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« Analyse harmonique sur un espace vectoriel fini » : différence entre les versions

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→‎Isomorphisme fondamental : rectif (χ_0 n'est pas un caractère du *dual* de F_q) + plus clair ainsi : cf. lien externe
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=== Isomorphisme fondamental ===
Sur n'importe quel espace vectoriel ''V'' de dimension finie, une [[forme bilinéaire]] < | > est [[Forme bilinéaire non dégénérée|non dégénérée]] si et seulement si [[Forme bilinéaire#Forme bilinéaire et application linéaire|l'application ''x'' ↦ <''x''| > est un isomorphisme]] de ''V'' dans son [[espace dual]] ''V''*.
Dans cet article ''V'' désigne un espace vectoriel de dimension finie ''n'' sur un corps fini ''F''<sub>q</sub> de cardinal ''q'' et de corps premier ''F''<sub>p</sub> où ''p'' est un [[nombre premier]]. Le symbole <math>\scriptstyle \hat V</math> désigne le [[caractère d'un groupe fini|groupe dual]] de ''V'', χ<sub>0</sub> un caractère non trivial du dual du groupe additif de ''F''<sub>q</sub> et < | > une [[forme bilinéaire]] non dégénérée de ''V''.▼
 
▲Dans cet article, ''V'' désigne un espace vectoriel de dimension finie ''n'' sur un corps fini '''F'''<sub>q</sub> de cardinal ''q'' et de corps premier '''F'''<sub>p</sub> où ''p'' est un [[nombre premier]]. Le symbole <math>\scriptstyle \hat V</math> désigne le [[caractère d'un groupe fini|groupe dual]] de ''V'', χ<sub>0</sub> un [[caractère d'un groupe fini|caractère non trivial du dual du groupe additif de '''F'''<sub>q</sub>]] et < | > une [[forme bilinéaire]] non dégénérée desur ''V''.
* ''L'application ''U'', de ''V'' dans son dual, définie par l'égalité suivante, est un [[isomorphisme]] de groupes.''
<center><math>\forall x,y \in V \quad U_x(y) = \chi_0 (< x|y>) \; </math></center>▼
En effet, ''U'' est clairement un [[Morphisme de groupes|morphisme]] à valeur dans le dual de ''V''. Montrons que l'application est [[injection (mathématiques)|injective]]. Soit ''x'' un élément non nul de ''V'', il existe un élément ''h'' de ''V'' tel que < ''x'' | ''h'' > est non nul. Par linéarité sur ''y'', l'image de l'application de ''V'' dans ''F''<sub>q</sub> qui à ''y'' associe < ''x'' | ''y'' > est surjective. On en déduit que ''U''<sub>x</sub> est un caractère non trivial, et le [[Noyau (algèbre)|noyau]] de ''U'' est réduit à l'élément nul ce qui montre l'injectivité de ''U'', l'égalité entre les ordres du groupe (''V'', +) et son dual montre la [[surjection|surjectivité]] de ''U'' et donc son caractère [[bijection|bijectif]].
 
En ne considérant de l'espace vectoriel ''V''* que son groupe additif, on a :
L'isomorphisme n'est pas canonique, il dépend en effet du choix de la forme bilinéaire et du caractère. Il permet néanmoins d'identifier l'[[algèbre d'un groupe fini|algèbre du groupe]] ''V'' avec l'algèbre de son dual. Dans cet article, l'algèbre du groupe est noté ''C''[''V''].▼
 
{{énoncé|Le [[morphisme de groupes]] <math>V^*\to\hat V,f\mapsto\chi_0\circ f</math>, est un [[isomorphisme de groupes|isomorphisme]].</center>
Le dual de ''V'' est ici celui du groupe (''V'', +) et non celui l'[[espace dual]] de l'[[algèbre linéaire]].
}}
En effet, ce morphisme est [[injection (mathématiques)|injectif]] car de [[Noyau (algèbre)|noyau]] [[Groupe trivial|trivial]], puisque si ''f'' est une [[forme linéaire]] non nulle donc [[surjection|surjective]], alors le caractère χ<sub>0</sub>∘''f'' est, comme χ<sub>0</sub>, non trivial. Les deux groupes ayant même [[Ordre (théorie des groupes)|ordre]] ''q{{exp|n}}'', ce morphisme injectif est [[bijectif]].
 
Par [[Composition des applications|composition]], on en déduit :
 
{{énoncé|Le morphisme de groupes <math>U:V\to\hat V</math> défini par l'égalité suivante est un isomorphisme :
▲<center><math>\forall x,y \in V \quad U_x(y) = \chi_0 (< x|y>) \; .</math></center>
}}
 
▲L'isomorphisme n'est pas canonique, il dépend en effet du choix de la forme bilinéaire et du caractère. Il permet néanmoins d'identifier l'[[algèbre d'un groupe fini|algèbre du groupe]] ''V'' avec l'algèbre de son dual. Dans cet article, l'algèbre du groupe est noténotée ''C''[''V''].
 
=== Orthogonalité relativement à la dualité de Pontryagin ===
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