« Théorème des deux carrés de Fermat » : différence entre les versions

Lorsque ''p'' est congru à 3 modulo 4, aucun carré ne peut être congru à –1 modulo ''p'', car cela contredirait immédiatement le [[petit théorème de Fermat]]<ref>Euler démontre dès 1742 un énoncé équivalentplus général : une somme de deux carrés ''a''{{2}} + ''b''{{2}} ne peut être divisible par un nombre premier ''p'' de la forme 4''n'' – 1 que si ''a'' et ''b'' sont divisibles par ''p'' (''[http://eulerarchive.maa.org/correspondence/letters/OO0761.pdf Lettre XXXIX]'' d'Euler à Goldbach, 6 mars 1742) puis, dans {{Article|lang=la|titre=Theoremata circa divisores numerorum|revue=[[Académie des sciences de Saint-Pétersbourg|Novi Comment. Acad. Sci. Imp. Petrop.]]|vol=1|year=1750|p.=20-48|url=http://eulerarchive.maa.org/pages/E134.html}} (E134), il fait remarquer (§ 20) qu'il est le premier à en publier une preuve (Theorema 5). Comparer avec l'annonce de Fermat à Roberval en 1640 {{supra|XVIIe siècle : les énoncés}}.</ref>. Ce qui établit lela « seulement si »nécessité. De nombreuses approches permettent d'établir lela « si »suffisance. Elles utilisent souvent aussi le petit théorème de Fermat. L'une d'elles est due à Euler<ref name=LettreCXXV/>{{,}}<ref name=E241/>. Une connaissance plus avancée en [[arithmétique modulaire]] permet une démonstration plus expéditive.