« Inégalité des accroissements finis pour les fonctions à valeurs vectorielles » : différence entre les versions
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{{Démonstration/début|titre=Démonstration directe}}
Soient <math>\varepsilon>0</math>, <math>u\in\left]a,b\right[</math>, <math>\varphi:\left[u,b\right]\to\R,\ t\mapsto\|f(t)-f(a)\|-g(t)-\varepsilon t</math>, et <math>c\in\left[u,b\right]</math> un point en lequel [[Théorème des bornes atteintes|la fonction <math>\varphi</math> (continue) atteint son minimum]]. Montrons par l'absurde que <math>c=b</math>.
Si au contraire <math>\left]c,b\right[</math> était non vide, il contiendrait des réels <math>t</math> tels que
<center><math>\left\|\frac{f(t)-f(c)}{t-c}\right\|-\frac\varepsilon2<\|f'(c)\|\le g'(c)<\frac{g(t)-g(c)}{t-c}+\frac\varepsilon2</math></center>
et l'on aurait alors
:<math>\|f(t)-f(c)\|<g(t)-g(c)+\varepsilon(t-c)</math> donc (par [[inégalité triangulaire]]) <math>\varphi(t)<\varphi(c)</math>,
ce qui contredirait le choix de <math>c</math>.
On a donc bien <math>c=b</math>, en particulier <math>\varphi(b)\le\varphi(u)</math>, c'est-à-dire
:<math>\|f(b)-f(a)\|\le\|f(u)-f(a)\|+g(b)-g(u)+\varepsilon(b-u)</math>.
On conclut par passage à la limite quand <math>u\to a^+</math> et <math>\varepsilon\to0^+</math>.
Remarques.
*φ
* Comme cette démonstration le prouve, le théorème ne nécessite que l'existence de dérivée à droite pour les fonctions {{math|''g''}} et {{math|''f''}}<ref name=LF>[[Jacqueline Lelong-Ferrand]] et [[Jean-Marie Arnaudiès]], ''Cours de mathématiques'', t. 2, ''Analyse'', Bordas 1977, p. 132-133.</ref>.
*On peut de plus supposer seulement que ces dérivées à droite existent (et satisfont l'inégalité) sur le complémentaire d'un ensemble dénombrable<ref>{{Ouvrage|titre=Mathématiques Tout-en-un pour la Licence 2|auteur=[[Jean-Pierre Ramis]]|auteur2=[[André Warusfel]]|et al.=oui|éditeur=Dunod|year=2014|numéro d'édition=2|url={{Google Livres|FhnpAwAAQBAJ|page=602}}|page=602}}, th. 88.</ref>.
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