maison d'édition)|Didier]], 1980, {{p.|72}}</ref>, [[John Napier|Neper]] et [[Henry Briggs|Briggs]]<ref>{{chapitre|auteur=Évelyne Barbin|titre=Présentation: pour une approche historique des logarithmes et des exponentielles|auteur ouvrage=Commissionn inter-Irem d'Épistémologie et d'histoire des mathématiques|titre ouvrage=Histoire de logarithmes|passage=5-10|éditeur=Ellipses|année=2006}}, p.6</ref>, travail poursuivi par [[Johannes Kepler]]<ref>{{lien web |url=https://www.e-rara.ch/zut/wihibe/content/titleinfo/1405839 |titre=Chilias Logarithmorum |site=e-rara.ch}}.</ref>, [[Ezechiel de Decker]] et [[Adriaan Vlacq]]<ref name="pedm"/>.
Son travail sera poursuivi et prolongé par le mathématicien anglais [[Henry Briggs]] qui publie en 1624 ses tables de logarithmes décimaux (''Arithmética logarithmica'') et précise les méthodes d’utilisation des tables pour calculer des [[Fonction trigonométrique|sinus]], retrouver des angles de [[Tangente (géométrie)|tangente]]... Le logarithme décimal est parfois appelé logarithme de Briggs en son honneur. La même année, Johann Kepler publie ''Chilias logarithmorum'' construites en utilisant un procédé géométrique<ref>{{en}} [http://www.find-a-book.com/db/detail.php?lang=fr&membernr=852&ordernr=2981 Présentation de Chilias Logarithmorum] sur le site find-a-book.com</ref>. La table de Briggs présente les logarithmes à 14 chiffres des nombres compris entre 1 et {{formatnum:20000}} et entre {{formatnum:90000}} et {{formatnum:100000}}. Son travail est complété par [[Ezechiel de Decker]] et [[Adriaan Vlacq]] qui publient en 1627 une table de logarithmes complète<ref name="pedm"/>.
 
En 1647, lorsque [[Grégoire de Saint-Vincent]], travailletravaillant sur la quadrature de l’[[hyperbole (mathématiques)|hyperbole]], ildéfinit met en évidence une nouvellela fonction qui se trouve être la primitive de la fonction <math>\scriptstyle x \mapsto \fractfrac 1 x</math> s’annulant en 1 mais c’est. [[Christian Huygens|Huygens]] remarquera en 1661 qui remarquera que cette fonction se trouve être une fonction logarithme particulière : le [[logarithme naturel]]<ref>{{Lien web |langue=fr |auteur=Emmanuel Ferrand, Laurent Koelblen, Matthieu Romagny |titre=Un peu d’histoire |url=https://perso.univ-rennes1.fr/matthieu.romagny/capes_0809/histoire.pdf |date=17 septembre 2008}}</ref>.
La correspondance entre les fonctions exponentielles et logarithmes n’apparaît qu'après le travail de [[Gottfried Wilhelm Leibniz|Leibniz]] sur la notion de [[fonction (mathématiques)|fonction]], en 1697, et se développe au cours du {{s|XVIII}} dans les écrits d'[[Euler]]{{sfn|Barbin|2006|p=7}}.
 
La tentative d'application de la [[Logarithme complexe|fonction logarithmique à la variable complexe]] date du {{s-|XVIII}} et donne lieu à une controverse entre [[Jean Bernoulli|Bernoulli]] et [[Gottfried Wilhelm Leibniz|Leibniz]] résolue par Euler<ref>{{chapitre|auteur=Jean-Luc Verley|titre=La controverse des logarithmes des nombres négatifs et imagianires|auteur ouvrage=Commissionn inter-Irem d'Épistémologie et d'histoire des mathématiques|titre ouvrage=Histoire de logarithmes|passage=269-288|éditeur=Ellipses|année=2006}}</ref>.
La notion de [[fonction (mathématiques)|fonction]], la correspondance entre les fonctions exponentielles et les fonctions logarithmes n’apparaissent que plus tardivement après le travail de [[Gottfried Wilhelm von Leibniz|Leibniz]] sur la notion de fonction (1697).
 
== Propriétés des fonctions logarithmes de base a ==
Dans cette section, nous donnons des propriétés d'une fonction logarithme, quelle que soit sa base {{mvar|b}}.
=== Propriétés algébriques ===
{{article détaillé|Identités logarithmiques}}
 
Les fonctions logarithmeslogarithme sont par définition les [[morphisme de groupes|morphismes]] [[Continuité (mathématiques)|continus]] non [[Fonction nulle|constamment nuls]] de <math>(\R_+^{*},\times)</math> vers <math>(\R,+)</math>.
 
Pour tout réel <math>a</math>{{mvar|b}} strictement positif et différent de 1, le logarithme de base <math>a</math>{{mvar|b}} : <{{math>\log_a</math>|log{{ind|''b''}}}} est la fonction continue définie sur <math>\R^*_+</math> vérifiant l'[[équation fonctionnelle]] :
: pour tous <math>{{mvar|x</math>}} et <math>{{mvar|y</math>}} réels strictement positifs,
: <math>\log_alog_b(xyx y) = \log_alog_b(x) + \log_alog_b(y)</math>
et
: <math>\log_alog_b(ab) = 1</math>
Cette définition permet de déduire rapidement les propriétés suivantes :
: <math>\log_alog_b(1) = 0</math>
: <math>\log_alog_b(x/y) = \log_alog_b(x) - \log_alog_b(y)</math>
: <math>\log_alog_b(x^ny)=ny \log_alog_b(x)</math>
: <math>\log_alog_b(ab^n) = n</math> pour tout entier naturel <math>{{mvar|n</math>}}, puis pour tout entier relatif <math>{{mvar|n</math>}}
: <math>\log_alog_b(ab^r) = r</math> pour tout rationnel <math>{{mvar|r</math>}}.
Comme tout réel strictement positif <math>x</math> est la limite d'une suite dont le terme général est de la forme <math>a^{r_n}</math>, où <math>(r_n)</math> est une suite de rationnels convergeant vers un réel <math>\ell</math>, on détermine <math>\log_a(x)</math> comme étant la limite de <math>r_n</math>.
 
Comme tout réel strictement positif {{mvar|x}} est la [[limite d'une suite]] dont le terme général est de la forme {{mvar|b{{exp|r{{ind|n}}}}}}, où {{math|(''r{{ind|n}}'')}} est une suite de rationnels convergeant vers un réel <math>\ell</math>, on détermine {{math|log{{ind|''b''}}(''x'')}} comme étant la limite de {{mvar|r{{ind|n}}}}.
=== Proportionnalité ===
Deux fonctions logarithmes ne diffèrent que d’une constante multiplicative : pour tous réels strictement positifs différents de 1, <math>a</math> et <math>b</math>, il existe un réel <math>k</math> tel que
: <math>\log_b = k \log_a</math>
Ce réel <math>k</math> vaut <math>\frac{1}{\log_a(b)}</math>.
 
=== Changement de base ===
En effet <math>\log_b</math> est la fonction continue qui transforme un produit en somme et qui vaut 1 en <math>b</math>, mais, pour tout réel <math>k</math> non nul, la fonction <math>k\log_a</math> est aussi une fonction continue, non constante qui transforme un produit en somme et cette fonction vaut 1 en b si et seulement si
Deux fonctions logarithmes ne diffèrent que d’une constante multiplicative : pour tous réels strictement positifs {{mvar|a}} et {{mvar|b}} différents de 1 et pour tout réel {{math|''x'' > 0}},
:<math>k=\frac{1}{\log_a(b)}</math>.
: <math>\log_b(x)=\frac{\log_a(x)}{\log_a(b)}</math>.
 
Toutes les fonctions logarithmes peuvent donc s’exprimer à l’aide d’une seule, unepar dont on connaît déjà la dérivée :exemple la fonction logarithme népérien. Pour: pour tout réel <math>a</math> strictement positif et{{mvar|b}} différent de 1, et pour tout réel <{{math>|''x</math'' > strictement positif0}}, on a :
: <math>\log_alog_b(x) = \frac{\ln(x)}{\ln(ab)}</math>.
 
=== Dérivée ===
La fonction <{{math>\log_a</math>|log{{ind|''b''}}}} est [[dérivée|dérivable]] sur <math>\R_+^*</math> de dérivée :
:<math>\log_alog_b'(x) = \frac{1}frac1{x\ln(ab)}</math> qui a même signe que {{math|ln(''ab'')}}.
Donc la fonction <{{math>\log_a</math>|log{{ind|''b''}}}} est strictement monotone, croissante quand <math>a</math>{{mvar|b}} est supérieur à 1, décroissante dans le cas contraire.
 
=== Nombre de chiffres avant la virgule ===
===Fonction réciproque===
Si {{mvar|b}} est un entier supérieur ou égal à 2 et {{math|''x'' > 0}}, la [[Base (arithmétique)#Développement en base entière|représentation propre de {{mvar|x}} en base]] ''{{mvar|b}}'' possède {{mvar|n}} chiffres avant la virgule si et seulement si <math>b^{n-1}\leqslant x<b^n</math>, soit <math>n-1\leqslant \log_bx<n</math>. Le nombre de chiffres {{mvar|n}} est donc égal à <math>\left\lfloor{\log_b x}\right\rfloor +1</math>.
 
Et lorsque {{mvar|x}} tend vers l'infini, on a donc <math>\log_b x\sim n(x)</math>.
 
== Fonction réciproque ([[antilogarithme]]) ==
{{Voir|Exponentielle de base a{{!}}Exponentielle de base {{mvar|b}}}}
{{Ancre|Fonction inverse}}
[[Fichier:Logarithm inversefunctiontoexp.svg|right|thumb|Représentation dans le cas {{math|''b '' > 1}}. Le graphe de la fonction logarithmique {{math|log}}{{ind|''b''}}(''x'')}} (bleu) est obtenu en [[Réflexion (mathématiques)|reflétant]] celui de la fonction ''{{mvar|b{{exp|x}}''}} (rouge) par rapport à la diagonale {{nobr|''x {{=}} y.''}}]]
 
La fonction <math>\log_alog_b:\R_+^*\to\R</math> est unela [[bijection]] dont la [[bijection réciproque|réciproque]] estde la fonction <math>\R\to\R_+^*,exponentielle xde \mapstobase a^x</math>{{mvar|b}}<ref>{{ouvrageOuvrage|langlangue=en|nom1={{Lien|trad=James Stewart (mathematician)|James Stewart (mathématicien)|texte=James Stewart}}|titre=Single Variable Calculus: |sous-titre=Early Transcendentals|éditeur=Thomson Brooks/Cole|lieuannée=Belmont2012|isbnnuméro d'édition=978-0-495-01169-97|annéelire en ligne=2007{{Google Livres|h4Auk70bJogC|urlpage=http://books.google.fr/books?id=xUApj0G0MnwC58}}}}, section 1.6.</ref>., parfois appelée antilogarithme de base {{mvar|b}} :
:<math>\operatorname{antilog_b}:\R\to\R_+^*,\;x \mapsto b^x</math>.
 
Autrement dit, les deux façons possibles de combiner (ou [[Composition de fonctions|composer]]) les logarithmes et l’élévation à des puissances redonnent le nombre original :
*pour tout réel {{math|''x''}}, prendre la puissance {{nobr|{{math|''x''}}-ième}} de {{math|''ab''}}, puis le logarithme en base {{math|''ab''}} de cette puissance, redonne {{math|''x''}} :<center><math>\forall x\in\R_+^*\quad\log_alog_b(ab^x)=x\log_alog_b(ab)=x~;</math> ;</center>
*inversement, pour tout réel {{math|''y''}} strictement positif, prendre d'abord le logarithme en base {{math|''b''}}, puis élever {{math|''ab''}} à sa puissance, redonne {{math|''y''}} :<center><math>ab^{\log_alog_b(y)} = y.</math></center>
 
Les fonctions réciproques sont étroitement liées aux fonctions originales.
Leurs [[Graphe d'une fonction|graphes]], qui se correspondent lorsqu’on échange les coordonnées {{math|''x''}} et {{math|''y''}} (ou par réflexion par rapport à la diagonale {{math|''x'' {{=}} ''y''}}), sont montrés à droite dans le cas où {{math|''ab''}} est un réel ''b'' strictement supérieur à 1 : un point {{math|(''u'', ''t'' {{=}} ''b{{exp|u}}'')}} sur le graphe (rouge) de la fonction antilogarithme {{math|''x '' ↦ ''b{{exp|x}}''}} fournit un point {{math|(''t'', ''u'' {{=}} log{{ind|''b''}}(''t''))}} sur le graphe (bleu) du logarithme et vice versa. Comme {{math|''b '' > 1}}, la fonction {{math|log{{ind|''b''}}}} est [[Fonction monotone|croissante]] et quand {{math|''x ''}} tend vers {{math|+∞}}, {{math|log<sub>''b''</sub>(''x'')}} [[Limite (mathématiques)|tend vers]] {{math|+∞}}, tandis que lorsque {{math|''x''}} approche zéro, {{math|log<sub>''b''</sub>(''x'')}} tend vers {{math|–∞}}. (Dans le cas où le réel {{math|''ab''}} est strictement compris entre 0 et 1, la fonction {{math|log{{ind|''ab''}}}} est décroissante et ces limites sont interverties.)
 
En matière de calcul, l'antilog ramène des logarithmes aux valeurs. Soit à évaluer une formule {{mvar|F}} combinant multiplications, divisions et exponentiations, et soit {{mvar|f}} la formule définissant le logarithme de {{mvar|F}} en combinant sommes, différences et produits des (logarithmes) des données. La valeur de {{mvar|F}} peut s'obtenir comme l'antilog de la valeur de {{mvar|f}}, ce qui conclut le calcul. On peut ainsi remplacer l'évaluation <math>F = (x \times y \times z)^{1/3}</math>
par <center><math>F = \operatorname{antilog}_b\left(\frac{\log_b(x) + \log_b(y)+ \log_b (z)}3\right) </math>.</center>
 
== Fonctions logarithme courantes ==
=== Logarithme népérien ===
{{article détaillé|logarithmeLogarithme naturelnépérien}}
 
Le logarithme népérien, ou logarithme naturel, est la fonction logarithme dont la [[dérivée]] est la [[fonction inverse]] définie de <math>\R_+^*</math> dans <math>\R</math> : <math> x \mapsto \frac 1 x</math>.
 
:La fonction de Neper est par convention notée « ''log'' » ou « ''{{math|ln''}} »<ref>La norme AFNOR NF X 02-1 01, de 1961, recommande la notation ln, (''Tables numériques'' Labordes,de pJ. VILaborde, 1976, p. VI).</ref>, laou première« notation{{math|log}} étant», cependant encorenotation couramment utilisée en [[théorie des nombres]] et en informatique<ref>Langages [[C (langage)|C]], [[Java (technique)|Java]], [[Javascript]]{{etc}}</ref>.
 
:La base de la fonction logarithme népérien, notée [[e (nombre)|e]], est appelée nombre de Néper<ref>{{Ouvrage|titre=Mathématiques MPSI: Exercices|auteurauteur1=D. Guinin et |auteur2=B. Joppin|titre=Mathématiques [[MPSI]]: Exercices|éditeur=[[Éditions Bréal|Bréal]]|année=2003|isbnpassage=9782749501758}}33|lire [http://books.google.fr/books?iden ligne=6L06T8__WGMC&pg=PA33 p.{{Google Livres|iePuAqUjGoQC|page=33]}}}}.</ref> ou nombre d'Euler<ref>{{Ouvrage|auteur1=O. Ferrier|titre=Maths pour économistes: |sous-titre=L'Analyse en économie|volume=1|auteuréditeur=O.[[De FerrierBoeck Supérieur|éditeur=De Boeck Université]]|année=2006|passage=275|isbn=9782804143541978-2-8041-4354-1}} [http://books.google.fr/books?id=aTTt9P1_sl4C&pg=PA275 p. 275]</ref>{{,}}<ref>Ne pas confondre avec divers [[Liste des sujets nommés d'après Leonhard Euler#Nombres|autres «  nombres d'Euler  »]].</ref>.
 
SaUne [[valeur approchée]] est :
:<math>\mathrm{e} \approx 2{{,}}718\,281\,828\,459\,045\,235\,360\ldots</math>.
 
=== Logarithme décimal ===
{{article détaillé|logarithmeLogarithme décimal}}
 
C’est le logarithme le plus pratique dans les calculs numériques manuels, il est noté <{{math>\|log</math>}} ou <{{math>\log_|log{{ind|10}</math>}}}. OnLa lenorme retrouve dans la création desISO 80000-2<ref>[[échellehttp://www.iso.org/iso/fr/iso_catalogue/catalogue_tc/catalogue_detail.htm?csnumber=31887 logarithmique|échellesISO logarithmiques80000-2:2009]], les. [[repèreOrganisation semi-logarithmique|repèresinternationale semi-logarithmiquesde normalisation]]. ouConsulté [[repèrele log-log|log-log]],19 dansjanvier la2012.</ref> [[règleindique àque calcul]],log<sub>10</sub> dansdevrait leêtre calculnoté du''lg'', [[potentielmais hydrogène|pH]],cette dansnotation l’unitéest durarement [[décibel]]utilisée.
 
On le retrouve dans la création des [[échelle logarithmique|échelles logarithmiques]], les [[repère semi-logarithmique|repères semi-logarithmiques]] ou [[repère log-log|log-log]], dans la [[règle à calcul]], dans le calcul du [[potentiel hydrogène|pH]], dans l’unité du [[décibel]].
Il précise à quelle puissance il faut élever 10 pour retrouver le nombre de départ : l'[[image (mathématiques)|image]] d'un nombre par log est l'[[entier relatif]] auquel il faut élever 10 pour obtenir l'[[antécédent (mathématiques)|antécédent]]. Par exemple :
: En base 10 :
: log(10) = 1 car 10<sup>1</sup> = 10
: log(100) = 2 car 10<sup>2</sup> = 100
: log(1000) = 3 car 10<sup>3</sup> = 1000
: log(0,01) = -2 car 10<sup>-2</sup> = 0,01
 
Il précise à quelle puissance il faut élever 10 pour retrouver le nombre de départ : l'[[image (mathématiques)|image]] d'un nombre par {{math|log}} est l'[[entier relatif]] auquel il faut élever 10 pour obtenir l'[[antécédent (mathématiques)|antécédent]]. Par exemple :
La valeur du logarithme d’autres nombres que des puissances de 10 demande un calcul approché. Le calcul de <math>\log(2)</math> par exemple peut se faire à la main, en remarquant que <math>2^{10} \approx 1000</math> donc <math>10\log(2) \approx 3</math> donc <math>\log(2) \approx 0{{,}}3</math>.
: En base dix :
: <math>\log_{10}(10) = 1 \text{ car } 10^1 = 10</math>
: <math>\log_{10}(100) = 2 \text{ car }10^2 = 100</math>
: <math>\log_{10}(1000) = 3 \text{ car }10^3 = 1000</math>
: <math>\log_{10}(0,01) = -2 \text{ car } 10^{-2} = 0,01</math>
 
La valeur du logarithme d’autres nombres que des puissances de 10 demande un calcul approché. Le calcul de {{math|log(2)}} par exemple peut se faire à la main, en remarquant que 2{{exp|10}} ≈ 1000 donc {{math|10 log{{ind|10}}(2) ≈ 3}} donc {{math|log{{ind|10}}(2) ≈ 0,3}}.
On note la relation : <math>\log(x) = \frac {\ln(x)} {\ln(10)}</math> (la fonction <math>\ln</math> étant le logarithme népérien)
 
Pour tout réel strictement positif {{mvar|b}} différent de 1 et pour tout réel {{math|''x'' > 0}},
:<math>\log_b(x) = \frac{\log_{10}(x)}{\log_{10}(b)}</math>.
 
=== Logarithme binaire ===
{{article détaillé|logarithmeLogarithme binaire}}
La norme ISO {{formatnum:80000}} recommande de noter {{math|lb}} le logarithme en base 2<ref>{{lien web|url=https://www.iso.org/fr/standard/64973.html |titre=ISO 80000-2:2019 |auteur=[[Organisation internationale de normalisation]] |consulté le=16 septembre 2012}}.</ref>.
L'ISO recommande de le noter lb ().
 
Le [[logarithme binaire]], d'usage spécialisé dans le calcul des [[intervalle (musique)|intervalles musicaux]] à partir d'un rapport de [[fréquence]]s, pour obtenir des [[Octave (musique)|octaves]], des [[demi-ton]]s ou des [[Cent et savart|cents]], a trouvé beaucoup plus d'application en [[informatique]]. Les [[ordinateur]]s travaillant en [[système binaire]], le calcul d'un logarithme en base 2 se fait par l'algorithme le plus précis et le plus efficace.
C’est le logarithme dont le calcul est le plus précis et le plus efficace en [[informatique]], en relation avec la représentation [[virgule flottante]] binaire. En particulier,
: Si x = 2<sup>n</sup>×m, alors lb(x)= n + lb(m).
 
Un nombre ''x'' codé en [[virgule flottante]] binaire se décompose en une [[mantisse]] ''m'', comprise entre 1 (inclus) et 2 (exclu) et un [[Exposant (mathématiques)|exposant]] ''p'', indiquant la [[Puissance de deux|puissance de 2]] qui multiplie la mantisse pour obtenir le nombre. L'exposant est la [[Partie entière et partie fractionnaire|partie entière]] du logarithme binaire, tandis que le logarithme binaire de la mantisse est compris entre 0 (inclus) et 1 (exclu).
Ainsi,
: <math>x = 2^p \times m \Longrightarrow \textrm{lb}(x) = p + \textrm{lb}(m).</math>
:lb(100)= lb(64×1,5625)= lb(2<sup>6</sup>×1,5625 )= 6+lb(1,5625),
qui ramène le calcul à celui du logarithme binaire d'un nombre entre 1 (inclus) et 2 (exclus).
 
Ce qui ramène le calcul à celui du logarithme binaire d'un nombre entre 1 (inclus) et 2 (exclu). Si on multiplie ce nombre par lui-même, et que le résultat dépasse 2, c'est que le nombre est supérieur à {{racine|2}} : le chiffre suivant, après la virgule, est un 1, dans le cas contraire, c'est un 0. On continue par [[itération]] jusqu'à la précision souhaitée.
Il indique le nombre de bits nécessaires pour écrire un nombre. Plus précisément, si x est un entier et si [lb(x)]=N (où [..] représente la fonction [[partie entière]]), il faut N+1 bits pour coder le nombre x. Par exemple
: lb(10)= 3,32..., et 19×lb(10) ≈ 63,12. C'est pourquoi une zone binaire de 64 bits ne peut contenir plus de 19 chiffres décimaux.
 
Les deux logarithmes précédents se déduisent de celui-ci par :
Ce logarithme est lié aux autres logarithmes, par :
: <math>\ln(x) = \frac{\mathrm{lb}(x)/}{\mathrm{lb}(\mathrm e)} \text{ et log } \log_{10}(x) = \frac{\mathrm{lb}(x)/}{\mathrm{lb}(10)}</math>.
 
=== Cologarithme ===
{{article détaillé|cologarithmeCologarithme}}
Le [[cologarithme]] d'un nombre est l'opposé du logarithme de ce nombre et le logarithme de son inverse<ref>{{ouvrage|prénom1=Alain |nom1=Bouvier |lien auteur1=Alain Bouvier |prénom2=Michel |nom2=George |prénom3=François |nom3=Le Lionnais |lien auteur3=François Le Lionnais |titre=Dictionnaire des mathématiques |année première édition=1979|année=2001|éditeur=[[Presses universitaires de France]]|passage=159}}.</ref> : <math>\operatorname{colog} _bx = - \log _bx = \log_b\frac{1}{x}</math>.
 
== Généralisations ==
Le cologarithme d'un nombre est le logarithme de l'inverse de ce nombre. C'est une notion courante en chimie pour l'opérateur pX (dont le [[potentiel hydrogène|pH]]).
Le [[logarithme complexe]] est la fonction réciproque de l'[[exponentielle complexe]] et généralise ainsi la notion de logarithme aux [[Nombre complexe|nombres complexes]]. Le [[logarithme discret]] généralise les logarithmes aux [[groupe cyclique|groupes cycliques]] et a des applications en [[cryptographie à clé publique]].
 
== Notes et références ==
{{Traduction/Référence|en|Logarithm|408909865}}
<references/>
{{Références}}
 
== Voir aussi ==
{{catégorie principale}}
{{Autres projets
|wikiversity=Fonction logarithme
Ligne 144 ⟶ 166 :
|commons titre=Les logarithmes
|wikibooks=Photographie/Mathématiques|wikibooks titre=Photographie/Mathématiques (sections "Découverte des logarithmes" et "Que fait-on avec les logarithmes ?")}}
 
=== Articles connexes ===
{{colonnes|taille= 15|
* [[Logarithme naturel]]
* [[Logarithme décimal]]
* [[Logarithme binaire]]
* [[Antilogarithme]]
* [[Cologarithme]]
* [[Logarithme complexe]]
* [[Fonction polylogarithme]]
* [[Fonction holomorphe]]
* [[Fonction exponentielle]]
* [[Loi de Benford]]
* [[Acoustique musicale#Intervalles sonores et logarithmes|Acoustique musicale : intervalles sonores et logarithmes]]
}}
* [[Acoustique musicale#Intervalles sonores et logarithmes|Acoustique musicale : Intervalles sonores et logarithmes]]
 
==== Applications pratiques ====
{{colonnes|taille=15|
* [[Règle à calcul]]
* [[Échelle logarithmique]]
* [[Table de logarithmes]]
}}
 
=== LienLiens externeexternes ===
{{Liens}}
* [http://www.ulb.ac.be:8070/cedop/tools/stat.php?file=Histlogarithmes.pdf&titre=L'histoire%20des%20logarithmes Une histoire des logarithmes] sur le site de l’[[Université libre de Bruxelles]]
* Simone Trompler, [https://sonocreatica.org.ve/wp-content/uploads/2018/03/Histoire_Logarithme.pdf Histoire des logarithmes], publié en ligne en 2002 par l’[[Université libre de Bruxelles]]
 
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