« Groupe alterné » : différence entre les versions

* ''Le groupe alterné de degré'' 5 ''est le plus petit groupe simple non abélien et tout groupe simple d'ordre'' 60 ''est isomorphe à A''₅<ref name=Hindry>M. Hindry, ''[http://people.math.jussieu.fr/~hindry/Cours-alg.pdf Cours d'algèbre au magistère de Cachan]'', Université Paris 7, {{p.|22}}.</ref>{{,}}<ref>{{en}} J. S. Rose, ''A Course on Group Theory'', Cambridge 1978, réimpr. Dover, 1994, théor. 5.30, {{p.|106}}. Soit G un groupe simple d'ordre 60. L'essentiel de la démonstration consiste à montrer, en considérant l'opération de G sur ses 2-sous-groupes de Sylow, que G est isomorphe à un sous-groupe de ''S''{{sub|5}}.</ref>.

Soient ''H'' un sous-groupe normal du groupe alterné ''A_n'', nonet réduitcontenant àun l'élément neutre, <{{math>\sigma</math> un élément de |''Hσ''}} distinct du neutre. etIl existe donc {{math|''a''}} tel que <math>b:=\tausigma(a)\ne a</math>. un 3-cycle qui neSoient commute pas àensuite <math>c\notin\{a,b,\sigma(b),\sigma^{-1}(a)\}</math>. Il est possible de considérer un telet <math>\tau=(abc)</math> puisque le centre du groupe alterné est trivial et que les 3-cycles l'engendrent. Alors la permutationcomposée <math>\tau(\sigma(c)\sigma(b)b)=\tau(\sigma(c)\sigma(b)\sigma(a))=\tau(\sigma\tau^{-1})\sigma^{-1})=(\tau(\sigma\tau^{-1})\sigma^{-1})</math> estappartient à la fois un élément de ''H'' et un produit non trivial de deux 3-cycles. Elle est donc de l'une des formes suivantes (avec <{{math>|''a'', ''b'',</math> …}} distincts) :

#<math>(abc)(abccab)=(acb)</math> ou <math>(abc)(cbd)=(abd)</math> ;

#<math>(abc)(bcdcdb)=(ab)(cd)</math>, auquel cas ''H'' contient aussi (par [[#Structure|conjugaison dans ''A_n'' pour ''n''≥5 ≥ 5]]) une permutation de la forme <{{math>|(''cd'')(''be'')</math>}} et donc également la composée <{{math>|1=(''ab'')(''cd'')(''cd'')(''be'') = (''ab'')(''be'') = (''abe'')</math>}} ;

#<math>(abc)(defdeb)=(abdec)</math>, dans ceauquel cas <''H'' contient aussi la conjuguée {{math>[|1=(bcd''eba'')(abc''abdec'')(def)(bdc)](dfe)(acb''abe'') =(bcead)</math> appartient à (''Hadbce'')}} donc etégalement onla estcomposée ramené{{math|1=(''abdec'')(''adbce'') au= cas précédent(''eba'')}}.

En conclusion : dans tous les cas, ''H'' contient un 3-cycle, donc (par conjugaison dans ''A_n'' pour ''n''≥5 ≥ 5) il les contient tous, si bien que ''H = A_n''.

(Remarque : même si ''n'' n'est pas supposé au moins égal à 5, il est encore vrai que le seul sous-groupe distingué de ''A_n'' qui comprenne un cycle d'ordre 3 est ''A_n'' lui-même. En effet, on prouve facilement que si γ₁ et γ₂ sont des cycles d'ordre 3 dans ''A_n'', un au mois des deux cycles γ₂ et γ₂^{{-1}} est conjugué de γ₁ dans ''A_n'' et non seulement dans ''S_n''.)

Un groupe de 30 éléments n'est jamais simple ; les [[théorèmes de Sylow]] permettent de le démontrer. Ils assurent en effet que le nombre de sous-groupes d'ordre 5 d'un tel groupe est un diviseur de 6 et est congru à 1 modulo 5 (donc est égal à 1 ou 6) et que le nombre de sous-groupe d'ordre 3 est un diviseur de 10 et est congru à 1 modulo 3 (donc est égal à 1 ou 10). S'il y a 6 sous-groupes d'ordre 5 alors, comme ces sous-groupes ont pour intersection deux à deux l'élément neutre (car tout élément non neutre d'un groupe d'ordre premier engendre l'intégralité du groupe), le groupe entier contient 24 éléments d'ordre 5. De même, s'il existe 10 sous-groupes d'ordre 3 alors le groupe contient 20 éléments d'ordre 3. Mais ces deux éventualités ne peuvent être simultanées (24 + 20 > 30). Il existe donc un unique sous-groupe d'ordre 5 ou un unique sous-groupe d'ordre 3. L'unicité assure qu'un tel sous-groupe est normal.

Si ''H'' ne contient pas le groupe alterné alors il est réduit au neutre. En effet, pour tout élément <{{math>\sigma</math>|''σ''}} de ''H'' et toute permutation <{{math>\tau</math>|''τ''}}, la permutation <{{math>|(\tau\sigma\tau^''τστ''{{-1}})\sigma^''σ''{{-1}</math>}}} est un élément pair de ''H'' donc est égale au neutre, autrement dit : tout élément <{{math>\sigma</math>|''σ''}} de ''H'' est [[Centre d'un groupe|central]] dans ''S_n'', donc neutre.