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En [[mathématiques]], un '''corps commutatif''' est une des [[Structure algébrique|structures algébriques]] fondamentales de l'[[algèbre générale]]. C'est un ensemble muni de deux opérations binaires rendant possibles les additions, soustractions, multiplications et divisions. Plus précisément, un corps est un [[anneau unitaire|anneau]] commutatif dans lequel l'ensemble des éléments non nuls est un [[groupe (mathématiques)|groupe]] commutatif pour la multiplication.

 

 

La théorie des corps commutatifs est le cadre historique de la [[théorie de Galois]], une méthode d'étude qui s'applique en particulier aux corps [[commutatif]]s et aux [[extension de corps|extensions de corps]], en relation avec la [[théorie des groupes]], mais s'étend aussi à d'autres domaines, par exemple l'étude des [[équations différentielles]] ([[théorie de Galois différentielle]]), ou des [[revêtement (mathématiques)|revêtements]].

L'étude des [[polynôme formel|polynômes]] à coefficients dans un corps commutatif et la recherche de leurs racines ont développé considérablement la notion de corps. Si <math>f</math> est un polynôme de degré ''n'' sur un corps commutatif ''K'', l'équation <math>f(x) = 0</math> est une équation algébrique dans ''K''. Si, de plus, <math>f</math> est un polynôme irréductible, l'équation est dite irréductible. Lorsque ''n'' ≥ 2, trouver les solutions d'une telle équation demande de se placer dans un corps plus grand que ''K'', une [[extension de corps]].

 

 

Un [[corps de rupture]] d'un polynôme est, par exemple, un corps minimal contenant K et une racine de ''f''.

Pour chaque racine ''r'' d'un polynôme ''P'', le polynôme {{nobr|''X'' − ''r''}} divise ''P'' (ceci est vrai pour un anneau commutatif quelconque à la place du corps : c'est évident si {{nobr|''r'' {{=}} 0}}, et pour le cas général on peut appliquer l'[[automorphisme]] de l'anneau de polynômes qui fixe les constantes et envoie ''X'' vers {{nobr|''X'' − ''r''}}). Toute autre racine ''s'' de ''P'' est racine du quotient ''Q'' de ''P'' par {{nobr|''X'' − ''r''}}, car la substitution de ''s'' pour ''X'' n'annule pas le facteur {{nobr|''X'' − ''r''}}, et comme un corps est en particulier un [[anneau intègre]], cette substitution doit annuler ''Q''. Ainsi si ''P'' contient ''m'' racines distinctes, on peut le décomposer comme produit de ''m'' facteurs unitaires de degré&nbsp;1 et un dernier facteur (qui peut être un polynôme non nul quelconque, éventuellement constant).<br />Le degré d'un produit de polynômes est la somme des degrés de ces polynômes (encore parce qu'un corps est un anneau intègre), et on peut conclure que {{nobr|''m'' ≤ ''n''}}. Comme la [[multiplicité (mathématiques)|multiplicité]] d'une racine ''r'' de ''P'' est par définition le nombre de fois qu'on peut successivement diviser ''P'' par {{nobr|''X'' − ''r''}}, cette conclusion reste valable quand on remplace ''m'' par le nombre des racines ''comptées avec leurs multiplicités respectives''.

* '''Tout sous-groupe fini du groupe multiplicatif est cyclique :'''

}}

Ces résultats restent vrais si l'on remplace le corps par un anneau commutatif intègre quelconque (comme on peut voir en plongeant un tel anneau dans son [[corps des fractions]]).