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→Théorème d'inversion de Fourier : pub (tiens ? ma pendule d'ordi avance de 5 mn ?) |
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Ligne 837 :
== Théorème d'inversion de Fourier ==
Bonjour, j'ai regardé les preuves données dans [[Transformation_de_Fourier#Transformation_de_Fourier_inverse|l'article]] ainsi que celui [https://en.wikipedia.org/wiki/Fourier_inversion_theorem#Proof en anglais] et je pense qu'on pourrait mentionner cette démonstration simple et naturelle :
On pose <math>\phi_a(x) = \int_{-a}^a e^{ikx}dk = \frac{e^{iax}-e^{-iax}}{ix} = \frac{2 \sin(ax)}{x} = a \, \Phi'(ax) </math> où <math> \Phi(x) = \int_{-\infty}^x \frac{2\sin(y)}{y} dy, \Phi(-\infty) = 0, \Phi(+\infty) = 2\pi</math>.
Ligne 843 ⟶ 842 :
<math> \int_{-\infty}^\infty \hat{f}(k) dk = \lim_{a \to \infty} \int_{-a}^a \int_{-\infty}^\infty f(x)e^{-ikx}dx dk = \lim_{a \to\infty}\int_{-\infty}^\infty \phi_a(x) f(x)dx = \lim_{a \to\infty}-\int_{-\infty}^\infty \Phi(ax) f'(x)dx = -\int_{-\infty}^\infty 2 \pi 1_{x > 0} f'(x)dx =2\pi f(0)</math>
Ce qui démontre le théorème d'inversion de Fourier.
Qu'en pensez-vous ? Connaissez-vous un bouquin pour sourcer ? [[Utilisateur:Reuns|Reuns]] ([[Discussion utilisateur:Reuns|discuter]]) 30 août 2017 à 22:50
:Cette démonstration est-elle si simple que ça ? outre l'hypothèse forte <math> f' \in L^1</math> elle fait intervenir une intégrale semi-convergente : c'est plus compliqué, avec des hypothèses plus fortes, que par exemple la démonstration de l'article anglais qui utilise <math>e^{-x^2}</math>. La mentionner oui à la rigueur, mais sans la mettre trop en valeur. Cdt. [[Utilisateur:Lleuwen|Lleuwen]] ([[Discussion utilisateur:Lleuwen|discuter]]) 31 août 2017 à 11:16
{{Notif|Lleuwen}} L'hypothèse <math> f,f' \in L^1</math> est forte mais elle permet de faire tenir la démonstration en deux lignes. Idéalement il faudrait ajouter une ligne sur ce qu'il passe quand on remplace <math>\phi_a</math> par <math> \phi_a \ast n e^{-\pi n^2 x^2}</math> et <math>f' \in L^1</math> par <math>\hat{f}\in L^1</math>, sachant que je propose de modifier [[Transformation_de_Fourier#Transformation_de_Fourier_inverse|l'article français]] et pas celui en anglais. En particulier je ne pense pas que la démo [[Transformation_de_Fourier#Transformation_de_Fourier_inverse|"analyse non-standard"]] aide beaucoup d'étudiants. [[Utilisateur:Reuns|Reuns]] ([[Discussion utilisateur:Reuns|discuter]]) 1 septembre 2017 à 03:29
:{{Notif|Reuns}}Si tu veux « aider des étudiants » (plutôt qu'alimenter une encyclopédie), c'est plutôt sur [[Wikiversité]] qu'il te faut contribuer : c'est franchement la misère là-bas, et ça me semble plus conforme aux objectifs respectifs. [[Utilisateur:Anne Bauval|Anne]] ([[Discussion utilisateur:Anne Bauval|discuter]]) 1 septembre 2017 à 22:27 (CEST)
== ''Scattering theory'' ==
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