« Groupe alterné » : différence entre les versions
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→Groupe des rotations du dodécaèdre : plus naturel |
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Pour l'icosaèdre, on commence comme [[#Groupe des rotations du tétraèdre|pour le tétraèdre]] : soient φ une rotation de ''G'' d'ordre 5, ''s'' un point de son axe, distinct de ''O'', ''S'' l'orbite de ''s'' sous l'action de ''G'', et ''P'' l'enveloppe convexe de ''S'' (stable par ''G''). Le stabilisateur de ''s'' est réduit aux 5 puissances de φ — car la représentation est fidèle or dans ''A''{{ind|5}}, le [[centralisateur]] d'un élément d'ordre 5 est le [[sous-groupe engendré]] par cet élément — donc ''S'' contient 12 points.
Ces 12 sommets de ''P'', situés sur la sphère de centre ''O'' et passant par ''s'', sont permutés par φ, donc se répartissent en : le point ''s'', le point diamétralement opposé, et (les sommets de) deux [[Pentagone régulier convexe|pentagones réguliers]],
Puisque l'action de ''G'' sur ''S'' est [[Action transitive|transitive]], le [[Action de groupe (mathématiques)#Stabilisateur d'un élément|stabilisateur de n'importe quel sommet]] ''t'' est, comme celui de ''s'', engendré par une rotation d'ordre 5, donc la répartition des 12 sommets par rapport à ''t'' est analogue
Son [[polyèdre dual]] ''D'' est régulier et a même groupe de rotations. Puisque ''P'' a 12 sommets, 30 arêtes et 20 faces, ''D'' a 20 sommets, 30 arêtes et 12 faces : c'est un dodécaèdre.
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