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« Théorème des deux carrés de Fermat » : différence entre les versions

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→‎Fermat et les résidus : Voir aussi le critère d'Euler ou le corollaire par Lagrange de son théorème « de Wilson ».
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→‎Fermat et les résidus : simplif + adoption de Lemme de Thue
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=== Fermat et les résidus ===
Une autre étape de la démonstration consiste à identifier et reformuler une condition nécessaire — qui dans la section suivante s'avéreraet suffisante — pour qu'un nombre premier ''p'' soit somme de deux carrés, en remarquant que si ''x''{{2}} + ''y''{{2}} =est ''p''un alorsnombre ''y''premier n'estou, pasplus divisiblegénéralement, parun [[Entier sans facteur carré|entier ''pn''. Lesans [[théorèmefacteur de Bachet-Bézoutcarré]], montrealors qu'il existe alors deux entiers α'x'' et β tels que α''y'' =sont 1[[premiers –entre β''p'',eux]]. doncOr {{nobr|1=α{{2}}d''x''{{2}}après +le (1[[lemme –de β''p''){{2}}Thue]] = α{{2}}(''x''{{2}}qui +utilise ''y''{{2}})simplement =le α{{2}}''p'',}}[[principe oudes encoretiroirs]] de [[Dirichlet]]) :
{{énoncé|Un entier ''n'' > 0 est somme de deux carrés premiers entre eux si et seulement si –1 est un carré modulo ''n''.}}
<center><math>m^2+1=kp\quad\text{avec}\; m=\alpha x \; \text{et}\; k=\alpha^2+2\beta-\beta^2p.</math></center>
Une condition nécessaire pour que ''p'' soit somme de deux carrés est donc qu'un certain multiple de ''p'' soit somme d'un carré parfait et de 1 (ou plus savamment : que –1 soit un [[résidu quadratique]] modulo ''p''). Si ''p'' est différent de 2, cette condition est reformulée par la [[Loi de réciprocité quadratique#Premier énoncé|première loi complémentaire de la loi de réciprocité quadratique]] :▼
 
▲UneDans conditionle nécessairecas pour que ''p'' soit somme de deux carrés est donc qu'un certain multiple de ''p'' soit sommeparticulier d'un carrénombre parfait et de 1 (ou plus savamment : que –1 soit un [[résidu quadratique]] modulopremier ''p''). Si ''p'' est différent de 2, cette condition est reformulée par la [[Loi de réciprocité quadratique#Premier énoncé|première loi complémentaire de la loi de réciprocité quadratique]] :
{{énoncé|Il existe un multiple de ''p'' s'écrivant comme somme d'un carré parfait et de 1 si (et seulement si) le reste de la division euclidienne de ''p'' par 4 est 1.}}
 
{{énoncé|–1 est un carré modulo ''p'' si (et seulement si) ''p'' est congru à 1 modulo 4.}}
Le « seulement si » a déjà été démontré : le reste de la division euclidienne de ''m''{{2}} + 1 par 4 n'est jamais égal à 3. De nombreuses approches permettent d'établir le « si ». Elles utilisent souvent le [[petit théorème de Fermat]]. Une connaissance plus avancée en [[arithmétique modulaire]] permet une démonstration plus expéditive.▼
 
▲Le « seulement si » [[#Époque de Diophante|a déjà été démontré]] : leune restesomme de ladeux division euclidienne de ''m''{{2}} + 1 par 4carrés n'est jamais égalcongrue à 3 modulo 4. De nombreuses approches permettent d'établir le « si ». Elles utilisent souvent le [[petit théorème de Fermat]]. Une connaissance plus avancée en [[arithmétique modulaire]] permet une démonstration plus expéditive.
 
{{Démonstration|titre= Démonstrations avec et sans arithmétique modulaire|contenu=
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