« Logarithme » : différence entre les versions
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{{homophone|Loga-Rythme}}
[[Fichier:Logarithm plots.png|vignette|Tracés des courbes des fonctions logarithmes en base 2, [[e (nombre)|{{math|e}}]] et 10.]]
{{exemple|nom=Exemple|Le logarithme en base dix de 1000 est 3 car 10{{exp|3}} {{=}} 10×10×10 {{=}} 1000.}}
Dans ce cas, le plus simple, le logarithme est le nombre entier qui compte les répétitions de la base multipliée par elle-même. Dans cette opération, multiplier un nombre par la base équivaut à ajouter 1 à son logarithme. L'[[exponentiation]] généralise cette opération de multiplication par soi-même à des puissances intermédiaires entre les entiers, qu'on exprime en nombres réels.
{{exemple|nom=Exemple|Le logarithme en base dix de la racine de 10, notée <math>\sqrt{10}</math>, est 0,5 car
<math>\sqrt{10}^2 = \sqrt{10} \times \sqrt{10} = 10</math>, donc
<math>(\log_{10}\sqrt{10}) + (\log_{10}\sqrt{10}) = \log_{10}{10} = 1</math>
}}
Le logarithme de base {{Mvar|b}} du nombre {{Mvar|x}} se note {{math|log{{ind|''b''}} ''x''}}. Si la base est évidente d'après le contexte, ou si elle n'a pas d'importance, on peut écrire simplement {{math|log ''x''}}. Par définition, <math>b^{\log_bx}=x</math>.
[[John Napier]] a développé les logarithmes au début du {{s-|XVII}}. L'utilité du logarithme pour le calcul vient du fait que la fonction logarithme transforme un produit en somme : <math> \log_b(x \cdot y) = \log_b x + \log_b y \,</math>. Pendant trois siècles, la [[table de logarithmes]] et la [[règle à calcul]], fondée sur une échelle logarithmique, ont servi pour le calcul, jusqu'à leur remplacement, à la fin du {{s-|XX}}, par des [[calculatrice]]s.
Le logarithme permet en outre de présenter sous une forme concise des relations entre nombres d'[[ordre de grandeur]] très différents.
Trois fonctions logarithmes sont d'usage courant :
* le [[logarithme naturel|logarithme népérien]] (ou ''naturel'') dont la base est le [[e (nombre)|nombre {{math|e}}]], est fondamental en [[analyse mathématique]] car il est la [[primitive]] de la fonction <math>x\mapsto\tfrac1x</math> s’annulant en 1 et la fonction réciproque de la [[fonction exponentielle]] ; il est souvent noté {{math|ln}} sauf en [[informatique]] ou en [[théorie des nombres]] où {{math|log}} sans autre précision signifie en général logarithme népérien ;
* le [[logarithme décimal]], dont la base est 10, reste le plus communément utilisé pour les calculs dans le domaine [[technologie|technologique]] ainsi qu'en chimie pour le calcul de [[Potentiel hydrogène|pH]] ;
* le [[logarithme binaire]], dont la base est 2, est utile en [[informatique théorique]] et pour certains calculs appliqués.
Le [[logarithme complexe]] généralise la notion de logarithme aux [[Nombre complexe|nombres complexes]].
== Motivation ==
Une [[échelle logarithmique]] permet de représenter sur un même graphique des nombres dont l'[[ordre de grandeur]] est très différent. Les [[Science appliquée|sciences appliquées]] les utilisent fréquemment dans les formules, comme celles qui évaluent la [[complexité]] des [[algorithmes]] ou des [[fractale]]s et celles qui dénombrent les [[nombre premier|nombres premiers]]. Ils décrivent les [[intervalle (musique)|intervalles musicaux]] et selon le modèle de [[Loi de Weber-Fechner|Weber-Fechner]] s'appliquent généralement en [[psychophysique]].
Tout logarithme transforme
* un [[multiplication|produit]] en [[addition|somme]] : <math> \log_b(x \cdot y) = \log_b x + \log_b y \,</math>
* un [[division|quotient]] en [[soustraction|différence]] : <math> \log_b\left(\frac{x}{y}\right) = \log_b x - \log_b y \,</math>
* une puissance en produit : <math> \log_b(x^y) = y \log_b x. \,</math>
== Historique ==
{{article détaillé|Histoire des logarithmes et des exponentielles}}
[[Fichier:Mirifici Logarithmorum canonis Descriptio.jpg|vignette|Page de garde du livre de John Napier de 1614 : Mirifici Logarithmorum Canonis Descriptio]]
La présentation de correspondances entre suites arithmétiques et suites géométriques avec l'observation qu'une somme dans une suite correspond à un produit dans l'autre est ancienne et on la voit déjà chez [[Archimède]] ({{-s-|III}}), [[Nicolas Chuquet|Chuquet]] ({{s-|XV}}) et [[Michael Stifel|Stifel]] (début du {{s-|XVI}}) en Europe<ref >{{chapitre|auteur=Odile Kouteynikoff|titre=Invention de nombres : calculs ou résolutions|auteur ouvrage=Commissionn inter-Irem d'Épistémologie et d'histoire des mathématiques|titre ouvrage=Histoire de logarithmes|passage=11-38|éditeur=Ellipses|année=2006}}, p. 11</ref>, [[Ibn Yahyā al-Maghribī al-Samaw'al|al-Samaw'al]]{{sfn|Kouteynoff|2006|p=20}} ({{s-|XII}}) et [[Ibn Hamza al-Maghribi]]<ref>{{Lien web |langue=fr |auteur=Pierre Ageron |titre=Ibn Hamza a-t-il découvert les logarithmes ? Constitution et circulation du discours islamocentré sur l’histoire des mathématiques |url=https://ageron.users.lmno.cnrs.fr/34%20-%20Actes%20-%20Section%20II-1%20-%2016%20Pierre%20Ageron%20-%20339-359#:~:text=Ibn%20Hamza%20s'intéressait%20aux,de%20la%20science%20des%20logarithmes. |format=pdf |site=IREM de Basse-Normandie & Université de Caen}}</ref> (fin du {{s-|XVI}}) dans le monde arabe , mais l'observation est plutôt tournée vers une utilisation algébrique{{sfn|Kouteynikoff|2006|p=11}}.
Vers la fin du {{s-|XVI}}, le développement de l'[[astronomie]] et de la [[navigation maritime]] d'une part et les calculs bancaires d'[[intérêts composés]] d'autre part poussent les mathématiciens à chercher des méthodes de simplification de calculs et en particulier le remplacement des multiplications par des sommes<ref>Jean-Pierre Friedelmeyer, [https://lewebpedagogique.com/h4mathsts1/files/2013/12/105_122_AM61-4-1.pdf L'invention des logarithmes par Neper et le calcul des logarithmes décimaux par Briggs].</ref>. L'invention de tables dites logarithmique permettant de faciliter les calculs comportant des produits est l’œuvre de mathématiciens du début du {{s-|XVII}}: [[Jost Bürgi]]<ref name="pedm">''Petite encyclopédie de mathématiques'', [[Didier (maison d'édition)|Didier]], 1980, {{p.|72}}</ref>, [[John Napier|Neper]] et [[Henry Briggs|Briggs]]<ref>{{chapitre|auteur=Évelyne Barbin|titre=Présentation: pour une approche historique des logarithmes et des exponentielles|auteur ouvrage=Commissionn inter-Irem d'Épistémologie et d'histoire des mathématiques|titre ouvrage=Histoire de logarithmes|passage=5-10|éditeur=Ellipses|année=2006}}, p.6</ref>, travail poursuivi par [[Johannes Kepler]]<ref>{{lien web |url=https://www.e-rara.ch/zut/wihibe/content/titleinfo/1405839 |titre=Chilias Logarithmorum |site=e-rara.ch}}.</ref>, [[Ezechiel de Decker]] et [[Adriaan Vlacq]]<ref name="pedm"/>.
En 1647,
La correspondance entre les fonctions exponentielles et logarithmes n’apparaît qu'après le travail de [[Gottfried Wilhelm Leibniz|Leibniz]] sur la notion de [[fonction (mathématiques)|fonction]], en 1697, et se développe au cours du {{s|XVIII}} dans les écrits d'[[Euler]]{{sfn|Barbin|2006|p=7}}.
La tentative d'application de la [[Logarithme complexe|fonction logarithmique à la variable complexe]] date du {{s-|XVIII}} et donne lieu à une controverse entre [[Jean Bernoulli|Bernoulli]] et [[Gottfried Wilhelm Leibniz|Leibniz]] résolue par Euler<ref>{{chapitre|auteur=Jean-Luc Verley|titre=La controverse des logarithmes des nombres négatifs et imagianires|auteur ouvrage=Commissionn inter-Irem d'Épistémologie et d'histoire des mathématiques|titre ouvrage=Histoire de logarithmes|passage=269-288|éditeur=Ellipses|année=2006}}</ref>.
== Propriétés des fonctions logarithmes
Dans cette section, nous donnons des propriétés d'une fonction logarithme, quelle que soit sa base {{mvar|b}}.
=== Propriétés algébriques ===
{{article détaillé|Identités logarithmiques}}
Les fonctions
Pour tout réel
: pour tous
: <math>\
et
:
Cette définition permet de déduire rapidement les propriétés suivantes :
: <math>\
: <math>\
: <math>\
: <math>\
: <math>\
Comme tout réel strictement positif {{mvar|x}} est la [[limite d'une suite]] dont le terme général est de la forme {{mvar|b{{exp|r{{ind|n}}}}}}, où {{math|(''r{{ind|n}}'')}} est une suite de rationnels convergeant vers un réel <math>\ell</math>, on détermine {{math|log{{ind|''b''}}(''x'')}} comme étant la limite de {{mvar|r{{ind|n}}}}.
=== Changement de base ===
Deux fonctions logarithmes ne diffèrent que d’une constante multiplicative : pour tous réels strictement positifs {{mvar|a}} et {{mvar|b}} différents de 1 et pour tout réel {{math|''x'' > 0}},
: <math>\log_b(x)=\frac{\log_a(x)}{\log_a(b)}</math>.
Toutes les fonctions logarithmes peuvent donc s’exprimer à l’aide d’une seule,
:
=== Dérivée ===
La fonction
:<math>\
Donc la fonction
=== Nombre de chiffres avant la virgule ===
Si {{mvar|b}} est un entier supérieur ou égal à 2 et {{math|''x'' > 0}}, la [[Base (arithmétique)#Développement en base entière|représentation propre de {{mvar|x}} en base]] ''{{mvar|b}}'' possède {{mvar|n}} chiffres avant la virgule si et seulement si <math>b^{n-1}\leqslant x<b^n</math>, soit <math>n-1\leqslant \log_bx<n</math>. Le nombre de chiffres {{mvar|n}} est donc égal à <math>\left\lfloor{\log_b x}\right\rfloor +1</math>.
Et lorsque {{mvar|x}} tend vers l'infini, on a donc <math>\log_b x\sim n(x)</math>.
== Fonction réciproque ([[antilogarithme]]) ==
{{Voir|Exponentielle de base a{{!}}Exponentielle de base {{mvar|b}}}}
{{Ancre|Fonction inverse}}
[[Fichier:Logarithm inversefunctiontoexp.svg|right|thumb|Représentation dans le cas {{math|''b
La fonction <math>\
:<math>\operatorname{antilog_b}:\R\to\R_+^*,\;x \mapsto b^x</math>.
Autrement dit, les deux façons possibles de combiner (ou
*pour tout réel {{math|''x''}}, prendre la puissance {{nobr|{{math|''x''}}-ième}} de {{math|''
*inversement, pour tout réel {{math|''y''}} strictement positif, prendre d'abord le logarithme en base {{math|''b''}}, puis élever {{math|''
Les fonctions réciproques sont étroitement liées aux fonctions originales.
Leurs [[Graphe d'une fonction|graphes]], qui se correspondent lorsqu’on échange les coordonnées {{math|''x''}} et {{math|''y''}} (ou par réflexion par rapport à la diagonale {{math|''x'' {{=}} ''y''}}), sont montrés à droite dans le cas où {{math|''
En matière de calcul, l'antilog ramène des logarithmes aux valeurs. Soit à évaluer une formule {{mvar|F}} combinant multiplications, divisions et exponentiations, et soit {{mvar|f}} la formule définissant le logarithme de {{mvar|F}} en combinant sommes, différences et produits des (logarithmes) des données. La valeur de {{mvar|F}} peut s'obtenir comme l'antilog de la valeur de {{mvar|f}}, ce qui conclut le calcul. On peut ainsi remplacer l'évaluation <math>F = (x \times y \times z)^{1/3}</math>
par <center><math>F = \operatorname{antilog}_b\left(\frac{\log_b(x) + \log_b(y)+ \log_b (z)}3\right) </math>.</center>
== Fonctions logarithme courantes ==
=== Logarithme népérien ===
{{article détaillé|
Le logarithme népérien, ou logarithme naturel, est la fonction logarithme dont la [[dérivée]] est la [[fonction inverse]] définie de
:La fonction de Neper est par convention notée «
:La base de la fonction logarithme népérien, notée [[e (nombre)|e]], est appelée nombre de Néper<ref>{{Ouvrage|
:<math>\mathrm{e} \approx 2{{,}}718
=== Logarithme décimal ===
{{article détaillé|
C’est le logarithme le plus pratique dans les calculs numériques manuels, il est noté
On le retrouve dans la création des [[échelle logarithmique|échelles logarithmiques]], les [[repère semi-logarithmique|repères semi-logarithmiques]] ou [[repère log-log|log-log]], dans la [[règle à calcul]], dans le calcul du [[potentiel hydrogène|pH]], dans l’unité du [[décibel]].
Il précise à quelle puissance il faut élever 10 pour retrouver le nombre de départ : l'[[image (mathématiques)|image]] d'un nombre par {{math|log}} est l'[[entier relatif]] auquel il faut élever 10 pour obtenir l'[[antécédent (mathématiques)|antécédent]]. Par exemple :
: En base dix :
: <math>\log_{10}(10) = 1 \text{ car } 10^1 = 10</math>
: <math>\log_{10}(100) = 2 \text{ car }10^2 = 100</math>
: <math>\log_{10}(1000) = 3 \text{ car }10^3 = 1000</math>
: <math>\log_{10}(0,01) = -2 \text{ car } 10^{-2} = 0,01</math>
La valeur du logarithme d’autres nombres que des puissances de 10 demande un calcul approché. Le calcul de {{math|log(2)}} par exemple peut se faire à la main, en remarquant que 2{{exp|10}} ≈ 1000 donc {{math|10 log{{ind|10}}(2) ≈ 3}} donc {{math|log{{ind|10}}(2) ≈ 0,3}}.
Pour tout réel strictement positif {{mvar|b}} différent de 1 et pour tout réel {{math|''x'' > 0}},
:<math>\log_b(x) = \frac{\log_{10}(x)}{\log_{10}(b)}</math>.
=== Logarithme binaire ===
{{article détaillé|
La norme ISO {{formatnum:80000}} recommande de noter {{math|lb}} le logarithme en base 2<ref>{{lien web|url=https://www.iso.org/fr/standard/64973.html |titre=ISO 80000-2:2019 |auteur=[[Organisation internationale de normalisation]] |consulté le=16 septembre 2012}}.</ref>.
Le [[logarithme binaire]], d'usage spécialisé dans le calcul des [[intervalle (musique)|intervalles musicaux]] à partir d'un rapport de [[fréquence]]s, pour obtenir des [[Octave (musique)|octaves]], des [[demi-ton]]s ou des [[Cent et savart|cents]], a trouvé beaucoup plus d'application en [[informatique]]. Les [[ordinateur]]s travaillant en [[système binaire]], le calcul d'un logarithme en base 2 se fait par l'algorithme le plus précis et le plus efficace.
Un nombre ''x'' codé en [[virgule flottante]] binaire se décompose en une [[mantisse]] ''m'', comprise entre 1 (inclus) et 2 (exclu) et un [[Exposant (mathématiques)|exposant]] ''p'', indiquant la [[Puissance de deux|puissance de 2]] qui multiplie la mantisse pour obtenir le nombre. L'exposant est la [[Partie entière et partie fractionnaire|partie entière]] du logarithme binaire, tandis que le logarithme binaire de la mantisse est compris entre 0 (inclus) et 1 (exclu).
: <math>x = 2^p \times m \Longrightarrow \textrm{lb}(x) = p + \textrm{lb}(m).</math>
Ce qui ramène le calcul à celui du logarithme binaire d'un nombre entre 1 (inclus) et 2 (exclu). Si on multiplie ce nombre par lui-même, et que le résultat dépasse 2, c'est que le nombre est supérieur à {{racine|2}} : le chiffre suivant, après la virgule, est un 1, dans le cas contraire, c'est un 0. On continue par [[itération]] jusqu'à la précision souhaitée.
Les deux logarithmes précédents se déduisent de celui-ci par :
: <math>\ln(x) = \frac{\mathrm{lb}(x)
=== Cologarithme ===
{{article détaillé|
Le [[cologarithme]] d'un nombre est l'opposé du logarithme de ce nombre et le logarithme de son inverse<ref>{{ouvrage|prénom1=Alain |nom1=Bouvier |lien auteur1=Alain Bouvier |prénom2=Michel |nom2=George |prénom3=François |nom3=Le Lionnais |lien auteur3=François Le Lionnais |titre=Dictionnaire des mathématiques |année première édition=1979|année=2001|éditeur=[[Presses universitaires de France]]|passage=159}}.</ref> : <math>\operatorname{colog} _bx = - \log _bx = \log_b\frac{1}{x}</math>.
== Généralisations ==
Le [[logarithme complexe]] est la fonction réciproque de l'[[exponentielle complexe]] et généralise ainsi la notion de logarithme aux [[Nombre complexe|nombres complexes]]. Le [[logarithme discret]] généralise les logarithmes aux [[groupe cyclique|groupes cycliques]] et a des applications en [[cryptographie à clé publique]].
== Notes et références ==
{{Traduction/Référence|en|Logarithm|408909865}}
{{Références}}
== Voir aussi ==
{{catégorie principale}}
{{Autres projets
|wikiversity=Fonction logarithme
Ligne 144 ⟶ 166 :
|commons titre=Les logarithmes
|wikibooks=Photographie/Mathématiques|wikibooks titre=Photographie/Mathématiques (sections "Découverte des logarithmes" et "Que fait-on avec les logarithmes ?")}}
=== Articles connexes ===
{{colonnes|taille=
* [[Logarithme complexe]]
* [[Fonction polylogarithme]]
* [[Fonction holomorphe]]
* [[Loi de Benford]]
* [[Acoustique musicale#Intervalles sonores et logarithmes|Acoustique musicale : intervalles sonores et logarithmes]]
}}
==== Applications pratiques ====
{{colonnes|taille=15|
* [[Règle à calcul]]
* [[Échelle logarithmique]]
* [[Table de logarithmes]]
}}
===
{{Liens}}
* Simone Trompler, [https://sonocreatica.org.ve/wp-content/uploads/2018/03/Histoire_Logarithme.pdf Histoire des logarithmes], publié en ligne en 2002 par l’[[Université libre de Bruxelles]]
{{Palette|Fonctions mathématiques usuelles}}
{{Portail|analyse}}
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